Arithmetica

20

ter maiores terminos continetur. Et tanto minor ēnumerus qui ſit ex multiplicatis extremitatibus abeo qui ſit ex multiplicata medietate: quantum eorumdifferentie multiplicate reſtituunt. Illud quoqꝫ quodmedietas eadem ſui parte ⁊ a maiore vincitur ⁊ minorem ipſam ſuperuenit. non eadem auteꝫ parte minoris minorem tranſit: vel maioris a maiore relinquitur. que omnes ſcilicet proprietates non alterius niſiarithmetice medietatis ſūt. Quod ſi ſuperius dictameminerit lector: ita eſſe indubitanter intelliget. ruiſus ſi inter eoſdem. 10. ⁊. 40. viginti conſtituam: ſtatim geometrica medietas cum ſuis proprietatibꝰ cūctis exoritur: arithmetica medietate pereūte. In hacenim diſpoſitione. 10. 20. 40. quemadmoduꝫ eſt maior ad medium: ſic medius ad extremum. Et quod cōtinetur ab extremitatibus equum eſt ei quod a multiplici medietate completur. Differentie quoqꝫ eorumin eadem ſunt proportione qua termini. Crementumvero ⁊ imminutio proportionum ſecunduꝫ terminosnulla eſt: ſed maiorum terminorum proportio a minorum terminorum proportione non diſcrepat. Sivero armonicam medietatem coniungere velim. 16.mihi numerus inter extremitates vtraſqꝫ ponenduseſt vt ſit hoc modo. 10. 16. 40. Nunc igitur licet in huiuſmodi diſpoſitione omnes armonicas proprietatesagnoſcere. qua enim maximus ad paruiſſimum terminus proportione coniugitur: eadem proportionedifferentie ad ſeinuicē cōparātur. Et quibꝰ partibusmaioris a maiore medius vincitur: eiſdē partibuſ minoris preterit minorē. Suis vero non eiſdē vel a maiore vincitur. vel tranſit minorem. Et in maioribusterminis maior eſt proportio: in minoribus minor.Et ſi in vnum extremitates redigantur: ⁊ medietatꝭquantitate concreſcant: duplus inde conficitur numerus ab eo qui ex ſolis multiplicatis extremitatibuſ ꝓcreatur. Atqꝫ hoc quidem in terminis paribus conſtitutum eſt. At vero ſi impares proponantur vt ſunt§. ⁊. 45. aptatus medius. 25. arithmeticā ꝓportionēmedietatemqꝫ conſtituit. Nam ſi ſint. 5. 25. 45. eadēſeſe numerorum quantitate termini tranſgredient̉:⁊ omnis ſuperius dicta proprietas arithmetice medietatis in his terminis cuſtoditur Sed ſi. 15. numerum medium ponam vt ſint. 5. 15. 45. in geometricam medietatem termini relabuntur: equalibus terminorum ad ſe inuicem proportionibus cuſtoditis.Nouem vero ſi inter vtroſqꝫ terminos ponaꝫ: vt ſint§. 9. 45. ſit armonica medietas: vt qua ſumma maximus numerus paruiſſimum precedit: eadē maior diferentia minorem differentiam vincat. Qua v̓o diſciplina huiuſmodi medietates reperire poſſimus expediendum eſt. Datis duobus terminis: ſi arithmeticam medietatem conſtituere oportebit: vtraqꝫ eſtextremitas coniungenda quodqꝫ ex ea copulationecolligitur diuidendum. iſqꝫ numerus qui ex diuiſioneredactus eſt arithmeticam medietatem inter extremitates locatus efficiet. vt. io. ⁊ 40. ſi iūxero: efficiūt§0. quos ſi diuidam. 25. redduntur. Hic erit mediusterminus ſecundum arithmeticam proportionem.Uel ſi illum numerum quo maior minorem ſuperatdiuidas: eumqꝫ minori ſuperponas: quodqꝫ inde concreſcit medium ponas arithmetica medietas informatur. Nam. 40. denarium tricenario ſuperat. queꝫſi diuidas. 15. fiūt. hunc ſi minori ideſt denario ſuperpoſueris. 20. ⁊. 5. naſcent̉. quem ſi medium cōſtituasarithmetice medietatiſ ordo formatur. Geometricā

vero ſi ratione veſtiges: eius numeri qui ſub vtriſqꝫextremitatibus continetur tetragonicum latus inquire: ⁊ hunc medium pone. Nam ſub. 40: ⁊ denario numero. 400. continentur. Si enim denarium in. 40.multiplices: hic numerus creſcit Horum igitur quadringentorum require tetragonicum latus. hi ſunt.20. Uicies enim. 20. 400. efficiuntur. Repertum ergo latus quadratum medium conſtitues. Uel ſi eamproportionem quam inter ſe oati termini cuſtodiuntdiuidas: ⁊ id quod relinquetur medium terminumponas. Namqꝫ. 40. ad denarium quadruplus ē. Igitur quadruplum ſi diuidas duplum facies: qui eſt ſcilicet. 20. Nam. 20. ad denarium duplus eſt. hūc ſi medium conſtituas: medietatem geometricam perferetArmonicā vero medietateꝫ tali mō reperies. differētiam terminorum in minorem terminum multiplica⁊ poſt iunge terminos. ⁊ iuxta eum qui inde confectꝰeſt cōmitte illum numerum qui ex differentiis ⁊ termino minore productus eſt. Cuius cum latitudineminueneris: addas eā minori termino: ⁊ quod inde colligitur medium terminum pones. 10. eniꝫ. ⁊ .40. fiūt§0. Differentia autem inter. 10. ⁊. 40. 30. ſunt. quemſi multiplicas in denarium: ideſt in minorem: decies.z0. oportet. 300. efficies. Quos. 300. iuxta euꝫ cōmitte qui ex iunctis vtriſqꝫ cōfectus eſt: ideſt iuxta. 50.facient. enim quīquagies ſenos ⁊ inuenitur latitudoſenarius. Hunc igitur ſi minori termino addas faciēt16. ⁊ hic numerus medius conſtitutus īter. io. ⁊. 40.armonicā proportionē medietatemqꝫ ſeruabit.¶ De tribus medietatibus que armonice ⁊ geometrice contrarie ſunt.Capitulum. li.E quidem ſunt apud antiquiores inuēte ꝓAbateqꝫ medietates. quas iccirco lōgiuſ enodatiuſqꝫ tractauimus: quod he maxime in¶Mantiquorum lectionibus inueniuntur: ⁊ adIomnem pene vim cognitionis eorum verſatur vtilitas. Ceteras autem pretereundo tranſcurrimus: iccirco quod non multum nobis in lectionibusproſunt. ſed tantum ad implendam denarij numeriquantitatem. Que ne lateant ne ve ſint aliquibꝰ ignorate depromimus. Uidentur enim he ſupradictis medietatibus eſſe contrarie ex quibus originem trahūtEx his enim etiam iſte ſunt conſtitute. Et autem qͣrta medietas que oppoſita videtur armonice: in quatribus terminis poſitis: quemadmodū eſt maxīus terminus ad paruiſſimū: ſic differentia minoruꝫ ad differentiaꝫ maximorū. Ut ſunt. 3. 5. 6. ſex ad ternariūduplus. Et ſunt minores. 5. ⁊ 3. maximi v̓o huius diſpoſitionis. 6. ⁊. 5. Differentia vero minoruꝫ quinariiſcꝫ ⁊ ternarij. 2. ſunt maiorū quinarii ⁊ ſenarii .i. qui2. ad vnum comparati duplum faciunt. Ergo quemadmodum eſt maximus terminus ad paruiſſimū ſicminorū terminorū differentia eſt ad differentiā maximorū. Liquet autē oppoſitā ⁊ quodāmodo contrariam eſſe hanc medietatem armonice medietati: iccirco: quod in illa quemadmodum eſt maximus terminus ad paruiſſimum: ſic maioruꝫ terminorū differentia ad differentiam minorū. Hic autem econtrario. Eſt autem proprium huius medietatis: quoniamquod continetur ſub maximo termino ⁊ medio: duplum eſt eo quod continetur ſub medio atqꝫ paruiſſimo. Sexies enim quinqꝫ. 30. ſunt: quinquies v̓o tres.15. Due vero alie. medietates quinta ſcilicet ⁊ ſextageometrice medietati contrarie ſunt: ⁊ eidem viden