Ich wähle als Beispiel die erste Formel aus der zusammen-gesetzten Zinsenrechnung. Bekanntlich wird ein Kapital s, wel-ches^ auf Zinseszinsen steht, für den Zinsfuß p nach Verlaufeines Jahres --P, nach Verlaus zweier Jahre s,>^, nach Verlaufdreier Jahre und also nach Verlauf von n Jahren sx'h in

so fern nämlich der Werth von n eine ganze undpositive Zahl ist. Da nun aber der Werth von n, seinerNatur nach, zwar nicht negativ, auch nicht irrational und nochweniger imaginär, wohl aber ein positiver Bruch seynkann, so darf die Formel für diesen Fall nicht als bewiesenangesehen werden. Und bekanntlich gilt sie für diesen Fall auchnicht, wie sich leicht mittelst Durchführung der Rechnung, dieich indessen dem Leser überlasse, Nachweisen läßt.

Zu §. 59.

Da Cagnoli in seiner Trigonometrie die Formel durch dieMethode der unbestimmten (Koeffizienten entwickelthat, so füge ich dessen Darstellung hier bei, um den Leser mitdem Wesen dieser Methode näher bekannt zu machen. Zugleichthcile ich das bis zu neun Gliedern, zwar nicht von Cagnoliselbst, sondern von einem andern Italiener, Namens PhilippRubiani, berechnete Resultat zum Behufs etwaiger Anwendungmit.

Gesetzt also, man habe die vorgegebene Reihe

m —-j-ch-07^-s-, (I.)

in welcher man sich den Werth von m , so wie die der Coefsizien-ten u, d, 0 , cl, rc. csis bekannte Großen zu denken hat, undman wolle die unbekannte Größe v in eine Reihe nach Potenzenvon ui entwickeln, so nehme man an

^ — -j-Lin?-s- -j- Om* -si rc. (II.)

Es ist klar, daß diese Annahme, (oder falls die vorgegebene Funk-tion -n von der Form seyn sollte

IN—g-j-b)-'-s--j--s-rc.

folgende

-j-Dm-s-Om--s-Oin^-si rc.)

immer statthaft ist, da die Coefsizienten A, v, 6, v, rc. nochunbestimmt sind, und also solche Werthe haben können, daß dieGleichung wahr scy. Es handelt sich also nun darum, diejeni-gen Werthe der Coefsizienten zu finden, welche der Gleichungwirklich Genüge leisten. Zu diesem B.'hufe erhebe man ^ nach-einander auf die2re, 3te, 4te rc. Potenz, und ordne die Gliedernach den gleichnamigen Potenzen von m, so kommt