70

Beziehungen

zwischen den Kreisfunktionen und den Exponential- oderlogarithmischen Funktionen.

Die Kreisfunktionen haben zu den Exponential- und loga-rithmischen Funktionen zwar nur rein analytische Beziehungen,aber diese sind um so interessanter, weil man daraus mit großerLeichtigkeit die sonderbarsten und wichtigsten Eigentümlichkeitender Sinus und Cosinus herleitet. Diese Beziehungen bieten sichso zu sagen von selbst dar, wenn man die Reihen wieder auf-greift, welche e-, siiix und co«x ausdrücken.

Stellt man diese Entwickelungen nämlich, wie folgt, zu-sammen :

so sieht man, daß alle Glieder der beiden letzten Reihen zusam-men genommen einerlei sind, bis aus die Zeichen, mit den ent-sprechenden der ersten Reihe; substituirt man aber in dieserx ss"—i statt x,

und wenn man auf der zweiten Seite die reellen Glieder vonden imaginären trennt, so wird diese Gleichung

§. 41.

1 ^ 1.2 ^ 1.2.3 ^ 1.2.3.4 ^ 1.2.3.4.5H.2.3.4.5.6

cosx—1

1.2.3.4

1.2.3.4.5.6

8INX:

1.273.4.5

so erhält man, weil

(x

x ?^—1

6^-1 1 x? ^ x^—i x» i .

^ ^ 1 1.2 1.2.3 ^1.2.3.4^1.2.3.45 '

e

x^

1 . 2 ^ 1 . 2 . 3.4

rc-