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und sein Cosinus wird um so näher der Einheit kommen; dieGrenze des vorigen Ausdrucks wird also seyn

sin x—x cos x cos fxcos ^-xrc.

Man erhält hieraus

sin x

X —-;

cos ^x cos ^x cos ^x rc

und —socn, so schließt man daraus ebenfalls

x —sin xsec 4-xscc xssc ^-xic.

Dieses Produkt nähert sich immer mehr einem endlichen Werthe;denn je kleiner der Bogen wird, desto mehr nähert sich die Se-kante dem Radius oder der Einheit, und so nehmen also dieFaktoren in ihrem Verlaufe immer mehr ab.

Nähme man die Logarithmen, so führte man das obigeResultat auf die Form einer gewöhnlichen Reihe zurück, dennman erhielte

log x ^ log sin X -j-log sec ^x-f-log sec^x-j-log sec ^x-s-!c.Es ist dieses nicht das einzige Beispiel einer Entwickelung, welchedurch ein Produkt einer unendlichen Anzahl von Faktoren aus-gedrückt ist; es gibt deren sehr viel andere, welche von den obenerhaltenen Reihen für s^, sinx, cosx, rc. abgeleitet werden;man wird sie im dritten Theile dieses Werkes finden, wo sieauf verschiedenen Wegen bewiesen werden.

Von der Umkehrung der Reihen.

tz. 58.

Nachdem man den Ausdruck einer Größe in einer Reihe,geordnet nach den Potenzen einer andern Größe erhalten hat,kann man die Frage umkehren, indem man die zweite Größeals eine Funktion der ersten betrachtet, und ihre Entwickelungsuchen. Nachdem man z. B. den Werth des Cosinus und desSinus vermittelst der Potenzen des Bogens gefunden hat, kannman die des Bogens selbst verlangen. Die Fragen dieser Artmachen den Gegenstand der Umkehrung der Reihen (re-tour ckes suiles) aus. Ich will zuerst das Verfahren auseinan-der setzen, welches Newton, der sie zuerst lösete, uns in einemseiner Briefe an Oldemburg überliefert hat, weil es mir daseinfachste scheint.

Es sey x ein Kreisbogen und ^ sein Sinus, so hat man(§. 39.)