S. F. Lacroix's Einleitung in die Differential- und Integral-Rechnung. Aus dem Französischen übersetzt, und mit erklärenden Zusätzen versehen von Franz Funck, Oberlehrer der Mathematik und Physik am Gymnasium zu Recklinghausen. Nach der zweiten durchgesehenen und verbesserten Original-Ausgabe. Mit einer Kupfertafel. Berlin, gedruckt und verlegt bei G. Reimer. 1 8 3 3 . Dem ' ^ königlichen Schulrathe Herrn Dr. SchmüLling in Münster, hochachtungsvoll gewidmet vom Uebersetzer. Vorrede des Uebersetzers. Es mag vielleicht den mit Lacroips größerm Werke über Differential- und Integral-Rechnung vertranten Lesern auf den ersten Blick sonderbar Vorkommen, hier einen kleinen Theil dieses Werkes, die Einleitung nämlich, in einer Übersetzung erscheinen zu sehen: da indessen dieser Theil ein vollkommen abgeschlossenes Ganze bildet, und in der Kürze alles Dasjenige ans der Funktionenlehre enthält, was den Uebergang von der Elementarmathematik zur höhern Analysis vermittelt, so glaubte ich um so weniger Anstand nehmen zu dürfen, genannte Einleitung in einer Ueber- setzung herauszugeben, weil der gewöhnliche Umfang der Elementarmathematik, den man ihr für den Vortrag an Gymnasien gestattet, diese Kenntnisse dem Anfänger nicht darbietet, und letzterer daher vor dem Eintritte in das Gebiet der Differential- und Integral-Rechnung sich dieselben durch das Studium weitläufiger Werke über die Fnnktionenlehre mühsam zusammen zu lesen gcnöthigt wäre. Wollte man dagegen einwenden, daß er auf diese Weise aber vollständiger ausgerüstet an's Werk ginge, so bemerke ich, daß ein ängstliches Streben nach Vollständigkeit des Wissens in einem Zweige der Mathematik, bevor der Fortschritt zum andern gewagt wird, sowohl überhaupt, als namentlich beim Uebergange zur höhern Analysis, fehlerhaft ist, indem jene Vollständigkeit j-tzt für ihn noch nicht erreichbar ist, sondern erst dann, wenn er das ganze Gebiet der Wissenschaft mehr oder weniger überschaut. Man glaube ja nicht, daß hiermit der Oberflächlichkeit und Lückenhaftigkeit das Wort geredet sey: cs ist meine feste Ueberzeugung, daß gerade beim Studium der Mathematik eine Vervollständigung und sogenannte Abrundung des Wissens erst spater ausführbar ist, und der Anfänger kann daher gewisser Maßen nicht zu sehr zn der Differential- und Integral-Rechnung eilen. Hat er das Euklidische System der Geometrie gehörig studirt, und sich mit den Hauptlehren der Arith- mcthik, Algebra, beider Trigonometrien und der Kegelschnitte nach, den bewährten Bearbeitungen dieser Zweige, unter welchen namentlich die Werke von Lacroix und Legender sehr zn empfehlen sind, bekannt gemacht, so wage er ohne Weiteres den Schritt zur Differential- nnd Integral-Rechnung, und die gegenwärtige Einleitung ist sehr geeignet, ihm dazu den Weg gehörig zu bahnen. So viel zur Rechtfertigung dieser Uebersetznng. Was die Zusätze betrifft, so habe ich mich in denselben hauptsächlich bemüht, zur Wegränmnng der etwaiger: Schwierigkeiten, die dem Leser beim Studium in den Weg treten könnten, das Meinigc beizntragcn: irr wie weit nur dieses gelungen, mögen Sachverständige entscheiden. Ich bemerke noch, daß ich nur sehr selten von: Verfasser ange- dentete Rechnungen ausgesnhrt habe; es ist dieses Sache des Lesers, der, so wie überhaupt jedes mathematische Werk, so auch das gegenwärtige mit der Feder in der Hand studiren muß. Recklinghausen, den 3. Dezember 1832. Zu tick. Inhalt. Allgemeine Begriffe über Funktionen und Reihen. . S. 1 Von den Grenzen der Funktionen, und dem Begriffe des unendlich Großen und unendlich Kleinen. . . — 14 Entwickelung der Funktionen in Reihen- 1. Von den algebraischen Funktionen. . . — 20 2. Von den transccndentcn Funktion., Exponential-Funktionen. . . — 33 Entwickelung der transccndcnten Funktionen. Logarithmische Funktionen. . . — 40 Kreis-Funktionen. . . . — 61 Beziehungen zwischen den Kreis - Funktionen und Len Exponcntial- odcr logarithmischcn Funktionen. . . — 70 Von der Umkehrungen der Reihen. .- . — 100 Auflösung mehrerer Arten von Gleichungen durch die Sinustafeln. — 119 lieber die Form der imaginären Funktionen. . — 136 Zusätze. . . . . — 145 S. F. Lacroix's Einleitung in die Differential- und Integral-Rechnung. Es ist der Zweck dieser Einleitung, das Ganze derjenigen Theorien darzustellcn, die man entweder nur theilweise in den Elementen der Algebra findet, oder welche dort nicht in der vollständigen Ausdehnung entwickelt sind, die ihnen gegeben werden muß, um in Bezug auf die Allgemeinheit der Darstellung nichts ^ zu wünschen zu lassen. In jenen Elementen nämlich hatte man ! es hauptsächlich damit zu thun, die Algebra in ihren Beziehun- i gen zu der Auflösung von Gleichungen, welche aus Zahlenpro- j blemen hcrgeleitet waren, zu betrachten; aber dieses ist der un- j bedeutendere Theil ihrer Anwendung. Die der algebraischen > Sprache eigenthümliche Fähigkeit, die Beziehungen, welche die Größen unter sich haben, auszudrücken, zu verbinden Und umzuformen , hat bedeutende Resultate herbeigeführt, deren Kenntniß vieles Licht über den eigentlichen Gegenstand der Differential- und Integral-Rechnung verbreitet. Bevor ich erstere auseinan- ' der setze, will ich einige wesentliche Begriffe wiederholen, und den Sinn einiger Ausdrücke aufklärcn, welche dunkel und selbst falsch erscheinen können, wenn man nicht zu ihren Ursprünge I zurück geht. > Allgemeine Begriffe über Funktionen und Reihen. §. i. Die alten Analysten begriffen im Allgemeinen Unter der Be- I Zeichnung Funktion einer Größe alle Potenzen dieser Größe. ! In der Folge hat man die Bedeutung dieses Wortes erweitert, > indem man es auf die Resultate der verschiedenen algebraischen ^ Operationen anwendete: und so hat man denn Funktion einer oder mehrerer Größen jeden algebraischen Ausdruck genannt, welcher Summen, Produkte, Quotienten, Potenzen und Wurzeln auf irgend eine Weise in sich enthält. Neue Ideen endlich, herbeigcführt durch die Fortschritte der Analysis, haben folgender Erklärung der Funktionen Raum gegeben: > jede Größe, deren Werth von einer oder mehreren andern abhangt, hnßt Funktion dieser lctztern, mag man nun wissen oder nicht, welche Operationen zu durchlaufen sind, um von jenen letztern zum erster» zu gelangen. Die Wurzel einer Gleichung des üten Grades z. B., deren Ausdruck man beim gegenwärtigen Zustande der Algebra nicht anzugeben weiß, ist nichts desto weniger eine Funktion der Coef- sizicnten der Gleichung, weil' ihr Werth von denen der Coefsi- zienten abhangt. — Man unterscheidet die Funktionen nach der Anzahl der Größen, wovon sie abhangen; daher ist irgend eine beliebige aber bestimmte Potenz einer Größe nur Funktion dieser einzigen Größe. Faßt man die Sache aus einem allgemeinen Gesichtspunkte, indem man auf einmal alle möglichen Potenzen einer Größe, welche ^ beliebiger Werthe fähig ist, in Betrachtung zieht, so wird der allgemeine Aüsdruck dieser Potenzen eine Funktion jener ersten Größe und des Exponenten seyn, da ja der einzelne Werth einer jeden dieser Potenzen von jenen beiden (der Grundgröße und dem Exponenten) abhängig ist. tz. 2. Die Betrachtung der unbestimmten Gleichungen ist es, welche zur Verallgemeinerung des Begriffs der Funktion geführt hat. Wollte man ausdrücken, daß eine Größe nicht bestimmt angegeben werden könnte, ohne vorher andern Größen bestimmte einzelne Werthe, deren sie einer unendlichen Menge bei ein und derselben Untersuchung fähig waren, zu geben, so bediente man sich des Wortes Funktion, um diese Abhängigkeit zu bezeichnen. Es folgt hieraus, daß, wenn man z. B. die eine oder > die andere der folgenden Gleichungen hatte, —ax^ff-dx ff-o ^ nr: SXT ff- dx'^-s- ci^, die Größe y- in der erstem eine Funktion von x, in der zweiten eine Funktion von x und 2 genannt werden könne. Es ist nöthig zu bemerken, daß die Größen s, ll, a hierbei nicht in Betracht kommen, weil sie bestimmte sind, d. h. in so fern man sie ansieht als Größen, welche denselben Werth beibehalten müs- . sen in allen den Untersuchungen, deren jede der vorigen Gleichungen fähig ist. — Es könnten statt jener Gleichungen, deren andere Vorkommen, in welchen die unbekannten Größen auf eine Weise verknüpft waren, daß sich der Werth der einen oder andern ohne einige vorläufige Operationen nicht bestimmen ließe. Derartige Gleichungen wären x^-s-7^ —3x7 X? -I-72 -j- 2^ — 3X2 -s- 1,72 -j- 6X7« In diesem Falle wird die Unbekannte 7- immer eine Funktion von x, kraft der ersten Gleichung, oder eine Funktion von x und 2 kraft der zweiten seyn; weil jene Unbekannte nicht bestimmt werden könnte, ohne vorher einzelne Werthe der x in der einen Gleichung, oder der x und 2 in der andern Gleichung ertheilt zu haben. Wenn man sich vorsetzte, in den Gleichungen dieses Beispiels des x in Folge einzelner gegebener Werthe des 7, oder des 7 Und 2 zu bestimmen, so würde man sagen, x sep in der ersten eine Funktion von 7, oder in der zweiten eine Funktion von 7 und 2. Man sicht hieraus, daß in einer Gleichung, welche mehrere Unbekannten enthält, eine jede dieser letztem immer eine Funktion von allen übrigen ist; die Angabe irgend einer Untersuchung ist es, woraus man erkennen kann, welche der Unbekannten als Funktion der übrigen anzusehcn ist. Im Vorigen habe ich zwei Arten Beispiele dem Leser vor Augen gehalten, welche zu einer bemcrkenswerthen Unterscheidung Veranlassung geben. In der ersten erkennt man sogleich, wie mit dem Werthe von x, oder denen von x und 2 man zur Bildung des Werthes von 7 gelangen könne; in der zweiten dagegen müßte vorher eine algebraische Gleichung in Bezug auf 7 gelößt werden, um diese Größe zu finden, in der Voraussetzung, daß man die Werthe von x oder von x und 2 kenne. Wir werden daher im ersten Falle sagen, 7 ist eiste entwickelte Funktion von X (konotion explioite), oder von X und 2; im zweiten dagegen eine unentwickelte Funktion (konclion implieite) derselben Größen. . Es ist nicht nöthig, daß man eine Gleichtzng zwischen mch- rern Größen habe, um sagen zu können, daß M^cine derselben eine unentwickelte Funktion der andern sey. EA. reicht hin, zu wissen, daß der Werth jener abhängig ist von *den einzelnen Werthen dieser; so ist in einem Kreise der «üius eine unentwik- kelte Funktion des Bogens, (obschon die algebraische Analysis kein einziges Mittel darbietet, die Beziehung jener beiden Größen auszudrücken) weil in der That die eine dieser Größen bestimmt 1 ' 4 ist, sobald die andere cs ist, und umgekehrt. Man unterlasse nicht zu bemerken, daß ich keine Rücksicht auf den Halbmesser genommen, (wenn schon die Größe des sinus auch von diesem Elemente abhängig ist) da ich nur einen einzigen Kreis vor Augen hatte. Man begreift unter der Bezeichnung algebraische Funktionen alle diejenigen, welche aus algebraischen Operationen hervvrgehen, oder in welchen die Verknüpfung zwischen den unbestimmten Größen, wovon die Funktionen abhangen, durch eine algebraische Gleichung ausgedrückt werden kann. §. 3 . Die algebraischen Funktionen erhalten immer eine begrenzte Anzahl von Gliedern, wenn man sie in der ihnen cigeuthüm- lichen Form ausdrückt. Diese Eingeschränktheit ist wesentlich; denn wenn man durch ein Aggregat von Monomen einen eigentlichen Bruch, der einen binomischen oder polynomischen Nenner hat, ausdrückcn will, so kommc man auf eine unendliche Reihe. Der Bruch - ^ z. B. liefert, wenn er durch die Division, oder auf sonst eine Weise entwickelt wird, die Reihe: V VA v» a 3^ und der Quotient wird nie schließen. Eben so verhält cs sich mit den Wurzeln der Polynome, welche keine vollkommene Potenzen (des Wurzelexponenten) sind, wenn man sie rational aus, drücken will, oder durch eine Reihe von Monomen. Es ist bekannt, daß die Ncwton'sche Formel zur Entwickelung der Potenzczr eines Binoms sich nicht schließt, wenn der Exponent eine negative oder Bruchzahl ist. Aber es gibt Funktionen, die man in keinem Falle durch eine begrenzte Anzahl von Gliedern ausdrückcn kann, die eine algebraische Besonnenheit haben: solche sind z. B. die Logarithmen, welche^ nvir annäherungsweise bestimmt werden können, und von einer knM^lichen Anzahl von Wurzelauszichungen abhängig sind; dieAnus und cosiims, welche man nicht vermittelst ihrer BoHvb/kntwickeln kann, ohne eine unendliche Anzahl von algebraisch Operationen zu durchlaufen: derartigen Funktionen gibt ikkan den Namen transzendente. Diejenigen, welche ich eben nahmhast gemacht habe, sind nicht die einzigen dieser Art; die Fortschritte, welche die Analysis gemacht hat, haben deren noch viele andere cingcsührt, und können ihrer unzählig viele darbicten. Dies ist der Ursprung der Reihen. Ob- gleich sie nur dann den genauen Werth der Funktionen geben, denen sie zugehören, wenn sie schließen, oder wenn man die Summe aller ihrer Glieder zu erhalten weiß, wie dies der Fall ist bei den abnehmenden Quotientenprogressioncn (oder geometrischen Progressionen); so können sic dennoch alle, nach Art derjenigen, welche man aus den algebraischen Funktionen herleitet, angesehen werden als die Entwickelung der unbekannten Funktionen, aus welchen sie entstanden sind. tz. 4. Es ist hier der Ort, ausmerksam zu machen auf das Wort Entwickelung, welches man hier gebraucht statt des Wortes Werth; denn eine Reihe liefert nicht immer den Werth der Funktion, zu welcher sie gehört: ja es ist manchmal der Fall, daß die Reihe, anstatt sich dem Werthe ihrer zugehörigen Funktion um so mehr zu nähern, je mehr Glieder man nimmt, sich von demselben um so mehr entfernt, wie man bemerken kann an dem Bruche wenn er nach den Potenzen von x entwickelt wird. Die Reihe . ,xx-,x- -l-rc. die daraus entsteht, gibt nur dann dem wahren Werthe sich immer mehr nähernde Resultate, wenn >-<->: nur in diesem Falle also ist es gestattet, durch Annäherung jenen wahren Werth zu bestimmen; aber indem der Ausdruck . , X , X- . in dem Sinne genommen, daß man vom letzten Glieds abstra- hirt, v, h. von der Seite angesehen, daß er lauter Glieder von derselben Form enthält, auf die angegebene Weise mit dem Bruche verknüpft ist, so werden wir, wenn irgend eine Untersuchung uns zu der Reihe hinführt, schließen dürfen, daß die gesuchte Funktion keine andere sey als oder wenn wir irgend eine Eigenthümlichkeit bei einer Reihe derartige Glieder wie 1-j-s- , -s- rc. annchmen, 3 3 ^ so können wir behaupten, daß dieselbe (Eigenthümlichkeit) der 6 Funktion zugehöre. Um die Wahrheit dieser Behauptung einzusehen, ist es hinreichend, zu bemerken, daß die regelmäßige Entwickelung einer Funktion, in ihrer ganzen Ausdehnung genommen, die Gleichung, welche diese Funktion charakterisirt, wahr macht. Setzt man in dem gewählten Beispiele so folgt daraus die Gleichung s — (a—x)^ —0, und wenn man statt der Funktion > ihre Entwickelung . , X , X- , , substituirt, so sieht man, daß, wie weit man auch die Rechnung treiben möge, die Glieder sich fortwährend vernichten. Man begreift leicht, daß dasselbe bei jedem andern Beispiele der Fall seyn wird, deren übrigens in der Folge bei der Differential- und Integral-Rechnung eine große Anzahl Vorkommen wird. §. 5. Um also mit Sicherheit eine analytische Entwickelung anwenden zu können, hat man sich nur von der Regelmäßigkeit der Reihe, welche sie ausdrückt, zu vergewissern, d. h. das Gesetz festzustellen, nach welchem alle ihre Glieder fortschrciten, und mit Sorgfalt die Convergenz der Zahlenreihen zu untersuchen, um daraus annähernde Werthe zu bekommen von derjenigen Größe, von welcher jene Reihen abgeleitet sind; indessen darf man sich nur dann auf die Richtigkeit dieser Bestimmungen gänzlich verlassen, wenn man im Stande ist, die Grenzen der Differenz zu bezeichnen, welche sich zwischen jenen und dem wahren Werthe crgiebt. Damit die Annäherung passend und sicher sey, ist es nöthig, daß diese Differenz um so rascher abnehme, je größer die Anzahl der Glieder ist, welche man nimmt, und daß sie kleiner werden könne, als irgend eine jede gegebene noch so kleine Größe. Es ist einleuchtend, daß diese Bedingungen nur dann erfüllt werden können, wenn die Glieder der vorgegebenen Reibe rasch abnehmen, weil jedes Glied das Resultat nur um immer kleinere und kleinere Differenzen ändern darf. Die Untersuchung, welche ich jetzt, nach d'Alembcrt's Vorgänge, über die Conver- gcnz der Reihen beginnen will, die aus der Entwickelung der Potenzen eines Binoms entstehen, wird die vorstehenden Bemerkungen hinreichend ins Licht setzen. Bringt man ihren analytischen Ausdruck unter die Form 7 ^ IN IU(,II—1) „ , III^III—1)(ni 2) 17^3 -' x' -s-.... m(m—1) ... (m-n-^2) Hl(m-1)...(,II-II-si1) ^-172..V.(^1) ^ 1.2....N " so ist klar, daß der Exponent des Verhältnisses zwischen irgend zwei auf einander folgenden Gliedern -—^^xist; damit also diese Glieder rasch abnchmen, so muß, abgesehen vom Zeichen der Zahlen m—n-s-1 und x, N sepn. Es ist zweckdienlich, zu bemerken, daß die Zahl m dieselbe bleibt, so weit auch immer die Reihe fortgcführt werden mag, daß hingegen die Zahl n, welche nothwendig eine ganze ist, von Glied zu Glied größer wird, und so groß werden kann, als man will, wenn die Reihe sich nicht schließt, welches Letztere ich hier voraussetze, da ich hauptsächlich die Entwickelung der negativen oder Bruchpotenzcn im Auge habe. Die erste Schlußfolge, die sich darbietct, ist, daß die Größe IN-n-s-t. III-s-1 . -—'. 1 , N N welche das Verhältnis; der auseinander folgenden Coefsizienten der Potenzen von x ausdrückt, sich ohne Aufhören dem Werthe — 1 nähert, indem der Bruch dessen Zähler konstant ist, dessen Nenner aber immer größer wird, fortwährend abnimmt. Es folgt hieraus, daß das Verhältniß der aufeinander! folgenden Glieder in vorstehender Reihe, sich dem Werthe —x immer mehr nähert, und daß folglich diese Reihe, welches auch ihre ersten Glieder seyn mögen, am Schlüsse immer divergent werden muß, wenn der Werth von x die Einheit übersteigt. Man kann sich ihrer daher nur dann bedienen, wenn x->1; die Convergenz wird alsdann nur beginnen, wenn, nachdem das Verhältniß zweier aufeinander folgenden Glieder -<1 geworden, die Glieder eine abnehmende Progression bilden werden: dieses wird also der Fall seyn, wenn IN—II->-1 NI—n-j-1 --— <1 oder 1>-!—, na na 8 eine Bedingung, welche sich nach und nach verwandelt in —n-i-1, n3-j-n^>ni-j-1, oder und endlich Aber da im zweiten Gliede, n—1, so wird die Convergcnz vom Anfänge der Reihe an eintreten, wenn »>>m, indem alsdann die Zahl ein Bruch seyn wird. Es sey z. B. hier beginnt die Convergenz erst, wenn n>>2, d. h. beim vierten Gliede. Ware m negativ, so verwandelt sich die Größe —in —und indem man vom Zeichen der Zahl —in—nss-l abstrahirt, verwandelt sich die zur Convergenz gehörige Bedingung in In diesem Falle kann die Convergenz nur sehr spät beginnen. die 100 ersten Glieder der Reihe werden also eine zunehmende Progression bilden. Nachdem man das Glied gefunden hat, mit welchem die Convergenz der Reihe beginnt, — und vor diesem darf die Reihe nicht geschlossen werden, — alsdann muß man die Grenzen der Annäherung suchen: für die vorliegenden Reihen gelangt man dazu sehr leicht, durch ein Verfahren, welches d'Alembert zuerst angewcndet hat. Ich mache für's Erste daraus aufmerksam, daß das Verhält- niß zweier aufeinander folgender Glieder der vorliegenden Reihe, in-j-n—1 ns^m-j-n—1 1, alson>» N^>IN> Es sey z. B. IN 2, X—-^7^7, so ist und II>99; IN —n-j-1 1 Da die beiden letztem Ausdrücke anzcigen, daß dieses Werhältniß das Zeichen ändert, wenn man zu dem Gliede gekommen ist, Gliede an betrachten, um nur den Theil in die Untersuchung aufzunchmcn, in welchem das Gesetz der Zeichen definitiv fcstge- stellt ist; ferner will ich annehmcn, daß x negativ sey, damit, wenn das Verhaltniß der auseinander folgenden Glieder das Zeichen -s- hat, alle Glieder dasselbe Zeichen besitzen. Setzt man dieses fest, und bezeichnet mit das Glied welches das ntc ist, so wird die vorgegebene Reihe folgende Form erhalten in welcher offenbar alle Glieder, mit Ausnahme der beiden ersten, größer seyn werden, als die der Quotientenprogrcssion aber kleiner, mit Ausnahme des ersten, als die der Progression Die Summe der Glieder der Reihe (8) wird also liegen zwischen den Summen oder vielmehr Grenzen (I^roix's Lläm. ck'^Ügvbro) dieser beiden Progressionen; und da der Exponent in der ersten, ^1 —^-^x, in der zweiten, x ist, so werden ihre respektivcn Grenzen seyn: Dieses sind nun auch die Grenzen, über, respektive unter welchen die verschiedenen Annäherungswerthe liegen, welche die Reihe (8) darbietct; der Fehler wird folglich kleiner seyn, als Man erkennt an der erstem Form dieses Ausdrucks leicht, daß er zu jedem beliebigen Grade von Kleinheit gebracht werden in welchem < 1, so werde ich die Reihe nur von diesem m (m—1).(m—n-l-2) , 1.2.(n—1) mff-1 n-j-1 ^x-s-rc. (8), K ff- I^x ff- lVx. x ff- rc. ihre Differenz, welche ist N(mff-1)x (1-x) (r>-s-(- (1-X)(l-(1 kann, indem man n immer größer und größer nimmt; denn der Zähler kann ohne Ende kleiner werden durch das Abnehmen des Faktors —der Name aber kann, indem man in demselben jenen letzten Bruch außer Acht läßt, nicht unter die Größe (1—x)?, — eine für alle Glieder der Reihe unveränderliche Größe — herabsinken. Wender man z. B. die Formel des Binoms an zur Ausziehung der Quadratwurzel der Zahl 2, indem man letztere unter 9_i folgende Form bringt: —, so hat man ^2^4^ 9—1^4^ 1-st^4(1— Zn diesem Falle ist m —4, und da x schon negativ vorausgesetzt ist, so braucht man blos 4 dafür zu substituiren. Will man nun bei dem Gliede stehen bleiben, wo n —10 ist, so wird man erhalten: 1.1.3.5.7.9.11.13.15.17 1 ^"2.4.6.8.10.12.14.16.18.20'9'° 0,000000000003; die Grenzen des Restes der Reihe, welche den Werth von(1—^ ausdrückt, werden also seyn: i - 7s und der begangene Fehler wird kleiner seyn als N.. 3.9N (1-z)(l0-i-(4-9)z) ^8.163^0,00000000000006. Man hat also nur noch diese Zahl mit 4 zu multiplizircn, um die Grenze der Annäherung an den Werth von 2 zu erhalten. Wenn in negativ und >1 wäre, so würde die Ordnung der Größe der beiden Quotientenprogressionen, mit welchen ich die Reihe (8) verglichen habe, umgekehrt seyn; denn das Wer- hältniß des Gliedes N zu demjenigen, welches ihm folgt, würde, da es alsdann - st-1) x wäre, dasjenige, welches blos durch x ausgedrückt ist, übertreffen; aber die Reihe (8) würde immer zwischen den Progressionen liegen, und man fände die Grenzen auf dieselbe Weise wie vorhin. 8 - 8 . Ich habe angenommen, daß alle Glieder der Reihe (8) dasselbe Zeichen hätten, weil dieses der einfachste Fall ist; aber er Hai nicht mehr Statt, wenn die Größen ^^—1 und x im Falle, daß m positiv ist, und die Größen — st-und x im Falle, daß m negativ ist, verschiedene Zeichen haben. Unter beiden Unständen werden die Glieder der Reihe (8) abwechselnd positiv und negativ seyn. Der Abkürzung wegen will ich die Reihe (8) sür diesen Fall folgendermaßen ausdrücken: N — kx st- Hx- — Ux- st- 8x» — ll'x' st- rc. sie zerfallt in folgende beiden: N st-yx-st-8x'-s-rc.----L — (kx st- Itx^ st- 1x^ st- rc.)—I-, in welchen alle Glieder dasselbe Zeichen haben, und deren Grenzen man aus dieselbe Weise finden wird, wie man die der Reihe (8) gefunden hat, indem man statt des Verhältnisses ^1 —das Verhältniß ^ substituirt, weil die Glieder hier von zwei zu zwei genommen werden. Es seyen k nnd k' die Grenzen der Reihe L, 1 und 1' die der Reihe L; so daß L>>k und 1 und <1. Zieht man von der größer» Grenze von L die kleinere von I, ab; so wird man offenbar haben: L —L.k —1'. Ich will mich keineswegs mit der Entwickelung der Rech, nung aufhalten; aber ich mache darauf aufmerksam, daß man, wenn die Glieder einer Reihe theils positiv, theils negativ sind, aus der Vergleichung der einem jeden Lheile entsprechenden Grenzen nichts schließen kann; es wird zu nichts dienen, daß man hier weiß, daß und denn, indem man die Größe der Überschüsse nicht kennt, so wird man nicht wissen, ob I? — 1' über oder unter L — I, liegt. Endlich ist die vorgegebene Reihe, da sie in diesem Falle gleichbedeutend ist mit iV — ((kx—Hx?) st- (Ux?—8x') st- rc.) und mit lV — kx st- ((Hx^—kx^)st-(8x"—Ix') st- rc.), offenbar und . Dieser Umstand scheint mir die Idee einer Grenze keineswegs zu widersprechen; denn man kann den Werth 1, welcher x —0 entspricht, als eine Größe anjehen, welcher das Verhältniß der Funktionen sx und sx-^-x» 16 um so näher zu kommen strebt, je kleiner die Wcrthe von x werden, mag man sie nun positiv oder negativ annehmen. In der Folge werden die geometrischen Betrachtungen den Zweck dieser Bemerkung in noch helleres Licht setzen; aber es ist von anderer Seite klar, daß die Einwürfe, welche man in dieser Beziehung Vorbringen könnte, keinen Grund haben, denn da eine Definition von Wörtern immer willkührlich ist, so dürfen letztere beim Gebrauche allemal nur in der ihnen beigclegten Bedeutung angewcndet werden: nun entsteht aber die Anwendung der Grenzen aus Sätzen, deren Wahrheit blos beruht auf der Möglichkeit zu beweisen, daß eine veränderliche Größe sich ihrer Grenze so sehr nähern kann als man will. Folgende sind die bedeutendsten: 1. Zwei Größen, welche die Grenzen der nämlichen Funktion sind, sind einander gleich. Denn gesetzt, dieses wäre nicht der Fall, so müßten diese Größen eine Differenz haben, und folglich könnte die vorgegebene Funktion sich zu gleicher Zeit der einen und der andern dieser gegebenen Größen nur bis zu einer gegebenen Größe nähern, welches der Definition der Grenzen widerspricht. 2. Die Grenze des Verhältnisses zweier Funktionen ist dem Verhältnisse ihrer Grenzen gleich. Es seyen p und g die entsprechenden Grenzen der Funktionen r und so hat man allgemein l> —x-ff«, (Z —g-j-/?, wo u und Größen bezeichnen, welche zusammen abnehmen, und zu gleicher Zeit verschwinden; es wird also scyn: k ^ x-i-« p-ff« ^ x ^ ein Bruch, dessen Nenner nicht kleiner werden kann als .«, immer kleiner werden, je mehr x zunimmt, so sieht man, daß die vorgegebene Funktion unendlich zu werden strebt, weil ihr Nenner nicht kleiner werden kann als ^1', während ihr Zähler stimmten Größe Wäre « —so würden Zähler und Nenner sich auf ihre ersten Glieder ^ und /I' zu reduziren streben, und die vorgegebene Funklion hätte dann zur Grenze Wenn «<>/ ist, so erhalt man in diesem Falle hat der Zähler allein ein Grenze, nämlich während der Nenner ohne Ende größer wird; die vorgegebene Funktion strebt also Null zu werden, und hat folglich keine an- gebbare Grenze. Erwägt man nun, daß die Glieder von der Form ohne Ende größer wird, wegen des Faktors und der be> §. 14 . Alles Vorhergehende laßt sich in wenige Worte zusammenfassen, wenn man bemerkt, daß die Grenze der vorgegebenen Funktion nur von dem Verhältnisse L/x"' ihrer ersten Glieder abhängig ist, ein Verhältnis welches —^7 oder ^ oder —« wird, je nachdem ce —ist. Es ist also, wenn man nur dieses Verhältniß sucht, erlaubt, ja sogar nothwcndig, alle übrigen Glieder der vorgegebenen Funktion außer Acht zu lassen. Man drückt diesen Umstand auf eine abgekürzte Weise aus, indem man sich der Ausdrücke des unendlich Großen und unendlich Kleinen bedient, und als Grundsatz aufstcllt: daß jede Potenz einer unendlich großen Größe in Vergleich mit einer Potenz derselben Größe von höherem Exponenten verschwindet, und daß auf der andern Seite jede Potenz einer unendlich kleinen Größe in Vergleich mit einer niedrigern Potenz derselben Größe verschwindet. Wendet man diese Grundsätze unmittelbar auf den Ausdruck - j- -s- Lx/ -j- . . ... .. an, so reduzirt man ihn sofort auf Ax" rV/x«" wenn er so geordnet ist, daß man mit dem höchsten Exponenten angefangen, für die erste Voraussetzung nämlich, daß x unendlich groß ftp, oder mit dem niedrigsten, für die zweite Voraussetzung, daß x unendlich klein sey. Dieser Sprachgebrauch, der durch seine Kürze sehr bequem, und in seinem Fundamente sehr exakt ist, hat einen Vorwand zu sehr vielen Einwürfen gegeben, weil er eine wirkliche Existenz dem mathematischen Unendlichen beizulcgen scheint, welches doch eigentlich nur eine negative Idee ist, weil man unendlich groß oder unendlich klein eine Größe nennt, wenn sie zu dem höchsten Grade von Größe oder zu dem niedrigsten Grade von Kleinheit gelangt ist; und man begreift alsdann nicht, wie cs mehrere 2 " 20 Ordnungen des unendlich Großen oder unendlich Kleinen geben könne, ja selbst nicht, daß eine Größe je angesehen werden könne als wirklich unendlich groß oder unendlich klein. Und in der That, es gibt keine genauere Bezeichnungen dieser Begriffe, als die in den folgenden Grundsätzen enthaltenen, deren sich die alten Geometer immer bedienten: 1. Wie groß auch immerhin eine Größe sey, man kann sich eine andere denken, welche sie übertrifft um so viel man will. 2. Wie klein auch immerhin eine Größe sey, man kann sich eine andere denken, welche kleiner ist. Wenn man zuweilen auf Ausdrücke stößt, welche diesen Grundsätzen entgegen zu seyn scheinen, so wird es hinreichen, sie mit einiger Aufmerksamkeit zu untersuchen, um sich zu überzeugen, daß das unendlich Große oder unendlich Kleine in denselben nie auf eine absolute Weise betrachtet vorkommt, sondern daß es sich in der That immer um Verhältnisse handelt, welche zu gewissen angebbaren Grenzen hinstrebcn, deren Existenz leicht begreiflich ist; diese Bemerkung wird um so einleuchtender erscheinen, je mehr man in die Differential - und Integral-Rechnung selbst hinein tritt. Entwickelung der Funktionen in Reihen. 1. Von den algebraischen Funktionen. 6 . 15 . Wir wollen jetzt zu der Entwickelung der Funktionen in Reihen übergehen, und mit der Funktion (p-ssx)'" beginnen. Obgleich sie sich in fast allen Elementarwerken befindet, so ist doch die Art und Weise, wie sie dort hergeleitet wird, in aller Strenge nur anwendbar auf den Fall, wo m eine ganze und positive Zahl ist, und wir glauben daher ihre Herleitung durch ein neues Verfahren vornehmen zu müssen, welches dieser Einschränkung nicht unterworfen ist. UebrigenS weiß man, wie wenig man sich auch immer in der Analysis umgcsehen hat, daß der Ausdruck von (x-j-x)>", welchen man Newton verdankt, zur Entwickelung von fast allen Funktionen angewendet wird: es ist also, da wir diesen Gegenstand behandeln wollen, schicklich, damit zu beginnen. Die Zusammenstellung der ersten Potenzen von (1-ff x), nämlich: (t-ffxff —1-j-2x-ffx- / ffl-ffx)^ —1-ff 3x-s-3x^-j-x" > (1 -ffx)» ^ 1 -ff 4x -ff 6x°- -ff 4x' -s- x'l führt im Allgemeinen zu der Annahme: (1-ffx)'" 1 -ff ^x -ff Ux« -j- <3x-> -ff Ox»-ff rc., in welcher die Coefsizienten -4, D, 6, O rc. Größen sind, die von x nicht abhangen, so daß sie also dieselben bleiben, welchen Werth man auch x beilegt; nun ist aber (x-ffx)'" — x-"(l-ff^ : setzt man also in der.vorgegebenen Reihe ^ statt x, so erhält man (k -ffx)-" --- x'" (1-ff^.^ -ff rc.), und indem man die Multiplikation mit x'" ausführt, so kommt -ff Lg^^x^ -ff -ff D^IN—r^-r -s-rc. (1.) eine Gleichung, welche wahr seyn muß, unabhängig von jedem einzelnen Werthe von x und x, wenn die Coeffizienten L, 6, O gehörig bestimmt werden. Gesetzt nun, es verwandele sich x in x-s-u, so erhält man offenbar (x-ffu) -ff Dp^-2(x-ffri)- -ff Lpw-z (x-ff^)r -ff (x-ffu)' -ff rc. (2); diese Gleichung aber läßt sich noch unter einer andern Form darstellen, indem man x-ffx — g setzt: dann wird (p-ffx-ffr,)'" — (g-ffu)'», und indem man ^ für x und u für x in der Gleichung (1.) setzt, so kommt g-"-ff^gm-^-ffi;g"--2ii--ffLg'°-2ur-ff!)<^-ffi«rc.(Z.) Da die zweiten Seiten der Gleichungen (2) und (3) Ausdrücke derselben Größe in zwei verschiedenen Formen sind, so kann man sie gleich setzen, und dieses gibt -ffL,>^—Z(x-j-iiffffl)j,^"ffx-ffu)ff —-) -ffs,liffu— rc. 1 ! -ff Um nun aber die beiden Seiten dieser letzter» Gleichung unter sich zu vergleichen, muß man auf der ersten Seite die Potenzen von (x-ffu), die sich dort finden, entwickeln: wendet man hier- bei eine ähnliche Bezeichnung wie bei der Gleichung (1.) an, so kann offenbar angenommen werden x-j-u —x , a, st, rc. Zahlen bezeichnen, welche unabhängig von x und u sind, und bei welchen der Accent, womit sie behaftet sind, die Potenz bezeichnet, wozu sie gehören. Substituirt man diese Werthe, und ordnet sie so, daß alle Glieder, welche mit derselben Potenz von u, behaftet sind, in eine Reihe zu stehen kommen, so erhält man: ^-^^,n--x2h-j-Lpm^.->n-xN u-i-vp>^b^xN -j-rc. ? ? rc. ic. > I i ch- rc. / / / / — ch" -j- st- -s- re. (4). Da der Werth von x in der Gleichung (1-) unbestimmt bleiben muß, so sieht man leicht, daß dasselbe von x und von u in der Gleichung (4.) angenommen werden muß, die nur eine Folge der ersten ist; nun kann aber diese Bedingung nicht erfüllt seyn, wenn nicht die Gleichung (4.) identisch wird unabhängig von u; d. h. wenn nicht die Größen, welche ein und dieselbe Potenz von u auf beiden Seiten multipliziren, sich gegenseitig vernichten. Vergleicht man für's Erste die erste Kolonne jeder Seile, so findet man ,,'»st-^p'"^ xst- Dp'"-* st- x? st- Di,-"-'x' -ff rc. — g'", ein Resultat, welches schon nach der Voraussetzung identisch ist, da ja g'" — (i>st-x)">. Geht man zur zweiten Kolonne über, so findet man: eine Gleichung, welche zur Bestimmring der Cocffizicnlen -4., L, 0, v, ( p-si x)"> I'-six rc. hinreichen wird. Es ist nämlich ---- , und setzt man statt (xst-x)'° seinen Werth, so erhält man, nach Wegschaffung des Nenners, ^^p'»-s-rz^p>»^'x-I-^8x'"^'x'-I-/V6pu^^ x--j-^I)p>»^'x'-p- rc., und wenn man die angezeigte Multiplikation ausführt, so kommt *a"s -ff6j ^,u—r-,lil> i 2>i j -l-6,, '„M-Zgin, ^ ^p'° -p- X -s- -j-^6i>"^x' ff- rc. Man muß bei dieser ganzen Rechnung nicht aus den Äugen verlieren, daß 8, 6,0, rc. Zahlen sind, in welchen weder x noch x, noch 11 Vorkommen kann; man muß also diese Gleichung wie die vorige behandeln, und indem man die Cocffizien- teu jeder Potenz von x aus beiden Seiten vergleicht, so findet man: > II tz 3 U —sl) ^8 — 6s'"ff-8s" -und hieraus erhält man 6 r>-l ^8 (rch—g") al" X6--7Dar"-l-62---t > « O 6(^— a^--) a" rc. Die Art und Weise, wie sich diese Gleichungen bilden, ist einleuchtend genug, um sie so weit sortsetzen zu können, als man will; und man sicht leicht, daß, wenn 8,>"">x" und auseinander folgende Glieder der Entwickelung von (pff-x)»> vorstellen, man erhalten wird L8 —voraus folgt ein Ausdruck, in welchem n keine Potenz von s bezeichnet, sondern die Anzahl der Accente, welche dieser Buchstabe haben muß. Ich bemerke, daß die Coeffizienten 8, 6, O rc. alle bestimmt seyn werden, wenn man sff gm, ^., ^ kennte; aber diese letztem sind nichts anders als die Coeffizienten des zweiten Gliedes der Potenzen des Binoms, welche zum Exponenten die Zahlen 1, 2, 3, rc. haben. Es folgt hieraus, daß man aus dem zweiten Gliede der Entwickelung von (pff-x)>" alle übrigen hcrleiten kann; denn da ^ der Cocffizient dieses zweiten Gliedes ist, so müssen sich daraus , gleichsam wie einzelne Fälle, die der zweiten Glieder von (xchx), (x-z-x)-, sxff-x)-, rc. ergeben. 24 8- 16. Man weiß schon, daß die zweiten Glieder jener erstem Potenzen sind: x, 2,,x, lch>-x, rc.; cs scheint natürlich, daraus nach Analogie zu schließen, daß das zweite Glied von (p-j-x)-" sey: iuxm-cx: es bleibt uns also blos diese Behauptung zu beweisen übrig, um im Stande zu seyn, alle Cvcffizienten der gesuchten Entwickelung anzugeben. Unter der großen Anzahl von Mitteln, dahin zu gelangen, wähle ich das folgende, welches Euler in einem der sinnreichsten Beweise des binomischen Satzes angcwendet hat, und welches ich schon an andern Orten vorgebracht habe, (Eomplom. äesLIomeus ck'HAölire.) Welches auch immerhin der Coeffizient von x im zweiten Gliede der Entwickelung von (1-s-x)»> seyn möge, er ist noth- wendig eine Funktion blos vom Exponenten m, und ich bezeichne ihn daher mit 5(m), wobei der Buchstabe 5 eine Abkürzung deS Wortes Funktion ist. Nach dieser Uebereinkunft erhält man (1-j-x)>"---1-j-x 5(m)-j-rc. und eben so ( 1 -s-x)" — 1-j-x k(r)-s-rc. Multiplizirt man diese beiden Gleichungen mit einander, so erhält man (1 -s-x)"-l-r 1 -j- x (k(m) -I- k(r)) -s- rc.; aber nach der angeführten Bemerkung hat man auch (1-s-x)"^ — i -p- xk(m-l-i-) -s- rc., wo k sm-j-i-) aus m^-r auf dieselbe Weise besteht, wie und L(i) bezüglich aus m und r; und indem man die obigen beiden Entwickelungen vergleicht, so folgt k(m-j-i) —k(m)-j-ksi), eine Gleichung, welche das charakteristische Merkmal der durch k bezeichnten Funktion ausdrückt. Verwandelt man r in r-s-«, so wird die vorige Gleichung k(il-I-r-s-s) —k (m) -j- F(r-j-s) ; dieselbe vorige Gleichung gibt aber auch k(r-^5) ^F(r)-i-k(s), mithin ist k(iii-j-i'-j- 8 )^:k(lii)-j- k(r) -j- 5( 5 ). Setzt man s-j-r statt s, so kommt (5ir>-str->-8-!-t) — 5(m) -j- k(i) -j- k (8) -j- k (t) und so fort. Nachdem dieses festgesetzt ist, so erhält man 1. wenn i — 1 gesetzt wird k(,ii-j-1)---k(iii)-i-5(1), oder k(mst-l) —k(iri) -j-1; 25 denn da r —1 ist, so rcduzirt sich (Ist-x)r auf Ist-x, oder der Coeffizient von x ist 1, so daß also 5(1) —1. Setzt man nun nach einander dieses gilt für den Fall, in welchem m eine ganze Zahl ist. 2. Es scy in —r —8 —r; da die Gleichung 5(mst-rst-8st-t) — 5 (in) st- 5(r) st- 5(8) st- 5(t) sich nun verwandelt in 5(4m) —45(m) so folgt daraus 5(m) — st5(4m); und hieraus ergibt sich, daß, wenn 4m eine ganze Zahl ist, die ich mit 1 bezeichne, man erhalt man würde auf dieselbe Weise in dem Falle schließen können, in 3. Setzt man endlich mst-r—0, ein Fall, in welchem 5(mst-r) —0, und (1st-x)° —1, so folgt, daß 5(0) nothwendig 0 ist: man erhält alsdann also 5 (m) st- 5(r) — 0 , oder 5(r) — — 5 (m) ; aber da mst-r — 0 , so folgt r —— m; also Man kann also die Behauptung aufstellen, daß, was auch immer die durch m vorge stellte Zahl sey, — wenn sie rational ist, so werden die beiden ersten Glieder der Entwickelung von (1st-x)>" sepn: 1st-mx. Ich werde in der Folge zeigen, daß selbst in dem Falle, wenn der Exponent m irrational oder gar imaginär ist, die obige Behauptung immer richtig fepn wird. m^7l, m^--2, m^-3, re. so findet man 5(2) ^-5(1) st- 1—2 5 (3)--5(2) st-1-3 5(m—1) —5(m— 2 ) st- 1 —m—1 5 (m)—5(m—1) st- 1 — m: 5 (4m) — i, und 5 welchem m irgend ein Bruchs wäre, und man würde finden 5 (—m) — — 5(m) — — m. 26 §. 17. Nimmt man die Gleichungen r>!) L(L — 3 ") 2 ^ - 3 ^)) wieder auf, und seht darin 1, a-- —2, so liefern sie H. —IN 2 (m—1) ^ Ni(m—1) ^ IN— 2 in(m —1)(in—2) ^ IN—3 Nisin—1) (ln—2) (in—3) 4 — 1^27374 (in —n) Der Ausdruck von O enthält das allgemeine Gesetz der Cvefsizien- ten, und aus ihm geht hervor, wie ein jeder derselben sich auä dem vorhergehenden ergibt. Substituirt man die eben gefundenen Werthe, so erhält man li n_ ällx-l-x--l- s-n-2) , i 1.2 1.2.3 NI (in—1)(ni — 2) (in — 3) t.2.3.4 x' -s-rc., und zum allgemeinen Gliede, dessen Exponent von x, da er unbestimmt bleibt, durch n bezeichnet wird, ,n(in — 1) (in—2)..... (in—n-j-1) 1.2.3.....'n §. 18. Wir haben zur Bestimmung der Coeffizienten L, L, O, v rc. nur diejenigen Glieder der Gleichung (4.) gebraucht, wclcye mit der ersten Potenz von u behaftet sind; indessen dürfen wir schließen, daß die übrigen in jedem Gliede identisch sind; denn wäre dieses nicht der Fall, so folgten daraus neue Gleichungen, denen unmöglich Genüge geschehen konnte, da die Größen ei, L, E, v, rc. schon bestimmt sind, und es wäre also falsch, wenn man sagte, die Entwickelung von ( 1 -ftx)'" könne durch eine Reihe von der Form i ft-eix ft-Vx-Lx? ft-rc., die zu allen Werthen von x paßt, vorgestellt werden. Wenn schon dieses Raisonnement vollkommen die Richtigkeit der erhaltenen Entwickelung zu beweisen scheint, so will ich, um nichts zu wünschen zu lassen, dennoch zeigen, daß die übrigen Glieder der Gleichung (4.) sich gegenseitig vertilgen. Zu diesem Behufs nehme ich den Ausdruck ft- (x ft- u) ft. u)- ft- 6pm^ (x ft- u)- -ft »(xft-u)* ft- rc. der Gleichung wiederum auf, dessen Entwickelung die erste Seite der Gleichung (4.) bildet, und ich bemerke, daß man diese Entwickelung mit Hülfe des Vorigen ausführen kann, da die Coef- sizienten ei, L, 6, v, rc. bestimmt sind. Sucht man nämlich diejenige Größe, mit welcher irgend eine Potenz u» derselben multiplizier scpn muß, so ist leicht zu ersehen, daß man zu rw nicht vor dem Gliede, welches mit (xft-u)" affizirt ist, gelangen könne, daß man aber von diesem aus obige Potenz in allen Gliedern findet, so daß also, wenn man die Potenzen von (xft-u)», (xft-u)n-7-i, rc. entwickelt, und mit u, statt mit x anfängt, welches einerlei ist, u" im ersten Gliede bei der ersten Entwickelung, im zweiten Gliede bei der zweiten, u. s. w. Vorkommen wird. Gesetzt also, daß man in der vorgegebenen Reihe folgende Glieder habe: (x ft- u)" ft- Op^-"-i(xft-u)"^-i ft-i;^m-n-2 (x ft-u)"-i-r ft- Sp'n-n-a (xft-u)"-i-a . so folgt daraus für den Coeffizienten von rw, m—n—1 . lr H(nft-I) 1.2 (nft-3)suft-2)(n-s-1). . , -ft - ^ Spm-»-3x-ft_ ; aber nach dem Gesetze, welches wir für die Coeffizienten der Entwickelung von " nach den Potenzen von X Gebrauch machen, aber man kann dazu auf eine einfachere Weise gelangen, wie man sogleich sehen wird. Man darf nämlich offenbar annehmcn: daß: (a st-bx st- cx- st- ilx^ -f-.— 24-j-Lx st-Ox-st-vx''st- Lx*st-rc.; denn bringt man die erste Seite dieser Gleichung auf die Form eines Binoms (ast-Kp», und entwickelt dieses, so wird das Resultat, was auch immerhin in seyn möge, nur ganze und positive Potenzen von K enthalten, von der ersten an einschließlich; und wenn man statt wiederum seinen Werth setzte, so würde folglich diese Substitution nur ganze und positive Potenzen von x cinführen. Nachdem dieses festgesetzt ist, so wird, wenn x sich in x-j-u verwandelte, (in-n)(in N-2 X- st- (m—n) (in—n—1) sin—n—2) 172V3 ,m—n—3 §. 19. 29 (ast-b(xst-u) st- c (x-f-u)- st- ck(xst-ri? st-....)" 21 st-L(xst-u) st- 6 (xst-u)-st- v(xst-u)'st- L (x st- n)« .( 1 -); da diese Gleichung unabhängig von jedem einzelnen Werthe von x und u statt finden muß, so müssen in der Entwickelung der beiden Seiten, die Glieder, welche einerlei Potenzen von x und u multipliziren, identisch seyn. Die Funktion gst-b (xst-u) st- c(xst-u)° st- ck(xst-u)^ st- n. wird für's Erste ast-bxst-cx? st- clx^ st- st- du st- 2oxust-33x-u st- st-cu- st- 3 clxu^st- st- tt» setzt man der Kürze wegen, ast-bxst-ex4st-" oder x'"; man erhält also, indem man die Coeffizicntcn von u vergleicht, inj>m-.r(chst, 2 cxst- 36 xü st-...— Dst-2Lxst-3Ox^st-4blx^st-!c.; es ist aber —, und wenn man statt x" und u ihre Werthe setzt, so findet man nach Wegschaffung der Nenner, 30 m (^-j-Rx-j-Lx2-s-I)x^-s-Iilx'-s-rc.)(b-s-2nx-s-3c!x^-s-4<:x'-s- ) — (L-s- 20x-j- 3vx2ff-4lllx^ff-!c.) (.i-j-bx-j-c:x»-s-(lx'ff-sx^-j-...): führt man die «»gezeigten Multiplikationen aus, so ergibt sich inb2^.-s- inbLl -j- inb6l -j- inbOl -j- inbL^ -s-2iue,^.s ^-s-2inclj? x^ st-2incL l , -j-2inc0l -s-3inck2^) -s-3iii36 ) x^-j-rc. -j-4iue2^1 -j-4inellt -s- 5i»l/V) aD-s-2r>6 t -j-ZaOl -s-4k>1ll^ -j-Zkib'i -j- bL -s-2be» -s-3bv -j-4bLk )x-s- ck)x- ff-2cO)x^ -s-3rv )x» st-rc. s / Vergleicht man die Coeffizienten der homologen Potenzen von x, so erhalt man rill— inb^. 2sL—(ui—1)bkst- 2inc2^ ZnO—(in—2)b<üst-(2>n—1)cRst- Zincl^. 4aLl—(in—3)bOst-(2in—2)c6 st-(3in—1)lI6st- 4>ns^. 5al^—(m—4)blüst-(2in—3)cl1st-(3in—2)<10st-(4in—IhoD-s-Zink^ !c. Das Gesetz dieser Wcrthe ist leicht zu erkennen: alle Coeffizienten L, 6, I) :c. werden bestimmt seyn, wenn 2 ^ bekannt ist; aber man sieht, daß 2 ^ den Werth der Entwickelung für x—0 ausdrückt, und in diesem Falle reduzirt sich die vorgegebene Funktion (s st- bx st- cx^ st- ckx^ st-. aufs'": man hat also 2 ^ —g>". Berechnet man nach diesem Werthe die der Buchstaben 8, tl, v, rc., so findet man leicht, daß der Ausdruck für die inte Potenz des Polynoms L st-bx st-cx? st- ckx^-s- ist: , IN , , in(,n—1) , L-°st-^ i»-n-'bxst- 1.2 st- - -i'N-Io ' 1 st- st- st- IN (in—1)(m—2) ,, > . . —^---^s"--3b- x'-j- 1.2.3 ^ ' in(in-1) . , ^ ^ a-n--bc' 1.1 8-u-> 3 31 mp—1)Q-2) (in—3) . . 1 . 2 . 3 . 4 .»o-t)-n—s 1.2.1 I 1.1 / -i- mO—1) „ „ - 1 1.2 > IN ^ , / 1 ^ 1) 0"2) (in—'.) 0—4) > 1 . 2 . 3 . 4 . 5 inO—DO—2)0—3) 1 . 2 . 3 . 1 m(,n— 1 ) ('»^ 2 ) 1.2.1 -i- mO-1)Om2)^-^o- 1.1.2 rn(in—1) 1 . 1 -st- rn(in-1) 1.1 IN 1 ^ §. 20 . Moivre, der zuerst diese Entwickelung angegeben, hat auch Regeln zur successivcn Bildung aller Glieder nütgetheilt; aber sie sind wenig bequem und beruhen blos aus Induktion; ich werde mich dabei nicht aufhalten, weil ich in der Folge weit ergiebigere Nerfahrungsarten auseinander setzen muß. Ich kann indcß diesen Gegenstand nicht verlassen, ohne seine Verbindung mit der Entwickelung der ntten Potenz des Binoms rc. deßen Glieder unabhängig sind, nachzuweisen. Man gelangt ohne Mühe durch Newton's binomische Formel (siehe Loiu,>I. ciss Lltzin. ä' , oder unten §. 24.) zu dem Beweise, daß alle Glieder der Entwickelung von (cest-/S-i- rc.)>" sie ergeben vermittelst des Ausdrucks m(in—1). 1.2,3...gX1.2 O-n-l-1) 3...rX1.2.3...sXec. 32 indem man für g, r, » rc. alle ganzen und positiven Zahlen, (0 mit eingeschlossen) setzt, welche der Gleichung g r -ss 8 -j- rc. u ill Genüge leisten, und dem n' nach einander die Wcrthe c>, 1,2, 3, rc. ertheilt. Setzt man nun « —/? —dx, ^ULX-, F —6x^, rc. so wird das zu entwickelnde Polynom (s -ss bx -j- cx^-ss clx^ -ssrc.)'"z der Ausdruck, welcher alle seine Glieder umfaßt, wird seyn: in(in—1) .... -1.2.3...gXI.2.3 .... ill-j-1) >rX1.2.3...8Xw. ir' l/chr' cl^ee. Da man sich aber immer vorsetzt, die gesuchte Entwickelung nach den Potenzen von x zu ordnen, so muß man unter den verschiedenen Gliedern, welche der obige Ausdruck liefert, diejenigen zusammen nehmen, welche mit derselben Potenz von x behaftet sind; d. h. wenn der Exponent der Potenz, deren Coeffi- zient man haben will, n ist, so muß man, um die Glieder zu finden, woraus er besteht, den Buchstaben g, r, s, rc. alle ganzen und positiven Werthe geben, welche g -j- 2r -j- 3s -firc. — n machen, und alsdann durch die Gleichung g st- r -j- s -j- rc. — bestimmen. Folgendes ist die Tabelle dieser Werthe in den ersten Gliedern: 0, findet man g- -0, 1 — o, 8 —0 , rc. u0 1, — — <1^ 1' ^7 0, 8—0, — ul 2, — -2, -o, 1' — r 0, 1, 8 —0 , 8 —0, - — l/ — 2 ul -3, 0, 8^--0, - u3 3 , — i — 1, 8 — 0, — n' u2 -0, r — 0, 8^1, — l/ ul rc. Wenn man die Exponenten der Buchstaben s, k>, a, rc. für jedes Glied bestimmt hat, so ergibt sich sofort der Zahlencoeffizient, womit sie multiplizirt werden müssen, indem man darauf Acht hat, in seinem Nenner, die Faktoren wegzulassen, welche sich beziehen auf diejenigen der Buchstaben g, r, 8, rc., welche Null sind, oder vielmehr welche in dieses Glied nicht hineinkommen. Wenn z. B. n — w(in—1)(m—2) 3, so erhalt man die drei Glieder zlll—Zl>Z, - 1 ) , 1 c', 1.2.3 1.1 33 welche in der That (wie wir am Schlüsse von §. 19. gesehen) x^ multiplizircn. Die Schwierigkeit besteht, wie man sieht, blos in der Bildung aller Kombinationen von ganzen und positiven Zahlen, welche der Gleichung g-i-2,-ch-Zs-s-rc. —n nach den vcrscbiedencn Weichen von n Genüge leisten können; man hat zu diesem Bchuse mehrere Vcrfahrungsartcn, und darunter sehr sinnreiche erdacht, und cs ist dieses speziell der Gegenstand der kombinatorischen Analysis, deren erste Idee Leibnitz angchört, und die in Deutschland viel bearbeitet worden ist; in den übrigen Landern hat man sich weit weniger damit beschäftigt, und dafür Methoden angewendet, welche mit den Formen der analytischen Rechnung übereinstimmender sind. 2. Von den transcendcntcn Funktionen. Exponential-Funktionen. §. 21 . Die einfachste aller transcendcnten Funktionen ist die, welche man kennt unter dem Namen ErPo n cn ti alFu nkti on, und zu welcher man geführt wurde, indem man die Beziehung betrachtete, welche obwaltet zwischen irgend einem Glicdc einer Quotientenprogression, und der Stelle, die cs einnimmt. Nennt man das erste Glied «, den Exponenten , das gesuchte Glied und die Anzahl der Glieder, welche ihm vorhergehen, x, so ist, wie bekannt, ^ —u,ch in dieser Gleichung, in welcher « und -> unveränderliche Grüßen sind für jede Progression, ist ^ eine Funktion von x, und umgekehrt x eine Funktion von aber diese Funktionen sind beide don einer hohem Ordnung als die algebraischen Funktionen; denn, um ^ zu erhalten, muß eine unbestimmte Anzahl von Multiplikationen und selbst Wur- zclausziehungcn ausgcführt werden, wenn man dem x Bruch- werthc beilegt. Die Gleichung — ^welche für j^en Werth von x ihren Grad ändert, nannte Johann Bernoulli, der sich» zuerst damit beschäftigte, eine fortlaufende Gleichung (egiiatio» yercuiimine). Was die Bestimmung von x durch I betrifft, so kann diese nur mit Hülfe der Logarithmen ausgcführt werden. Ich will jetzt die Mittel zur Entwickelung der Funktion ^ angeben,- und, der Einfachheit wegen, a —1 setzen, woraus gr — gx folgt. Ich nehme an , könne vorgestellt werden durch die Reihe 3 34 . 4.0 in welcher ^,, ^4., rc. die von x unabhängigen Coefsi- zientcn sind, und die unterhalb stehenden Ziffern 0, 1, 2, rc. den Exponenten derjenigen Potenz von x andeuten, die den Buchstaben multiplizirt, wobei sie stehen; ^ wird also der Coef- sizient von x^ seyn. Diese Bezeichnung, welche anfangs etwas komplizirt zu seyn scheint, ist nichts dcstoweniger sehr bequem, und sehr geeignet, das Gesetz, welches zwischen den Werthen der Coefsizienten obwaltet, deutlich zu machen. Man wird vielleicht die Frage aufwerfen, welcher Umstand die Wahl der Reihe bedingt habe, und warum sie nach steigenden Potenzen x fortschreite: es ist leicht, diese Fragen zu beantworten. Die Funktion s* wird nämlich der Einheit gleich, wenn man darin x---0 setzt, und wenn man der Reihe Form gegeben hätte: so sieht man, daß, unter derselben Voraussetzung, alle Glieder der Reihe unendlich groß werden; letztere Form also konnte die vorgegebene Funktion nicht verstellen. Im Allgemeinen, wenn die Form der Reihe mit der gesuchten Entwickelung nicht übereinstimmte, so würde die Rechnung auf widersprechende Beziehungen zwischen den Coefsizienten führen. Es folgt hieraus, daß, um auf die Resultate der Methode der unbestimmten Co effizienten, die ich hier anwende, bauen zu können, man sich vergewissern muß, daß man nicht auf widersprechende Beziehungen stoßt, wie weit man auch die Rechnung treibt; letzterer Umstand ist es, den man nicht würde erklären können, in dem Falle wo die Reihe unendlich ist, es sey denn, daß man das Gesetz angeben könnte, welches die Glieder der Reihe befolgen. Nachdem dieses festgesetzt ist, so verwandelt sich die Funktion s^, wenn x in x-j-u übergeht, in da aber die Koeffizienten rc. unabhängig sind von jedem speziellen Werthe von x, so muß man auf gleiche Weise haben: und -s-rc; und da s*x so muß das Produkt der beiden ersten Reihen gleich seyn der letzten. Um die verschiedenen Partialpro- duktc zu ordnen, reicht es hin, in der obern Reihe jedes Mal ein Glied weniger zu nehmen, wenn man den Multiplikator in der untern Reihe wechselt, und alle Glieder, welche aus derselben 35 Potenz von (x-j-nh in der dritten Reihe entstehen in ein und dieselbe Kolonne zu setzen; man erhält alsdann: -j-^1 ^^x^-j-^,^zNx^-s- re. t -ch^z^--,^ -s-^^n^x-s-rc.t ^o H,x-s- ^ ^zx' -ff -^.x^ -j-rc. -f- -s- 2^.ux-s-3.4.zUx- -j-4^,ux^ -j- rc. -s-32VzU^x-s-6^„u^x'-i-rc. -j- ^z ee^ -f-4^^ri««x-s-rc. -s- -j-rc. Da diese Gleichung sür jeden beliebigen Werth von ,i und x statt finden muß, so folgt daraus nvthwendig, daß diese Größen auf die Bestimmung der Coeffizienten keinen Einfluß haben können, und daß also jedes Glied der ersten «Leite dem entsprechenden der zweiten Seite gleich seyn muß; man hat also — ^.g, welches ^o —l gibt, ein Werth, den man überall statt ^ setzen kann, und welcher diesen Buchstaben in allen Gliedern, wo er vorkommt, wcgzulafsen gestattet. Es folgt aus dieser Weglassung, daß die erste Zeile der ersten Seite identisch ist mit der ersten der zweiten Seite; wir werden also mittelst der zweiten Zeile die Gleichungen suchen, welche die Coeffizienten bestimmen, und so erhalten woraus man erhält 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4 rc. und allgemein ^ I -^-IN—- — rn^,2, rc. ' 1.2.3...rn' Da alle Coeffizienten, mit Ausnahme des zweiten durch diese Gleichungen bestimmt sind, so folgt, daß, wenn die für die Entwickelung von angenommene Form die richtige ist, die dritte Zeile der ersten Seite, und alle folgenden, von selbst identisch werden müflen mit den entsprechenden auf der zweiten Seite. *) *) Ich glaubte den Beweis dieser Behauptung übergehen zu kennen; 3" — 36 Um diese Behauptung zu beweisen, nehme man auf der ersten Seite irgend ein Glied rr-x»; sein Coeffizient wird offenbar sepn oder Dasselbe Glied rv»x" hat, da es einen Ehest der Potenz (m-s-n) von (x-j-rr) auf der zweiten Seite ausmacht, zum Cocffizienten (iN-^-Q) (m-s-II-1). substituirt man diesen Werth und hebt die gemeinschaftlichen Faktoren des Zählers und Nenners auf, nämlich alle Zahlen denn hebt man in der ersten Gleichung auf Leiden Seiten die identischen Glieder auf, und Lividirt dann beide Seiten durch n, so ergibt sich eL,-i-rc. < -k- ^>i-1» 3.4zux-i-8ä.,ux2-j-rc. t -c. Da aber diese Gleichung für jeden Werth von u statt finden muß, so kann man » —0 setzen, alsdann rcduzirt sich jede Seite auf die erste Zeile, und man erhalt ganz die oben gefundenen Gleichungen. Obgleich dieser Gang kürzer ist, als dcricnigc, Len ich befolgt habe, so glaubte ich dennoch letzteren Len Vorzug geben zu müssen, weil er in Beziehung auf die Genauigkeit der Entwickelung nichts zu wünschen übrig läßt, und also aus diesem Grunde um so mehr denjenigen genügen wird, die noch keine bedeutende Gewandtheit in der Analysis haben. Was ich eben bemerkt habe, findet gleichfalls seine Anwendung auf §. 34, Z. 37 und §. 3L, und ich werde mich dort der Wiederholung übcrheben. Ich hatte auch von einem cinfachcrn Umstande zur Bestimmung der Entwickelung von ausgchcn können, nämlich von der Gleichung s^-a^X-r^; aber die Gleichung->*X->", welche die vorhergehende in sich enthält, ist allgemeiner, und umfaßt alle Eigcnthümlichkcitcn, deren die Funktion fähig ist, weil sie die ausgedehnteste Erklärung derselben ausdrückt, »ud die einzige, die einen Sinn enthält, .wenn die veränderliche Große x imaginär ist. 1.2.3 1.2.3. 1.2.3 ...mX 1.2.3 . ..w 1.2.3... aber _ n-1 __ 1.2.3 .... (irr -s- ir) von in-s-Q bis zu w-l-1 einschließlich, so erhält man zum Resultat _ 1.2.3_iiXI.2.3-m ' d. i. dasselbe wie vorhin. Die Identität ist also nachgewiesen, und wir können daraus schließen, daß 1-l- ^,x ^ HZ -si rc. §- 22 . Es bleibt noch zu bestimmen übrig: zu diesem Behufe 1 setzen wir x —so erhalten wir -^1 7^^ 17^73 ^ 772^^ ^ eine Reihe, deren Convergenz um so schneller wird, weil das Ver- haltniß der aufeinander folgenden Glieder ohne Ende abnimmt. Setzt man sie bis zum zehnten Gliede fort, so gibt sie 2,7182818, und wenn man mit s ihren genauen Werth, den man so nahe kommen kann, als man will, bezeichnet, so folgt 1 Nimmt man den Logarithmus auf beiden Seiten dieser Gleichung, so erhält man also ä.^^; und vermittelst dieses Werthes von L., findet man 1 oA»x /lo^aX^x^ /logsX^ x^ 'löge 17^''^^"8^^ 1.2.3^ Diese Entwickelung vereinfacht sich, wenn man die Logarithmen desjenigen Systems nimmt, dessen Basis die Zahle "ist, weil alsdann to^s —1; und wenn man diese Gattung Logarithmen durch das Symbol ll bezeichnet, so kommt 1 -f- (ll.) ^ -si (1'a)- ^ -f- (1'a)- si- rc. Setzt man endlich so erhält man einfach x' 11.2 -s- !t. 1.2.3 Die verschiedenen eben mitgetheilten Reihen werden in ihrem 38 Verlaufe immer konvergent, welchen Werth man auch dem x cr- theilt, denn in der Reihe i-l- 2 l,x ff- r .2 ^1.2.3 -f-rc. welche sie alle umfaßt, sind zwei aufeinander folgende Glieder von der Form 1.2_il ^ 1^2 .H(il -I- 1) ' ihr Verhältniß ist also ^,x ; setzt man nun aber die Reihe fort, so muß man nothwendig zu einem Gliede kommen, in welchem die Zahl uff-l die Größe ^,x übertrifft; und von diesem Gliede aus wird die Reihe immer mehr und mehr konvergent. §. 23. Folgendes ist eine sehr bcmerkenswerthe Eigenthümlichkeit der Entwickelung von Da so folgt, daß V ^ 1 1.2 ^3 ^ X» ^»> Hz/ — 1 1 . 2.3 re. und man erhalt so mit der größten Leichtigkeit die Entwickelung irgend einer Potenz der Reihe, welche s* ausdrückt, eine Entwickelung , die vermittelst der Formeln des tz. 19. sehr weitlauftig seyn würde. §. 24. Die Entwickelung von (tz. 22.) führt auch auf eine sehr einfache Weise zu dem Ausdrucke des allgemeinen Gliedes der mten Potenz irgend eines Polynoms. Es sey « ff- ff- 7 -s-Üff-kff- rc. dieses Polynom; setzt man für x die Größe (uff-^-s-^ff-llff- rc.) x, so erhalt man für's Erste b(«-t-F-l-)'-1->5-^....)x^g«x g>tx setzt man für die Erponentialgrößen ihre Entwickelungen, so er/ halt man die Gleichung . , (c-ff-/?ff-^ff-üff-rc.)x («-s -/?ff-/ff--5ff-rcch-x- ^ 1 ^ 1.2 -j- (tt-s-/? ff-)'-s- llff-rc.)'x' ff^ ff-rc.^- 1.2.3 — 39 — -i-^X ^ ^ 1 ^ 1.2 ^1.2.3 ^ / ^^1^1.2' 1.2.3 / / vx . v^x^ , v'x' , X ^ X H ^ "') ^ / . " behaftet sind, und wird also die Entwickelung von seyn. Multiplizirt man durch das Produkt 1.2.3 _m, so erhält man die Entwickelung von ck-s-rc.)'"; diese letztere wird also hervorgehen aus dem Ausdrucke 1.2. 3 .... in«^/?^-ks-.7c. ^ ^ 1.2.3.. .p X 1.2.3...g xch.2 .3...-X1.2.3...5XW.' indem man den ganzen Zahlen x, q, r, s, rc. alle positiven Werthe, von Null angefangen, ertheilt, welche der Gleichung ksi--r-l-8-l-rc.—n': wenn man es in die Formel (1.) setzt, und die Faktoren 1 . 2.3 _ick, welche dem Zahler und Nenner gemeinschaftlich sind, aufhebt, so erhält man den Ausdruck m(rn—1 )(nr—2)....(ui—n'-j-t/ZI)/'' csb. rc. 1.2.3...gX1.2.3...i'Xl. 2 .3 ... 8 Xrc. ' welcher schon tz. 20. angcwendet worden ist, und in welchem man bemerken muß, daß die negativen oder Bruch-Exponenten nicht über das erste Glied « des vergebenen Polynoms hinaus sich erstrecken. Entwickelung der transzendenten Funktionen. L 0 garithmische Funktionen. 8. 25. Wenn man einen Ausdruck für 2 ^, finden könnte, welcher nur algebraische Glieder in a enthielte, so würde man, da 2 ^,—^-—, hierdurch die Entwickelung der logarithmischen wg s Funktion erhalten; aber indem man s —l-s-b macht, so wird die Funktion s* —(i-sib)>y und kann vermittelst der Formel des Binoms entwickelt werden; man hat alsdann: 41 x(x-1)(x-2)(x- 3) ^ 1 . 2 . 3 . 4 . Um diese Entwickelung mit derjenigen zu vergleichen, die wir tz. 21. gefunden haben, muß man sie nach den Potenzen von x ordnen, und hierdurch erhalt sie folgende Form: V . b- b» , X b- 2 --I- Z -4 -l-r^x . /, br b- b» . X . / ^ 3b- , 11b» , X X- ch- rc. Das Gesetz des Coessizienten von x ist leicht zu erkennen, und da dieser der einzige ist, dessen wir zur Bestimmung von ^ bedür» b» b- b» fen, so erhalten wir auf der Stelle 4., — b— ^ ^ — "4 ^ oder, indem man statt b seinen Werth »—1 setzt, 2^3 4 und hieraus erhalt man log-» —logs ^(a— 1)-^^- ^ -ssrc.^. Diese Reihe ist nur dann konvergent, wenn g—1 eine sehr kleine Größe ist; aber man kann sie durch einen sehr einfachen Kunstgriff dazu bringen. Setzt man nämlich ^ statt a, so kommt (^ä-1)' -si rc. aber man weiß, daß log »---m log man erhält also 1)' , (l^—1)- log s — m log 6 -1) - 2 setzt man nun für m eine immer größere und größere Zahl; so kann man es dahin bringen, daß so wenig, als man will, von der Einheit verschieden ist; und da die Größe —1 NM so rascher abnimmt, je mehr m zunimmt, so kann der Ausdruck von loga so konvergent werden als man will. Um die Rechnung zu erleichtern, muß man die Zahl m unter denen der Progression 2, 4, 8, 16, 32,.2" wählen, damit man nur Quadratwurzeln auszuziehen hat. Es ist zu bemerken, daß man immer zuwege bringen kann, daß das erste Glied der vorgegebenen Reihe einen hinreichenden Näherungswerth des loZ s liefert. Nimmt man nämlich den Exponenten n so groß, daß man, zwischen der Einheit und der ersten be- deutlichen Ziffer der ausgezogencn Wurzel, wenigstens eben so viele Nullen hat, als man Dezimalziffern im Endresultat crhal, tcn will, so wird das Quadrat, da es doppelt so viel Dezimalziffern als seine Wurzel enthält, außerhalb der Grenzen fallen, die man sich vorgesteckt hat. Es sey z. B. —10: für diesen Fall fand Briggs, nachdem er 54 Mal nacheinander die Quadratwurzel dieser Zahl aus- gezogen, zum Resultat 1,00000 00000 00000 12781 91493 20032 35: zieht man die Einheit davon ab, so erhält man einen Bruch, dessen Quadrat vor seiner ersten bedeutlichen Ziffer 31 Nullen haben wird; die Größe — 1 gibt also in diesem Falle die 31 ersten Dczimalziffern des Werthes der ganzen Reihe; und wenn die Zahl -n log s, womit, die Reihe multiplizirt werden muß, 20 Ziffern in ihrem ganzen Lheile enthalt, so werden die 11 ersten Dezimalziffern des Produkts noch diejenigen des genauen Werthes von Ing-, seyn; hierbei muß man bemerken, daß in, welches hier 2" ist, nur 17 Ziffern hat, und daß in dem System der gewöhnlichen Logarithmen log « ein Bruch ist. §. 26. Lagrange, welcher zuerst die vorhergehende Reihe geliefert hat, bemerkt zugleich, daß man daraus eine andere herleiten könne, deren sämmtliche Glieder das Zeichen -j- haben- wenn man m negativ nimmt, weil ^--1 1--- und weil, wenn s die Einheit übersteigt, man hat 1, und -<1. Durch diese Verwandlung, und mit Rücksicht darauf, 43 daß loZ s — — erhält man log s—IN log s Diese letzte Reihe liefert unmittelbar eine Grenze von logs; denn da alle ihre Glieder additiv sind, so folgt daraus, daß Die Grenze im entgegengesetzten Sinne ergibt aus der andern Reihe, wenn man darauf Acht hat, daß, weil ihre Glieder abnehmend sind, das zweite, welches negativ ist, verbunden mit dem dritten, welches positiv ist, nothwendig ein negatives Resultat geben wird; und da es dieselbe Bcwandtniß hat mit dem vierten und fünften, und mit allen übrigen Gliedern der Reihe, je zwei und zwei auf diese Weise genommen, so muß also daS erste Glied für sich allein großer seyn als der wahre Werth: also Die Differenz zwischen den beiden Grenzen des log» ist und diese kann um so kleiner gemacht werden, je größer man die Zahl a» nimmt. Um log- zu bestimmen, Muß man eine Annahme in Bezug auf log e festsetzen. Die einfachste ist offenbar, log-» —1 zu setzen, in welchem Falle man es mit der speziellen Art von Logarithmen zu thun hat, welche schon oben §. 22. durch das Symbol ll bezeichnet und bisher hyperbolische Logarithmen genannt wurden, weil man sic ableiten kann aus der Quadratur der zwischen der gleichseitigen Hyperbel und ihren Asymptoten enthaltenen Räume; aber diese Benennung ist fehlerhaft, weil man eben so aus der Quadratur der Hyperbel im Allgemeinen alle Logarithmen-Systeme ableiten kann. Es wäre also passender, erstem den Namen ihres Erfinders zu geben, und auf diese Weise das Andenken an den Mann zu ehren, der der Mathematik einen so großen Dienst geleistet hat: man könnte sie also Logarithmen von Neper, oder Nepcr'sche Logarithmen nennen. log a ^in log log n in log o (— 1). §. 27. Briggs änderte das von Neper gewählte System, und um sich an unser Zahlen-System zu halten, nahm er als Basis die Zahl 10; er hatte also log 10 — 1: aber wenn man sich auf das erste Glied der Reihe beschränkt, so findet man logo--:—-; und setzt man statt 2 die Zahl 10, so m(^ä—1) kommt löge —--———. n> (l^10—l) Man hat im Vorigen gesehen, daß Briggs 54 Mal nach der Reihe die Quadratwurzel die Zahl 10 auszog; er hatte also 1 m —2»—2", und um den Quotientenzu finden, divk- dirte er die Einheit 54 Mal nach der Reihe durch 2, wodurch er erhielt 0, 00000 00000 00000 05551 11512 31257 827. 1 rv Substituirt man diesen Werth statt —, so wie auch der für den ich weiter oben mitgctbeilt habe, so erhält man, indem im Zähler und Nenner 15 Nullen weggelassen werden, löge 0,5551 11512 31257 827 '1,2781 01493 20032^5" ---0,4342944819032518. Dies ist die Zahl mit welcher die Logarithmen des Systems in welchem log s — 1 (die Neperschen Logarithmen) multiplizirt werden müssen, um die Briggischen oder die der gewöhnlichen Tafeln zu erhalten. Wollte man umgekehrt von den Logarithmen der Tafeln zu den Neperschen übergehen, so müßte man die erstem durch die Zahl, welche wir eben gefunden haben, dividiren, oder, was dasselbe ist, sie mit — 2,30258 50929 94045 multipliciren. Man bemerke, daß dieses letztere Resultat nichts Anderes als dcrNe- persche Logarithmus von 10 ist; denn setzt man log 6—1, so findet man ss 10--m(l^so- 1 ), welches gerade das Reziproke des oben gefundenen Werthcs von logg ist In jedem Systeme gibt man der Zahl log 6 den Namen Modulus; wir werden sie allgemein mit AI bezeichnen, und weil im Neperschen Systeme Al —1, so schließen wir daraus log s — lVI l'a, oder IVl — . Es folgt hieraus, daß man, um den Modulus irgend eines Logarithmen-Systems zu finden, das Vcchaltniß ausmitteln muß, welches die Logarithmen einer 45 und derselben Zahl, nach dem gegebenen und nach dem Nepcr- schen Systeme berechnet, haben. Um den Logarithmus von 2 zu berechnen, suchte Briggs den von 1,024, einer Zahl, die der Quotient ist aus 1000 in die zehnte Potenz von 2, weil die Ausziehung der Wurzeln aus der einen ihm leichter vorkam, als aus der andern. Nachdem er 47 Mal nach der Reihe die Quadratwurzel aus 1,024 gezo. gen, rechnete er mit dem Resultate, so wie mit demjenigen, welches er aus der Zahl 10 erhalten hatte, und kam so zu dem Nepcrschen Logarithmen von 1,024, den er dann mit dem Modulus multiplizirte, und woraus er nun leicht den Logarithmus von 2 herleitete, indem 1,024 ^ ^öö' ^ führe die Auseinandersetzung der 'Rechnungen von Briggs nicht weiter durch, indem es meine Absicht war, nur eine leise Andeutung derselben zu geben. Wenn man in der Reihe, welche den Werth von (§. 22.) ein Resultat, welches sich auf jedes beliebige Logarithmen-System erstreckt. Setzt man x —1, so findet man Diese Reihe gibt den Wertst der Zahl » , wenn man ihren Logarithmus, und den Modulus des Systems, dem der Logarithmus angehört, kennt. Wir wollen nun zu den hauptsächlichsten Umformungen schreiten, die man mit der Reihe, welche log » ausdrückt, vorgcnom- men hat, um sie konvergenter und also geeigneter zur Berechnung logarithmischer Tabellen zu machen. §. 28. ausdrückt, statt 1A seinen Werth setzt, so verwandelt sie sich in x / logs r- x- /rog^X ^lV1/1^XL1/1.2^Q4^ _x*_ 1 . 2 . 3.4 ^ lVl -^1.2X LI / 1 /log 1.2.3 1 . 2 . 3.4 §. 29. Es sey für'Z Erste n — 1 4 - n; so kommt ^ 4-u.), eine Reihe, welche sehr bequem ist, um die Logarithmen solcher Zahlen, welche wenig von der Einheit verschieden sind, zu berechnen. Wenn u —1, so ist der Gang der Reihe so langsam, daß man eine große Anzahl Glieder berechnen müßte, um zu einem nur etwas genauen Resultate zu gelangen; denn alsdann ist chch-rc.), und wenn man Ml —1 setzt, so kommt I'2---1 — 44- j— 44 _rc, Setzt man —n statt n in dem vorigen Ausdrucke von !c>§ ( 1 -chu), so findet man II« 3 4 -rc woraus man hcrleitet 1 oZ (I 4 - 11 )—Iog( 1 —u) 4 -^ 4 - rc.) eine Reihe, deren Gang rascher ist, als der d"rr erstem Reihe. Man setze — r-.; so erhalt man und 2— 1 ,-x- -2M I- . Setzt man, um ein Beispiel zu geben, -^ — 2 , so kommt log 2 --- 2 l>l 4 - 4 - ^ 4 - —- 4 - rc.), eine Reihe, die bei Weitem konvergenter ist, als diejenige, welche wir vorhin erhalten haben. Drückt man einen jeden der Brüche, woraus sie besteht, in Decimalbrüchen aus, so findet man, wenn man sich auf sieben Decimalstellen beschrankt, 1oZ2^0,6931472 Ml; und für den Fall, wo Ml —1 ist, kommt - 1'2^-0,6931472. Um das dem Briggischen Systeme zugehörige Ml zu erhalten, reicht es hin, den Neperschen Logarithmus von 10 zu berechnen, und ihn zu vergleichen mit der Einheit, welche den Briggischen Logarithmus derselben Zahl ausdrückt: die vorige Reihe nun liefert, wenn man darin - —10 setzt, — 47 I' 10-2stst- st st--c.), eine Reihe, welche noch konvergent ist, aber weniger als die vorige; aus diesem Grunde werde ich einen andern Weg angeben, um schneller zu I'IO zu gelangen, nachdem ich einige Bemerkungen über den Ausdruck des log 2 gemacht habe. .Man muß sür's Erste bemerken, daß die Convergenz dieser Reihe abnimmt, in dem Maße als - wächst, weil der Bruch zu dem man gelangt, wenn man 2 unendlich groß macht (H. 13). Es folgt daraus, daß die Reihe gesetzt werden, dem Logarithmus einer unendlich großen Zahl entspricht, und folglich einen unendlich großen Werth hat. Die Reihe 1 st-st st-st-st st- re. ist nicht die einzige abnehmende Reihe, deren Summe keine Grenze hat: die folgende*) ist auch in demselben Falle, wie man sich überzeugen kann, indem man darauf Acht hat, daß sie hervorgeht aus wenn man darin n —1 und IVI —1 setzt, und daß sie —l'o entspricht; nun weiß man aber, daß der Logarithmus von 0 das negative.Unendliche ist, in denjenigen Systemen, deren Basis die Einheit übersteigt, (klein. ä'^I»et>re.) Man gelangt unmittelbar zu dieser Schlußsolge durch die Reche, welche l'(1— 0 ) ausdruckt, indem man darin 1 — u—- L setzt, woraus folgt ') Man nennt sie harmonische Reihe, weil man davon einigen Gebrauch macht bei Berechnung der Schwingung tönender Saiten. tz. 30. -—^ sich immer mehr und mehr der Einheit nähert, ein Werth, 2(1-f-stst-stst-st-I--c.) welche man erhält, wenn - ^-7-^ — 1 und Dl—1 2-f-l 1 st- st st- st st- st st- st st- rc. / log (1— 0 ) ——7 Dl / u- u' o» . X 48 und 1 1 denn l'-, da er —U 2 ist, wird das negative Unendliche, wenn - unendlich ist; aber alsdann verwandelt sich die Reihe in 1-1-4-^ -c.: diese letztere hat also keine Grenze. Eine sehr wichtige Schlußfolge bietet sich hier dar, daß nämlich jede Reihe, deren Glieder schneller abnehmen, als die der Reihe 1ch-^-^-s-s-4-4-^-s-rc., nothwendig eine Grenze haben müsse; denn da log^ eine endliche Größe ist, so lange 2 nicht unendlich wird, so muß nothwendig die Folge der Brüche 2—1 welche eine konvergirende, und der Anwendung des in tz. 9. angegebenen Verfahrens fähige Reihe ist, eine Grenze haben, wie nahe auch übrigens der Bruch der Einheit komme. si. 31. Um zu meinem Gegenstände zurückzukehren, welcher darin besteht, die Logarithmen der Zahlen durch Reihen auszudrücken, die um so konvergenter sind, je größer die Zahlen sind, setze ich für's Erste 1-s-o 1—rr —, woraus 1 rr m—n und . IN ,- log — weil aber log——logm— logn, so erhält man hieraus eine Reihe, welche die Beschaffenheit des Ausdrucks für die Differenz zweier Logarithmen vermittelst der Summe und der Differenz der zugehörigen Zahlen darlcgt. 49 Schreibt man n-fi- statt m, so bekommt das vorige Resultat die Form und wenn 2 — 1, so wird es I°S(«-fich-j^^ ^ Reihen, welche um so konvergenter sind, je größer n ist. Die zweite liefert mit vieler Leichtigkeit die Logarithmen der aufeinander folgenden Zahlen, und man kann sie mit Nutzen zur Bestimmung des Modulus gebrauchen. Setzt man darin fur's Erste n — 1, so findet man sür log 2 denselben Werth wie §. 29; aber da das Doppelte des Logarithmus von 2 den von 4 gibt, so kann man u- — also -4 setzen, und alsdann kommt ^ 2n-s-1 eine sehr konvergente Reihe. Hat man auf diese Weise dm Neperschcn Logarithmus von 5 berechnet, und addirt dazu den von 2, so erhält man den Neperschcn Logarithmus von 10. Die Reihe -chj -s--c.) ist sehr geeignet zur Berechnung des Logarithmus einer Zahl, welche die Grenzen der Tabellen überschreitet. Gesetzt nämlich, diese Tabellen enthielten nicht die Zahlen über 10000, und man verlangte den Logarithmus von 125283, so muß man diese Zahl in zwei Theile zerlegen, wovon der eine sich in den Tabellen findet, und dieses kann geschehen, indem man sie gleichsetzt 125200-s-83, weil der gewöhnliche Logarithmus von 1252 unmittelbar den von 125200 liefert: man setze also n —125200, und 2 — 83. Die Reihe wird alsdann fortschreiten nach den ungeraden Potenzen von ^44^, eines Bruches, der kleiner ist als tz. 32. Der Ausdruck von log^, welcher von den ungeraden Potenzen vonabhangt, ist die Quelle unzähliger Formeln, welche geeignet sind zur Berechnung eines Logarithmus in immer 4 50 raschem Annäherungen, vermittelst einiger derjenigen, die ihn vorhergehen. Diese Formeln erhält man, wie man sogleich sehen wird, indem man für in und n Funktionen setzt, die sich in Faktoren zerlegen lassen. Es sey sür's Erste NI —x^, n —(x—1)(x-j-l)—x?— 1; so kommt ITT log - — laß — 2 logX — lag(x— 1)-log (xsi-1), ln-n 1 in-ssn 2x^—1 2 logx — 1og(x — 1) — log (x-j-1) — 2 log s /_^i i V2X?—1 ^ ^ (2x- woraus man herleitet log (x-j-1)—2 logx — 1og(x—i) — 2 log 6 ( 2 x^ 1 1 ^' 1 (2x?—1)- Diese Formel ist sehr konvergent; denn wenn x —1000, so schreitet sie fort nach den ungeraden Potenzen von Die den Funktionen -n und n zu gebende Form war im vorigen Falle leicht zu errathen; der wesentliche Punkt besteht darin, daß die unbestimmte Größe x nicht in den Zähler hineinkommt, damit der Nenner allein um so großer wird, je mehr die Werthe von x zunehmen. Für den dritten Grad nehme man an IN —x^-s-xx^-j-gx-s-r, n — x^-s-px^-j-gx-j-r', damit man blos habe w— n —r —r; alsdann muß man die Cocffizienten x, g, rund r' so bestimmen, daß die Größen m und o in kommensurabele Faktoren zerlegt werden können. De- lambre hat in der Einleitung, mit welcher er die trigonometrischen Tabellen von Borda bereichert hat, die Funktionen m und n auf die Form gebracht: IN — x^-s-xx-j-g, N —x^-j-xx—g und nimmt in Folge dieser Formen an: IN — (x-s) (x-l>) (x -j- S -j- k>) n — (x-s-s)(x-j-b)(x-a —b), woraus folgt 7 > — (sk>-j-ü^-^-l)^), g -N 2g III- , - ... , , Io"— — louni IN-j-N 2 (x^-j-^x) ^ n o s'b -j- sl>^ logn 51 — 1og(x—s) -si log (x—k>) st- log (xst-sst-b) — log (x-j-s) — log eine Gleichung, welche den Logarithmus der Zahl xst-sst-b, vermittels! der Logarithmen von fünf vorhergehenden Zahlen erkennen läßt. Man kann verschiedene Voraussetzungen in Beziehung auf s und b machen; ich will mich nur mit derjenigen befassen, wenn L —b —i, welche gibtp —— 3, g— 2 , und 2log(x—1)-sslog(x-I-2)—2log(x-ss1)—1og(x- 2)^2 löge eine sehr einfache Formel, welche den Logarithmus der Zahl xst-2 vermittelst derjenigen von blos drei vorhergehenden Zahlen liefert. Ich habe an andern Orten (Oomplem. »es Liem. c!'.4lg.) den Gebrauch derselben gezeigt, um rasch die Logarithmen der kleinsten Primzahlen zu erhalten, und Delambre hat in der schon angeführten Einleitung bemerkt, daß man daraus einen noch weit vortheilhaftern Gebrauch machen könne. Diese Formel, welche man Borda verdankt, ist in so-fern bemerkcnswerth, als sie die Aufmerksamkeit zurück geleitet hat auf alle ihr ähnlichen, die man durchaus nicht zu kennen schien, obgleich sich eine sehr ähnliche in der Abhandlung über die Fluenten von Müller findet, ein Werk, das seit mehr als 60 Jahren herausgekommen war. Es ist einleuchtend, daß, wenn man für m und r> Funktionen nimmt, die den dritten Grad übersteigen, man zu noch konvergentem Formeln gelangen kann, und daß die Wahl dieser Funktionen folgenden Bedingungen unterworfen ist: Zwei Zahlengleichungen zu finden, welche nur in ihrem letzten Gliede verschieden sind, und deren Wurzeln ganze und kommcnsurabele Zahlen sind. Dieses ist der Gegenstand der Untersuchungen von Lavernüde, welche in dem Verzeichniß der Arbeiten der Akademie des Gard (Departement) angegeben sind, und von welchen Gergonne, ein ausgezeichneter Professor zu Nismes mir drei sonderbare Resultate mitgethcilt hat, welche ich hier nach der Formel von Haros, der sich auf den vierten Grad bezieht, einflechten will. Diese letztere erhält man, wenn man setzt x-(x—5)(xst-5) — x*— 25x4 n ---(x—3)(xst-3)(x— 4)(xst-4) —25x4 st- 144; woraus folgt (x-s-k>) — loz (x—a—k>) 4 52 IN—n 144 72 stsch-n 2x*--50x--j-144 ^x^—25x°-s-72' 2 logxst-log(x—5)->-1og(x-i-5)—log(x—3)— ) —log(x-j-Z)—1og(x—4)—1oA(x-i-4)) / 72 X — 2 lassi —--4- w. I ^ ^x»—25x--j-72" V ein Ausdruck, welcher den Logarithmus von x-j-5 vermittelst der Logarithmen von sechs vorhergehenden Zahlen Liefert. Die erste Formel von Lavernede ist, obgleich blos vom vierten Grade, noch etwas konvergenter, und enthält nur sechs Logarithmen: sie setzt voraus in—x^ (x-s-5)2 — x" -st 10x4 -st 25 X? n — (x— 1)(x-st2)(x-st3)(x-st0) — x2'-j-1 Ox?-s-25x2—30, und führt auf 36 16 rn-stn 2x2-st20x4-st50x4—Z(j x^-st10x^-^-25x-—18' 21ogx-st2log(x-st5)—1og(x—1)—log(x-st2)—- s — 1ciA(x-i-3)—log(x-stO)s -2lo.L:k;^ — ^ -st-'c. I, Xx^-st10x^-st25x- —18 woraus man log(x-stO) herlciten kann vermittelst der Logarithmen von fünf vorhergehenden Zahlen. Die zweite Formel von Lavernede folgt aus folgenden Voraussetzungen: m — (x-st2) (x-st-4) sx-stio) (x—7) (x—g) — x° — 125x^ -st 3004x 5040, n — (x—2) (x—4) (x—10) (x-s-7) (x-stg) —x^— 125x--j-3004x —5040, welche geben, NI—n 5040 in-stn x^ — 125x^-st3004x' 1og(x-st2)-stlog (x-s-4) -s- log (x-stio) -s- log (x—7) i -i-1og (x—S)—logsx—2)—logsx—4) —log(x— 10 ) - — -t-1og(x-j-7)—1og(xst-9) ) o i / Ü040 , X ^ ^X'-125x^ch-3040x^ und den Logarithmus von (x-st10) vermittelst der Logarithmen von 9 vorhergehenden Zahlen. Die dritte Formel ist vom sechsten Grade, und entspricht > 53 ,n — x-(x—7)- (x-ss7)' — x"—98x»-ss2401x', ri ^(x—3) (xss-3) (x—5) (x-s-5) (x—8) (x-s-8) — x«—98x^ss-2401x^—14400, woraus folgt IN— n 7200 issss-ss " x°—98x'-j-2401x'--'7200' 2 log x -ss 2 log (x—7) -s- 2 log (xss-7) l — log(x —3)—log(x-j-3) — log (x—5? — — log(x-j-5)—log(x—8)— log (x-f-8) ^ ' / 7200 . > 2 Ic>L e >-t- re. I. d Vx°—98x'-i-240lx-—200 ' / Diese letztere Formel ist bemcrkenswerth, in so fern, als das erste Glied der Reihe, wenn die Zahl x etwas groß ist, von einer solchen Kleinheit wird, daß man es nicht in Rechnung zu bringen braucht, die Reihe also außer Acht lassen, und durch bloße Additionen und Subtraktionen den Logarithmus von (xss- 8 ) durch die Logarithmen von 8 vorhergehenden Zahlen bestimmen kann. Denn der Bruch ^gg^ 24 oix-- 72 Ö 6 ist kleiner als o.oooooooi, wenn x —ioo, und kleiner als 0,00000000000001, wenn x —1000. Wie schnell indessen auch diese Annäherung seyn möge, die Analysten würden vielleicht, wenn es sich um Berechnung von Tabellen handelte, eine noch bequemere aufsinden, indem sie sich der Methode der successiven Differenzen bedienten, wovon im dritten Lheile dieses Werkes die Rede seyn wird. Unter den verschiedenen bisher vorgebrachten Entwickelungen für die Logarithmen findet sich keine, welche nach deü Potenzen der Zahl fortschreitet; und man hat wirklich keinen Ausdruck von der Form: log 11^:21 -ss Dil -s- ss- ^; der Grund ist leicht cinzusehen. Wenn II —0, so wird logu das negative Unendliche, welchen Werth weder die vorige Reihe, noch irgend eine andere, die nur positive Potenzen von n enthält , liefern kann; man kann eben so wenig setzen: UL I) . togii — 2^-1 -s- ---j—--s-rc., U 13 ? ^3 » - weil eine solche Entwickelung, da sie für den Fall, daß u un- 54 endlich ist, einen endlichen Werth hat, mit log» nicht übereinstimmen kann. Es ist indessen möglich, eine Entwickelung zu finden, welche obigen beiden Bedingungen Genüge leistet; sie kann zwar wirklich in keinem Falle auf eine bequeme Weise den Werth von logn ausdrücken, aber da sie durch ihre Form be. merkenswcrth ist, und zu interessanten Analogien zwischen den logarithmischen- und Kreis-Funktionen führt, so will ich sie nicht mit Stillschweigen übergehen. Man hat zieht man die zweite Reihe von der ersten ab, so sinder man, da oder log u----Hl ((n —— ^(ii?—n—-) -j- > — w^) .— -c.). Obgleich die Art und Weise, wie wir zur Entwickelung von log» (tz. 25.) gelangt sind, sehr strenge ist, und Nichts zu wünschen zu lassen scheint, so wird man vielleicht dennoch gerne sehen, wie die Umformung, welche uns bis jetzt zur Entwickelung der Funktionen geführt hat, auf die logarithmische Funktion in Anwendung gebracht werden kann. Nach dem im vorigen §. Gesagten müssen wir für die Entwickelung des Logarithmus eine Form annehmen, welche sich auf Null reduzirt, wenn die zugehörige Zahl der Einheit gleich wird: nun leistet aber jede ganze und rationale Funktion von 2—1 dieser Bedingung Genüge: man kann also setzen: Iog 2 —( 2 —1) 1)' -sirc. Um die Reihe zu vereinfachen, machen wir 2 — 1 —x, also -----1-j-x, und folglich log(l-^-x) —-j-rc. Nimmt man, wie gewöhnlich, an, daß x sich in x-j-u verwandelt, so kommt log(l-i-x-j-u) — (x-j-u)-s-^,(x-j-u)--l-^,(x-j-u)- -si rc.; zieht man die zweite Reihe von der ersten ab, so sinder man, da 1og(l-j-^----log(lst-Il) —logn, log(l-j-ii)-log(l-j-^) ---1ogu---HI ((n- -1 §. 34 . aber indem man 1-h-x—p setzt, wird log(!-k-x-l-n)--:log (x-s-n), und da x-s-u —p ^ hat man log (1-j-x-j-w) --- log -s- -s- log x, und, gemäß der Voraussetzung also logsl-l-x-j-iy^Iog p-I-^, Vergleicht man untereinander die beiden Werthe von log (1-I-x-j-u), welche identisch seyn müssen, welches auch der Werth von o sey, so findet man, wenn man sich auf beiden Seiten nur aus diejenigen Glieder beschränkt, welche die erste Potenz von o, multipliziren, ^ -j- 24.., x -j- 34, x^ -s- rc. — setzt man statt p wiederum seinen Werth, so kommt (4^-s-24.2x-j-34zX?-j-rc.) (l^-x) —4,. Vollzieht man die angezeigte Mulliplikation, und bestimmt einzeln die Cocffizicnten einer jeden Potenz von x, so erhält man 2^2-si 34, -si2.42^0 44 § -j- 34,^^-0 rc. ,4,— > woraus folgt < 4, -4. -> '3 > »_ rc. Resultate, welche sehr übereinstimmend sind mit den schon gefundenen, und bei welchen man sich merken muß, daß der erste Coeffizient 4^ unbestimmt bleibt, weil er die Stelle des Modulus vertritt. Es bleibt noch zu beweisen übrig, daß alle die Gleichungen, welche man aus der Vergleichung der mit o- und den hohem Potenzen von o affizirtcn Glieder erhalten würde, identisch sind. Zu diesem Behufe nehme ich die Gleichung log(lsi-x-s-o)—^,(x-j-u)-s-^ 2 (xsi-o)r-j-.. - ff- 4„(x-s->.i)"-j- 4,.^i (xsi-u)>^-s-rc. wieder auf. Es ist leicht einzusehen, daß der Coeffizient von ^ in der Entwickelung der zweiten Seite dieser Gleichung seyn wird: 26 ^ -l- (n-t-1) x -1- -z- (^-i-Z)(n-I-2)(n-^1) 2.3 und nach dem vorhin aufgefundcnen Gesetze hat man (n -j-1) -s- n ^—0 (u-j-2) (u st-1) ^ 0 rc. s. l — - woraus.folgt ^1n-pz -—- nst-1 nst-2 nst-3 rc. -x^st-ic Substituirt man diese Werthe, so kommt (i - eine Reihe, welche nichts Anderes ist als die Entwickelung von aber der Coeffizient von u" in die Gleichung 1.1 ^ ) log k 11 1 . 1 > 11 ^ x" (lst-x)" dem vorigen identisch ist. ^I>( 1 st-x)-u, ein Resultat, welches mit §. 35. Wir sind jetzt im Stande, zu beweisen, daß, wie wir H. 16. angegeben haben, selbst wenn der Exponent n irrational oder imaginär ist, die beiden ersten Glieder der Entwickelung von (1-s-x)" immerhin 1 st- nx sind. Denn gesetzt (lst-x)n scp entwickelt in die Reihe Ist-^xst- , und man macht, der Abkürzung wegen, ^x st-Lx-st-rc. — px, so wird log((1 si-x)") — log(l-j-px) sepn; aber log ((1-j-x)") — nlog(lst-x): also log (1-j-xx) —n log (1-j-x), oder entwickelt ?x l'-x- o >>^ x^> NX" nx^ rc. r und da diese Gleichung unabhängig von x stattfindcn muß, so erhält man, indem für x sein Werth gesetzt wird, und man sich blos auf die mit der ersten Potenz von x behafteten Glieder beschränkt, ^ —m Es ist leicht zu ersehen, daß diese Demonstration durchaus unabhängig von der Natur der Zahl n ist, und daß sie keinen fehlerhaften Kreisschluß in sich erhält, wenn man sich erinnert, daß wir in der Aufsuchung der Entwickelung von 1oA(1-six) nur auf ganze Potenzen des Binoms gestoßen sind. §. 36. Die Betrachtung der Grenzen führt ebenfalls sehr gut zu der Entwickelung der Erponential- und logarithmischen Funktionen: dieses will ich jetzt zeigen, und mit letztem beginnen. Die elementarste Methode zur Berechnung der Logarithmen besteht in der Ausziehung einer Wurzel aus der Basis von einem sehr hohen Grade, und die, da sie sehr nahe der Einheit kommt, den Exponenten einer Quoticntenprogression bildet, deren Glieder in hinlänglich kleinen Differenzen wachsen, um daraus, wenigstens auf eine hinreichend annähernde Weise, die Zahl zu bestimmen , deren Logarithmus man sucht. Diese Zahl ist alsdann durch eine Bruchpotcnz der Basis ausgevrückt, und der Exponent dieser Potenz ist der gesuchte Logarithmus. Um mit Sicherheit die Formel des Binoms zur Ausziehung der Wurzel auS der Basis gebrauchen zu können, muß man annehmen, daß diese Basis wenig verschieden von der Einheit ist, welches immer erlaubt ist, weil, wenn man die Logarithmen in einem bestimmten Systeme kennt, dieselben in jedem andern leicht gefunden werden können. (Mein. ä'AUgöbre.) Es sey also 1-j-/? diese Basis, so ist (- 2.3 ^ -l- rc., eine Reihe, die immer konvergent ist, wenn mj>l und (§. 9.) Schreibt man sie folgender Maßen: ^ - 1 - ' so sieht man, daß wo die Reihe zwischen den Parenthesen bezeichnet, und deren Grenze für einen unendlichen Werth von m (§. 13.) ist. 58 Bezeichnet man nun, nach dieser Festsetzung, mit r> irgend eine Zahl, mit -L ihren Logarithmus, und setzt man so erhält man hieraus für's Erste ° - ^ (l st- ferner ^ k 1st---^3-', III III - 2 »-1, oder— — a"— 1 , well III^^: ^ n ^ man erhält also ^ (a»-1^; und wenn man s — 1 st- n i setzt, und fl-j-n)" mittelst der binomischen Formel entwickelt, so erhält man: . / (t-l) sl-lVl-2', 2.3.4 v—^—».- 2.3.4 u-chrc./. woraus folgt Je größer man aber m nimmt, desto größer muß auch n genommen werden, weil ^4, welches^ ist, dasselbe bleibt, so lange a und /? sich nicht ändern; die Grenze des Wachsthums von n entspricht also der des Wachsthums von m, und bei diesem lctz- sr lern Umstande reduzirt sich K auf die Reihe ^ ^ st- rc. , die ich, der Abkürzung wegen, mit U/ bezeichne. Setzt man nun p unendlich groß, so kommt ._ l / ii- u» > Dies ist der Ausdruck des Logarithmus von a oder von (1-s-u), befreit von den willkührlichen Zahlen m und ir: er bezieht sich nur noch auf daS System, dessen Basis 1-ss/? ist; aber für irgend eine Basis « wird der gesuchte Logarithmus seyn ^ (LIsm. wo das zum ersten Systeme gehörige spezielle Symbol bezeichnet: man hat also im zweiten Sh- 1 steine, indem man ——Lischt, ein Resultat, welches denjenigen konform ist, das wir auf einem ganz andern Wege gefunden haben. Die umgekehrte Aufgabe, bei welcher es sich darum handelt, die Zahl durch ihren Logarithmus anszudrücken, wird aufgelößt, findet man , . n(n—, n(n—1)(n—, --s----j_rc.; nimmt man die zum Wachsthume von n gehörige Grenze, d. l). nimmt man an, daß jedes der Produkte n, n(—1), n(n—1) (n—2), rc. sich auf sein erstes Glied n-, n-, rc. reduzire, und verwandelt K in li', so erhält man Weil aber in dem Systeme, dessen Basis « ist, loZa — so folgt, daß ^ —I^ce. 1oA g, —IvAa —weil 1 Ll —setzt man diesen Werth von in die vorige Reihe, so kommt lVI /^1.2V lVl > ^1.2.3V lVI / ^1.2.3.4 2^3 "4 wenn man die Gleichung umkehrt, welches Entwickelt man die angezeigte Potenz, so wie in §. 28. Um kl zu bestimmen, reicht eZ hin, die Zahl zu ermitteln, deren Logarithmus kl ist. Bezeichnet man sie mit e, und macht s —6, log s —log n—kl, sp erhält man e — 1 -ch ^ eben so wie in tz. 22. 1 . 2 1 . Endlich kann man von der Entwickelung von n zu der von übergehen, wenn man für log s den Logarithmus von -r* setzt, welcher x log» ist; man erhält alsdann, gerade wie in X /tox sX-x- /lc>gk>^ X- Vlog s/ 1 chog e/ 1.2 Vlog s/ 1.2 . i -ch rc.»). *) ES ist vielleicht nicht unzweckmäßig, in einem -Werke gegenwärtiger Art dasjenige zu erklären, was Cötes darunter verstand, wenn er die Logarithmen das Maafi der Exponenten oder der Verhältnisse nannte, eine Benennung, auf welche man noch mitunter in englischen Werken stößt. Sie ist hergelcitct aus einem Sprachge- brauchc der alten Geometer, welche das Produkt eines Verhältnisses, welches ein- oder mehrere Mal mit sich selbst multiplizirt wird, doppeltes Verhältnis, dreifaches Verhalt» iß, rc. nannten, und auf diese Weise durch den Exponenten des einfachen Verhältnisses diese Art zusammengcseßter Verhältnisse maßen. Hat man nämlich darauf Acht, daß irgend eine Zahl nichts Anders ist, als das Verhältnis! zwischen der Größe, die sic ausdrückt, und der Einheit, so zerlegt die Gleichung —(l ) die Zahl oder das Vcrhaltniß 1 -l-^ ^ in eine Anzahl von n Verhältnissen, deren jedes —ist. Für eine andere Zahl -/ hätte man auf dieselbe Weise ^ — (l -l- —; das Verhältnis; würde ausgcdrückt durch (^1 -i- *, und also verglichen mit dem einfachen Verhältnisse 1-1-^. Die Exponenten n, >? und — u bezeichne» also den respektive» Grad der Multiplikation der Verhältnisse2, -, ; aber da ich und -4/ — id die Logarith- n>cn der Zahlen und — bezeichnen, so hat man diese Logarithmen find also proportional den Zahlen n, ich —», 6t Kreis-Funktionen. tz. 3 7. Die Trigonometrie Hot uns eine Art Funktionen kennen gelehrt, welche nicht weniger bedeutungsvoll sind, als diejenigen, womit wir uns so eben beschäftigt haben; dies sind die Sinus und Cosinus der Kreisbogen. Ich werde jetzt zeigen, daß man sie nicht nur in Reihen entwickeln, sondern sogar ihre bedeutendsten Eigenthümlichkeitcn aufsindm kann, indem man von den Formeln ausgeht, die säst in allen Elemcntarbüchecn zur Berechnung der Sinus und Cosinus der Summe und der Differenz zweier Bogen enthalten sind. Ich beginne mit der Aufsuchung des cosx, und ich nehme an, daß x in x-fti- und in x —>r übergeht; die angeführten Formeln geben in diesen beiden Fällen: cos (x -ft n) — cos x cos rr — sin x «tu 11 *) welche die rcspcktivcn Grade der Multiplikation der Verhältnisse - - ausdrücken. 1 1 g Nimmt man z. B. die gewöhnlichen Logarithmen der Zahlen 2 und 3, so findet man i, 3010300 4771213 , io ^ looooooo ^ -ii ^ 10000000' woraus sich ergibt Mit dem Verhältnisse (io)i°»»(nr°ö werden also die zusammengcsetz- 2 3 tcn Verhältnisse ^ und ^ verglichen. Sic sind hiermit nur annäherungsweise gemessen, denn wie wenig auch die Zahl ( 10 ) ^>>"»'00015 von der Einheit verschieden ist, so eristirt doch immer ein Intervall zwischen jeder ihrer verschiedenen Potenzen; aber dieses Intervall wird ohne Aufhören kleiner, je größer der Grad der aus der Basis ansgezogencn Wurzel, d. h. die Zahl m, wird; und mithin stimmt die Grenze der allgemeinen Gleichung -> —(l-i-^" vollkommen mit dem durch die Zahl kt charaktcrisirten Logarithmcnsystcmc überein. Der umgekehrte Werth , oder dl, wird von CvtcS der Modular-Exponent genannt. *) In Allem nun Folgenden nehme ich den Radius gleich der Einheit lp X 301VZ00 ^ / _1V 4 7 7 1 2 I 5 62 cos (x—u) cos x cos u st- «in x si» u. Addirt man diese beiden Gleichungen, so kommt cos (xst-u) st- cos (x— u) — 2 cos x cos u. Es sey nun cos X — ^.g st- ^ , X st- ^x^ -f- st- eX ^x' st- rc. so hat man cosn— cos(xst-u)—(xst-u) st-(xst-u)^ st-stz(xst-u)- st- -^4 (xst-")*st-rc. coü(x—v) — st--^i (x—u) st-^V^ (x—u)^-s-.Vz(x—u)-st- (x—u)»st-rc. Setzt man diese Reihen in die Gleichung cos (x-s-u) st-cos (x— u) 2 cos x cos u, so worden alle Glieder, welche mit ungeraden Potenzen von u behaftet sind, in der Entwickelung der ersten Seite verschwinden; cs ist also unnöthig, sie in die zweite Seite auszunehmen, und folglich kann man, ohne der Allgemeinheit der geinachten Voraussetzungen zu schaden, 2^, 2^, :c. gleich Null setzen, wodurch sich der Ausdruck für cosx so verwandelt, daß er nur gerade Potenzen von x enthültl ^Es folg! hieraus, daß cosx sich nicht ändert, wenn man —x statt x schreibt; übrigens ist dieses auch leicht a priori zu erkennen, 1) durch die Gleichungen, wovon wir ausgegangcn sind, in welchen cos u derselbe bleibt, obgleich der Bogen u in der ersten positiv, in der zweiten nega, tiv ist; 2) wenn man Rücksicht darauf nimmt, daß der Cosinus . eines Bogens sich nicht ändert, man siiag diesen Bogen oberhalb oder unterhalb des Diamcters nehmen. Man erhält also /cosx —st,g-j-^2x^ st-eV,,x* st-- 4 gX° st-n. ico.s u, —-s-2^.,, u* st-^gn" st-rc. ücos.(x-stu)—^oH^(x-j-u)-->-^.^(x-j-u)»-ß-^g(x-i-u)S-strc. fcosstx—u)—st,0-i-2lst(x—u)-st-^(x—u)«-j-^^(x—u)°-j-rc. und die Gleichung cos (xst-u) st-cos (x—u) —2 cosx cos u liefert, wenn man beide Seiten durch 2 dividirt an: wollte man ihm eitlen ander» Werth geben, so würde cS hin- reichen, denjenigen Buchstaben einzuführcn, welcher ihn bezeichnet, und zwar auf die Weise, daß man die in der ersten Annahme gefundenen Formeln homogen macht. 63 -f- -j- -s-....-f- -f-rc.x .-s-rc.t -I- -ch.-^rc.) -i-...-i-^o^x" -i-rc. -j-^V . ^0 2 ^ 2 ^ —2-^I>— .-i-rc. -i-^s^o"° ^.°chrc. Vergleicht man die Glieder, welche mit denselben Potenzen von x und n behaftet sind, so hat man sür's Erstes —oder 2 -to—1, ein Werth, welcher die erste Zeile der ersten Seite identisch macht mit der ersten der zweiten Seite; geht man nun zu den zweiten Zeilen, so findet man ^2—^-2 6^2—-^2^2 15^g--^2^» * 3.4 woraus folgte I,(l 1 —i) - ^ 2 -^11- 3.4.5.6 N N 22 3 .4 . Ü...H Alle Koeffizienten sind nun bestimmt, mit Ausnahme von ^ , und den Gleichungen, welche aus der Vergleichung der andern Zeilen resultircn, wird Genüge geleistet durch die vorhergehenden Werthe. Man kann nämlich dem Ausdrucke des Cocsfizientcn A» folgende Form geben 2^ r » — r ) " 2 . 3 ... n' indem man seinen Zähler und Nenner mit 2 multiplizirt; und hieraus leitet man leicht her: -"rir^-n- -^IL — (2 . Z .... iri-j-v) 2^^ ^ 2. 3.. .m >< 2.3 ... 11 ' aber das Produkt n'"x" hat, da es einen Theil der Entwickelung von 0-j-u)ui4-i> auf der ersten Seite ausmacht, zum Coeffizicnten 64 (m-s-n) (in-j-n —1).srnff-1) , oder, wenn man für seinen Werth setzt, nnd die gemcin- schastlichen Faktoren im Zahler und Nenner gegen einander aufhebt, 2 ^ ^ ' _ 1.2.3_uiX1.2.Z....n' ein Resultat, welches genau derselbe Werth ist, den wir weiter oben für den Koeffizienten von m»x" auf der zweiten Seite, gesunden haben. Es ist also nun strenge bewiesen, daß cosx—1 2^,, x- 1.2 --- — -- — 1.2.3.4 ^ 1.2.3.4.5.6 ^ tz. 38. Man kann auf eine ähnliche Weise den Ausdruck des SinuS finden; denn zieht man die Gleichungen cos (xff-u) — cos x cosu — si» x «in u cos (x—u) — cosx cos uff- si» xsiu u von einander ab, so erhält man cos (x-s-u)'—cossx—u) — — 2 sin X sin u. Setzt man statt cns(xff-u) und cos (x—u) die im vorigen §. hcr- geleiteten Werthe, so sieht man, daß alle Glieder, welche mit geraden Potenzen von u behaftet sind, sich wechselseitig vernichten. Es folgt hieraus, daß sie in den Ausdruck für den Sinus nicht cingchen können; und man erkennt dieses übrigens auch aus andern Gründen, weil der Sinus das Zeichen ändert ohne seinen Werth zu ändern, wenn man den nämlichen Bogen negativ nimmt, d. h. auf der andern Seite des Diameters, eine Eigentümlichkeit, welche nur den ungeraden Potenzen angehören kann. Man kann also setzen s!»x — lkjX ff- DzX'' ff-LzX* ff- L^xUrc. sinn — DjUff-Lzr^-f-Lz n°-s- ul ff- rc.; mit Hülfe dieser Werthe, und der Reduktionen, die sich von selbst darbietcn, wird die Gleichung cos (xff-u) — cos (x—u) — — 2 sin x sin u sich verwandeln in 65 -j- .-j-n L„ux«-r'.-f-rc.j -j-4^,,u^x-j-20/V^i.r^x^-f-.. -f- !0. -s- o^g^x -f- rc. 8,8 ,nxZ-8 ^ 8 ,nx^-i-8,8,»x? Z-...-f-8 ,8„^,,ix"^->-!c. -j-8 z 8 i n^x-f-8 ^ 8 z »V ->- ...-j-8 z L„^z„2x>^-j-rc. -j-8,8,,?x -j-.-j-rc. Die erste Zeile der ersten Seite, Glied für Glied verglichen mit 2ä. D, 4^. der zweiten Seite, gibt 8,8, I » D,8, I! ! > D,8, > und folglich / 8,8„ - 1 —— f8„ V D. 6^« D, r>-4„ D, ' Die andern Zeilen können nichts Anderes als identische Gleichungen liefern; denn das Produkt m»x" hat auf der ersten Seite zum Coeffizicnten, nach dem vorigen §., 2 2 ' 1.2.3...MX1.2.3...H und auf der zweiten Seite wird es multiplizirt seyn mit—8^8,, (m-j-t) (n-j-i) L.L, ' '' setzt man für und 8, ihre Werthe, und hebt die dem Zähler und Nenner gemeinschaftlichen Faktoren gegen einander auf, so findet man abermals , so wie weiter oben, 2 r' ^ 1.2.3...H, X1.2.3...N Man erhält also sin X —- 2-^2 x 4^4 x^ 62?l.gX^ -rc., wo der Coefsizient 8, durch die Gleichung 8,8, -j-2^—0 bestimmt wird. Setzt man statt , er. ihre Werthe in ^2 aus dem vorigen h., so findet man Ü 66 1.2.38 1.2.3.4.58 22^^x 2^^.^ 2^^x' 1.2.3.4.5.6.7.8i und wenn man für 2^ seinen Werth —setzt, so kommt, nach den Reduktionen 8,^ 4.5. 6.7 1 . 2 . 3 . 4.5 1.2.3 §. 39 . Hier nun sehn wir uns, gerade wie bei den Exponentional- Funktionen, durch die Bestimmung des ersten Coeffizienten gehemmt; denn wenn 8, bekannt ist, so erhalt man den Werth von 2^2 und umgekehrt. Ferner, wenn man die für cosx gefundene Reihe prüft, so sieht man, daß sie den Radius übcrtrifft, was beim Kreise nicht statt finden kann; man wird also zu der Ver- muthung geführt, daß 2^ eine negative Größe seyn müsse, und zwar um so mehr, weil der aus der Gleichung 8, ^-s-2^ — 0 hergeleitete Werth von 8^ so lange imaginär seyn wird, als 2^.2 positiv ist. Diese Schwierigkeiten werden durch die Bestimmung von 81 aufgeklärt werden, und wir werden in der Folge Gelegenheit haben, zu zeigen, daß sie darin ihren Grund haben, weil die Gleichungen, von welchen wir zur Herleitung der Entwickelungen von cosx und siir x Gebrauch gemacht haben, Elgen- thümlichkeiten ausdrückcn, welche dem Kreise und der Hyperbel gemeinschaftlich sind. Archimedes hat zuerst gezeigt, daß die Peripherie eines Kreises kleiner ist als der Umring des umgeschriebenen Polygons, und größer als der des eingeschriebenen Polygons von einer gleichen Anzahl von Seiten; es folgt hieraus, daß ein Kreisbogen allzeit kleiner ist als als seine trigonometrische Tangente, und größer als sein Sinus; aber man weiß, daß Um «lux in der ersten der obigen Relationen auszu- 81NX 81HX cosx LIN X man hat also 8INX <^X 67 — kommt sin X > X ^ 1—und wenn man beide Seilen ins Quadrat erhebt, 8lnx — x?(i—«inx ); addirt man beiderseits x-»i„x", so erhält man (i-j-x-) sinx >x-.; dividirt man durch iff-x^, und zieht die Quadratwurzel aus beiden Seiten, so kommt 8IUX^> Entwickelt man ^ 1-s-x^ vermittelst der binomischen Formel, / 1 1.3 1.3.5 X so erhalt man x ^1—-xr-s-^-^x' — 2 ^ö^-s-rc.^; es muß also, nach dem -Vorigen, wenn man diese Reihe von dem Werthe von «lux abzieht, das Resultat 8,^x7 8,6x4 > 1 1-3 . L^3^l72.3l4l5""')-(1—2^ eine positive Größe seyn. Weil aber 8iux"'x- -st rc. von der Beschaffenheit, daß die Werthe des zweiten immer zwischen den Werthen des ersten und dritten liegen: wenn nun diese beiden letzter» Ausdrücke dasselbe erste Glied haben, so wird es noth- wen. dig demdes zw eiten Ausdrucks gleich sepn; d. h. wenn -4", so kann man daraus schließen, daß Um den Satz zu beweisen, nehme man für x einen solchen Werth an, der geeignet ist, die Summe aller nach den ersten folgenden Glieder in jeder der vorhergehenden Reihen zu einer gegebenen Kleinheit zu bringen, und in diesem Zustande stelle man sie vor durch 69 zieht man den ersten von dem zweiten, und diesen >on dem dritten ab, so erhalt man öss Resultate, welche nach der ^.Aussage des Satzes beide positiv seyn müssen. - Setzt man aber —14, und macht nach einander —4-f-cN so wird sich, wie im Vorigen, ergeben, daß, so lange ä nicht Null ist, die Werthe der obigen Formeln verschiedene Zeichen haben: es muß also —-4 seyn. Die Begriffe, welche wir von den Grenzen gegeben haben (tztz. 11. und 14.), machen ebenfalls diese Behauptung sehr einleuchtend, und kürzen den Beweis etwas ab; denn nimmt man das Verhältnis; zwischen der ersten und dritten Reihe, so findet man ^ Hx 4^ 0x4 -s- Ox^ -s- rc- Z- L"x -j- 0"x- 0"x- ff- rc.' ein Bruch, dessen Grenze ist, und diese wird 1, wenn Aber da die zweite Reihe immer enthalten ist zwischen diesen beiden, welche ohne Aufhoren zu der Gleichheit streben, wenn -4—-4", und x fortwährend abnimmt, so muß sie sich ohne Ende der einen und der andern nähern können, eben so wie ihrer gemeinschaftlichen Grenze. Es folgt hieraus, daß die Verhältnisse dieser drei Reihen, je zwei und zwei verglichen, ohne Aufhüren zu der Einheit streben; dividirt man nun die zweite durch die erste, so erhält man -s- L X -s- L'x? -j- O -s- rc. X -siDx -j- Lx^ ss-Ox^-ss rc/ wovon die Grenze ist ^ : also 1 oder ^4'—-4. 70 Beziehungen zwischen den Kreisfunktionen und den Exponential- oder logarithmischen Funktionen. Die Kreisfunktionen haben zu den Exponential- und loga- rithmischen Funktionen zwar nur rein analytische Beziehungen, aber diese sind um so interessanter, weil man daraus mit großer Leichtigkeit die sonderbarsten und wichtigsten Eigentümlichkeiten der Sinus und Cosinus herleitet. Diese Beziehungen bieten sich so zu sagen von selbst dar, wenn man die Reihen wieder aufgreift, welche e-, siiix und co«x ausdrücken. Stellt man diese Entwickelungen nämlich, wie folgt, zusammen : so sieht man, daß alle Glieder der beiden letzten Reihen zusammen genommen einerlei sind, bis aus die Zeichen, mit den entsprechenden der ersten Reihe; substituirt man aber in dieser x ss"—i statt x, und wenn man auf der zweiten Seite die reellen Glieder von den imaginären trennt, so wird diese Gleichung §. 41. 1 ^ 1.2 ^ 1.2.3 ^ 1.2.3.4 ^ 1.2.3.4.5H.2.3.4.5.6 cosx—1 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6 8INX: 1.273.4.5 so erhält man, weil (x x ?^—1 6^-1 1 x? ^ x^—i x» i . ^ ^ 1 1.2 1.2.3 ^1.2.3.4^1.2.3.45 ' e x^ 1 . 2 ^ 1 . 2 . 3.4 rc- 71 in welcher man die Entwickelungen von cosx und siux wieder findet: es folgt also — cos X -f- sl» x. Man könnte eben so — xj^-i statt x in s--- substituiren,-^dieses käme überein mit der Verwandlung des Zeichens von i, in dem obigen Ausdrucke, und gäbe —cosx —s:ax. Wenn man nun die beiden letztem Gleichungen addirt; so erhält man _ - gX 1 > g—X °^^^2co3X, also cosx —---; zieht man die zweite von der ersten ab, so kommt . ^ tz—x^—i —s ^ ^ —sin x, also siux—- ^ -. Es würde leicht seyn, die ähnlichen Ausdrücke für -die andern trigonometrischen Linien zu finden. Man erhielte den für tZx, z. B. wenn man statt »lux und cos x ihren Werch in die Gleichung rAx——- substituirte; es käme alsdann tgX. 1 oder wenn man Zähler und Nenner der zweiten Seite mit multiplizirte, tgx. 2 x ^-1 , . .6 -l- 1 §. 42 . Die Art und Weise, auf welche wir eben die Ausdrücke des Sinus und des Cosinus in imaginären Exponentialgrößen erhalten haben, vereinigt mit ihrer Einfachheit den Vortheil, den wahren Sinn dieser Formeln zu zeigen: sie zeigt, daß es nur rein algebraische Symbole sind, vermittelst welcher man in der Kürze eine Folge von Operationen ausdrückt, oder eine auszuführende Entwickelung, um zu der des Sinus und Cosinus zu gelangen, und nicht einen wahren Werth, indem die Glieder ^ und nichts als Ausdrücke sind, welche ihren Mustern und analog gebildet sind, durch Substitution von x i für x, und welche, da sie an und für sich keinen Werth 72 haben, nur vermittelst ihrer Entwickelung aufgefaßt und übertragen werden können. Das eben Gesagte enthalt, wie mir scheint, die einzige Erklärung, die man davon geben kann: man ersieht daraus, was man unter Potenzen zu verstehen bat, deren Exponent imaginär ist. Es ist nicht möglich, sie zu erklären, weder durch successive Multiplikationen, :pie die ganzen Potenzen, noch durch eine Combination von Multiplikationen, Wurzelausziebungcn oder Divisionen, wie die gebrochenen und negativen Potenzen; sondern allein durch das, was die allgemeine Entwickelung von (1-j-x)>" wird, wenn man darin statt >i> ein imaginäres Symbol setzt. Diese Erzeugung bewahrt auch der vorgegebenen Funktion ihre Grnndeigenthümlichkeit, nämlich daß (1( k-I-x)" — (1 weil diese Eigenthümlichkeit in der Entwickelung Statt hat, was auch die Symbole m und n seyn mögen, sobald man /I —m nimmt in tz. 10. Betrachtet man das Ganze aus diesen: Gesichtspunkte, dem einzigen, der einiger Deutlichkeit fähig ist, so sicht man, daß man sich dessen überhebcn konnte, besonders zu beweisen, daß das Gesetz des Coessizicnten des zweiten Gliedes des Binoms statt hat, im Falle der Exponent imaginär ist, weil dieses alsdann nichts weiter als eine aus der Erklärung hervorgehende Wahrheit ist. Nicht so verhält es sich mit den irrationalen und transzendenten Exponenten, aber abgesehen von dem Beweise im §. 35., welcher diesen Fällen angcpaßt ist, kann inan immer den Exponenten durch eine Bruchzahl vertreten sich denken, welche davon so wenig verschieden ist, als man will, und durch dieses Mittel besteht der Beweis des §. 16. in seiner Totalität. §. 43. Kehren wir nun zurück zu den Gleichungen — cos X-s-sinX , — cos x — s-ii x. Nimmt man beiderseits die Logarithmen, so erhält man x —1 — log (cos x-j- si»x), — x ss "—1 — log (cos x — ss"—1 sin x); zieht man von der ersten die zweite ab, so kommt 2xs ^—1 — log (cos x -j- ss"—i siu x) — log (cos x—ss"—i sin x) , /cos x -I- si» xX — log I —-!—x—-I: Vcosx —/ — i siux/ dividirt man Zähler und Nenner dieses Bruches durch cos x, und setzt für^^ seinen Werth rgx, so kommt ^ o Vl-ltgx/ - Setzt man nun j^—i rg x— u, so erhält man, mit Rücksicht auf die (§. 29.) gefundene Reihe für log oder wenn man für u wiederum seinen Werth setzt 2x^—1 — 2 (f^—1 tgx -IttzX , T^-itAX Laßt man den gemeinschaftlichen Faktor 2^—1 weg, so erhalt man rex , tLX x^r^x---c.. eine sehr bemerkenswerthe Reihe, theils wegen der Einfachheit ihres Gesetzes, theils wegen der Natur der Beziehung, die sie ausdrückt, indem sie die Entwickelung eines Kreisbogens vermittelst seiner Tangente ist. Bezeichner man rgx mit r, so hat man r- . r- r? . Nimmt man für x den Bogen 45°, nach der Eintheilung der Peripherie in 360°, so ist seine Tangente gleich dem Radius oder der Einheit, und man findet 1 t 1 nrcus 45° — 1-l- --- -s- rc. 3 5 7 Diese Reihe ist nicht sehr konvergent: man erhält eine, welche es in höherm Grade ist, wenn man zum Bogen 30° zurückgeht, dessen Sinus 4, und dessen Tangente also ist. Substituirt man diesen Werth für r, so findet man areus 30 -ss-(' ——I- — - 3.3 5.3- 7.3^ ' 9.3* und kennt man die Länge des Bogens 30°, so erhält man die der Peripherie, wenn man erstere mit 12 multiplizirt. Die vorige Reihe ist es, vermittelst welcher Lagny das Berhältniß der Peripherie zum Diameter berechnet hat bis 127 Dezimalstellen; und er hat gefunden, daß wenn der Diameter—1 ist, die Peripherie ausgedrückt wird durch 3,14159 26535 89793 23846 23433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46. Dieses Verhältnis;, welches zuerst in den l>lo'moire8 der ^caäemie cke« Seieuvss, Jahrgang 1719, erschien hatte einen Druckfehler in der IlZte» Dezimalstelle, den ich hier nach der Anzeige von Vega verbessert habe. §. 44. ' Es wäre möglich, noch konvergentere Reihen zu bilden, als die ist, welche den Bogen 30° ausdrückt, wenn man kleinere Wogen anwendete, deren Tangente durch die Rechnung genau gegeben wäre, z. B. die des Bogens 15°; aber man verfiele alsdann auf mehr und mehr verwickelte Irrationalzahlen: man kam also zurück zum Bogen 45°; aber anstatt ihn auf einmal zu berechnen, dachte man sich ihn in mehrere Theile zerlegt, deren Tangenten Rationalzahlen wären. Unter mehrern Bestimmungen dieser Art bemerkt man zuerst die von Euler, welcher gefunden hat, daß der Bogen 45° gleich ist der Summe zweier Bogen, deren respective Tangenten sind 4 und Diese Behauptung kann bewahrheitet werden, wenn man — 4 -, rgL —s setzt, in der bekannten Formel welche alsdann gibt tg(4,-s-L) —1, also ^-st-45°; und da man hat . 1 i . ^ —-n.-—-u ^ 2 3 . 2 ^ 5 . 2 - 7 . 2 '^ 3 3 . 3 ^ 5 . 3 - 7 . 3 ' ' ' so schließt man daraus 5 . 4 ' 7.9- eine Formel, welche sehr geeignet ist, um in Zahlen ausgedrückt zu werden. Ehe Euler die vorigen Reihen bekannt machte, hatte der englische Geometer Machin eine ähnliche Idee, und war seit 1703 zu einem weit konvergenteren Werthe des Bogens 45° gekommen, welcher aber lange in Vergessenheit geblieben ist, obgleich von dem genannten Geometer bekannt wurde, daß er das Verhältniß der Peripherie zum Diametec, welches Ludolph van Ceulcn nur bis zu 35 Dezimalziffern berechnet hatte, bis zu 75 100 Dezimalziffern berechnet habe. Das Verfahren Machin's besteht darin, einen hinlänglich kleinen Bruch zu nehmen für die Tangente eines ersten Bogens, und diesen Bogen fo oft zu wiederholen, als nöthig ist, um den seiner Vielfachen zu erhalten, welcher dem Bogen 45° am nächsten kommt, alsdann die Tangente der Differenz dieser beiden Bogen zu berechnen, eine Tangente, welche ebenfalls nur ein kleiner Bruch ist, und deren Bogen man also in einer sehr konvergenten Reihe erhält. Man sieht, daß dieses Mittel zu mehrern Resultaten führen kann, und ich werde mich daher auch nur bei dem aufhalten, welches die größte Einfachheit mit der größten Convergcnz vereinigt. (Man kann die andern in dem 3ten Bande der Scriptoros loxa- ritlmnci, herausgcgeben von Maseres, und in dem 2tcn Bande des Werks: Leveloppeinent cle In Partie elementcUre lies lVIs- iliematigues, par Vertrauä lle 6eneve, finden.) Nimmt man 2 —und bildet nach einander ^8 2a ——i t§4a- 1 — tga 2 tg2a t—t§2a 120 Hs' so sieht man, daß der Bogen 4a nur um Weniges größer ist als 45°, weil die Tangente des erstem die des zweiten nur um ^ übertrifft. Macht man nun 4a—24, und45° —L, so findet man für den Bogen 24 — 8, den ich mit k> bezeichne, rg24 —txL ^ i 1-f-tg24.t^8 239 1 1> also areoz 45°----4a— k>; aber da tAa—- und tg (24—8). .tgk>: so kommt LAS' 3.5» ' 5.5» -rc. b — woraus folgt 239 3(239)» ' 5(239)» 7(239)" 45° oder 0,^5- 3.5» 5.5» _* V239 3(23 7.5" -l- —7- 39)» ' 5(239)» 9.5« 7(239) 7 ^ H. Die Berechnung der erstem Reihe ist sehr leicht, wenn man da auf Acht hat, daß sie gleichbedeutend ist mit 76 1/1, 11 , 1 X 5 V 3.25^5(25)2 7(25)2^9(2(0» ferner mit ^ (i Z^oo) ^ 5(100)2" 7(100)2 ^ 9(100)» ^ und die Convergenz der zweiten Reihe tritt deutlich hervor, wenn man sie unter die Form bringt 1 /1, 11 X 239 Xch 3(57121)^5(57121)2 7(57121)2^^'-' Die Vergleichung dieser Reihen mit den mühsamen Berfahrungsar- tcn, welche die Betrachtung der eingeschriebenen und umgeschriebenen Polygone im Kreise darbietet, ist sehr geeignet, den Vorzug der Analysis und des neuern Calküls vor den altern Methoden ins Licht zu setzen; auch sind die Geometer nicht bei den von Lagny gegebenen Verhältnisse stehen geblieben: Vega, den ich schon angeführt habe, und welchem man sehr vollständige und sehr interessante logarithmische Tabellen verdankt, hat ein anderes bis zu 140 Dezimalziffcrn berechnet, und vermittelst dessen den Irrthum entdeckt, der sich in crstcren fand. Kennt man die Länge der Peripherie des Kreises, so leitet man daraus leicht die eines beliebigen Bogens her; und mit Hülfe dieser kann man durch die Formeln des tz. 39., welche für kleine Bogen sehr konvergent sind, die Sinus und Cosinus dieser Bogen erhalten. Man geht alsdann zu den Sinus und Cosinus ihrer Vielfachen, vermittelst der in der Trigonometrie gefundenen strengen Formeln. Man kann auch blos die Reihen anwenden, indem man sie konvergent macht, was durch oft sehr sinnreiche Verfahrungsarten geschieht, die aber nicht von der Art sind, daß sie hier mitgetheilt werden könnten. §. 45. Die Kreisbogen können auf zwei Weisen ausgedrückt werden, welche man sorgfältig von einander unterscheiden muß. Bezeichnet man sie nach Graden der alten und neuen Einteilung, so deutet man nur ihre Verhältnisse zur Peripherie an, welche letztere man ansicht als eine in 360 oder in 400 gleiche Theile getheilte Einheit. Ae diese Weise macht man von ihnen in allen Rechnungen Gebrauch, in welchen sie nur durch trigonometrische Li- 'aien Vorkommen; aber sobald als die Bogen an und für sich selbst in diese Rechnungen eingehen, alsdann handelt es sich um ihre absolute Länge: es ist also nöthig zu wissen, wie man von dieser Länge, welche in Theilen des Radius ausgedrückt ist, zu dem Werthe des Bogens in aliquoten Theilen der Peripherie uusgedrückt, zurück kommen kann. Einfache Proportionen reichen 77 dazu hin, denn bezeichnet man mit 2?r die Lange der Peripherie, und mit a die eines Bogens, so wird die Anzahl der Grade dieses Bogens, nach der alten Eintheilung seyn a.360° nach der neuen g.400° 271 ' aber die Astronomen beziehen alle Bogen auf denjenigen, der an Länge dem Radius des Kreises gleich ist, und den man aus diesem Grunde kennen muß. Man findet den Werth dafür durch die obigen Formeln, wenn man darin r> —1 setzt: es kommt, nach der alten Eintheilung ^^206264", 8062470964; nach der neuen ^ Oi, 636619772367581. 271 Für den gewöhnlichen Gebrauch beschränkt man sich auf folgende Werthe: alte Einth. 57°17'44",81; neue Einth. 632', 66198. Kennt man nun die Länge eines Bogens in Dezimaltheilen des Radius, so reicht es hin, sie zu multipliziren mit der einen der vorigen Zahlen, um daraus ihren Werth zu erhalten, sey es nach der alten oder nach der neuen Eintheilung. Man findet auf diese Weise, daß der Bogen, welcher 0,972 des Radius gleich ist, gleichgcltend ist mit 0,972x206264", 81 ^200489", 39 oder 55--41'29",4 alter Einth. 0,972x632',66198 ^61^', 87944 neue Einth. Das Bonge bietet das Mittel dar, einen Winkel oder Bogen zu messen, wenn man keine in Grade eingetheilten Winkelmeß- instrumcnte, und selbst keine trigonometrischen Tabellen zur Hand hat; denn wenn man diesen Winkel durch ein Perpendikel auf eine der Seiten schließt, so gibt das Berhältniß dieser beiden Linien die Tangente; und wenn diese Tangente klein ist, so läßt sich die Länge des Bogens, zu welchem sie gehört, leicht her- lcitcn aus der Formel 12 , r- ^- 3 ^ 5 ' 1? -i-rc., welche sehr leicht zu behalten ist, und welche sich eben so gut auf Winkel, die einem rechten nahe kommen, als auf kleine — 78 Winkel anwenden läßt, weil man alsdann das Complcmcnt des gesuchten Winkels berechnet, dessen Tangente das Umgekehrte (Reziproke) von der gegebenen Tangente ist. Man kann in den Mlckmoires der ^carlomi« ckos 8 oionok 8 , Jahrgang 1724 , die Anwendung sehen, welche Lagny von dieser Formel macht für den vorliegenden Gegenstand. In dem Falle wo der zu messende Winkel nicht sehr klein wäre, würde er bequemer durch seinen Sinus oder Cosinus ausgedrückt werden, vermittelst Reihen, die man in der Folge finden wird; und sobald man einmal die Länge har, verwandelt man sie in Theile der Peripherie, wie eben auseinander gesetzt ist. §. 46 . .Kehren wir zurück zu den beiden Gleichungen cos X: I_ g —x/^- 8II> X : 2^-1 ' setzt man in denselben nx statt x, so hat man 8M NX bNX^—1 ^_ b-vx^—1 2^-1 welche zu den Werthen der Cosinus und Sinus der vielfachen Wogen führen. Im Allgemeinen enthalten diese Formeln das Mittel, die algebraische Rechnung auf die Funktionen des Sinus und Cosinus anzuwenden; und mit ihrer Hülfe kommt man zu denselben Resultaten, welche man auf trigonometrischen Wegen erhalten würde. Da diese Materie nicht ganz hierhin gehört, so wird man darüber hier nur einige Beispiele finden, aber sie werden hinreichen, um den Gebrauch zu zeigen, den man von diesen Formeln machen kann. Gesetzt, man wollte wissen, was das Produkt sin x cos x bedeute, so findet man, indem man eS ausführt, siiixcosx — 4^-1 , oder 79 2 sinxcosx — 1 g— 2x^1» 2^-i ' aber cs ist leicht zu sehen, daß die 2te Seite nichts Anderes ist als der Werth von s!»2x, weil man dazu'kommen würde, wenn man in den Ausdruck des si» x, 2x statt x setzt: man erhält also sin X cos X — ^ sin 2 x. Wollte man sin X cos 2 haben, so hätte man erhalten -si sin xcos 2 — ^-2^^^-- V-2->' also ^ g(x->-L) I—. s—(x-1-2) l ^ s(x-2) 1 6-(x-2) r sinxcos-^ --272/^1 ' aber es ist einleuchtend, daß tz(x-I-L) 1 -g— . . , . -— SIN (x-si-2), 2 s ^—1 tz(x— 2 ) — e—(x-2) : sin (x—2); 2s^-l folglich sin x cos 2 — si (sin(x-s-2) -s- sin (x—2)). Diese Formel ergibt sich zwar sehr einfach aus den bekannten Werthen von sin (x-j-2) — sin x cos 2 -si sin 2 cos x, sin (x— 2) — sin x cos 2 — si» 2 cos x, wenn man sie zu einander addirt; aber das Mittel, welches wir eben angewendet haben, führt viel leichter zu den allgemeinen Formeln , wie man sogleich sehen wird. Da §. 47 . — cos x-s-^Hi sinx, 0 cosx——isinx, so erhalt man, wenn man beide Seiten dieser Gleichungen zur Potenz n erhebt, b«x ^—1 — (cog X -si sin x)" e ^ — (cos x—^ —1 sin x)"; also cos NX: (cos x-sisi^—1 sin x)"-si (cos X —1 sin x)" 2 So sind wir also zu dem Ausdrucke des Cosinus eines vielfachen Bogens auf eine sehr einfache Weise gekommen; und man muß wohl darauf Acht haben, daß er, obgleich mit imaginären Größen behaftet, doch nichts desto weniger reell ist; denn diese imagst naren Größen verschwinden alle in der Entwickelung der angc- zeigten Potenzen. Man hat nämlich: _ ._u H - .-II—L (cosx-j-^—i sin x)" —cosx -ss ^ ss"—s cosx siux— n(n —l) - "—2 - 2 ---- cos X sin X — re. _ _II n ^-II—I (cos X ——1 sin x)" — oosx — ^ ss'—> cosx sin x — n(n—1) -n-2 -2 — ^— cosx sin X -s- rc.; addirt man die erste Entwickelung zur zweiten, und dividirt alsdann durch 2, so findet man —" n(n—i)—a-2-2 cos nx—cosx-—— cosx sin x -ss n(n—1) (n—2)(n—3) 2 . Z . 4 cv8X -rc. Es ist nicht nöthig, zu bemerken, daß diese Reihe alle Mal begrenzt seyn wird, wenn n eine ganze und positive Zahl bezeichnet; sie folgt in dieser Beziehung den nämlichen Gesetzen wie die Formel des Binoms, woraus sie hergeleitet ist. Setzt man für und o—ihren Werth in die Gleichung gin I _g-«X //— 1 8!N NX so findet man SIN NX 2 ^-l (cosxss-'ss"—1 sinx)"—(oosx—^^isnix)" und wenn man entwickelt, so kommt, wenn man die Glieder weggelassen, welche sich aufhcben, und welche nun reelle Glieder sind, und nachdem man durch i dividirt hat, . n(n 1)(n 2)-N—3- 3 8MNX—ncosx^^smx-^—--oosx 8NIX -ss n(n — 1)ln — 2)(n — 3)(n — 4) II— —5 ^ — cosx sin x — rc. 2 . 3 . 4 . ü 81 tz- 48 . In den Gleichungen 1 : (cosx-f- ^lllf «in x)" 6 —(cosx- Isinx)", welche das Fundament zu den vorigen Resultaten bilden, kann man unmittelbar die Etponentialgrößen eliminircn, wenn man darin für diese Funktionen die Werthe setzt, welche die beiden ersten Gleichungen des §. 47 liefern, nachdem man in denselben nx statt x gesetzt hat; und es kommt alsdann (cos X -f- sin x)" ^ cos NX -f- —1 sin NX, (cos X — ^"—1 s!» x)^—cos NX — ^—1 sin NX, Gleichungen, welche man unmittelbar aus den folgenden herleitet: sin (x ^ 2) sin X cos 2 T^cos X sin 2, cos (x Zu 2) — cosx cos 2 -j- sin x sin 2, 1 ^^siux -j- cosx , welche die ganze Theorie der Sinus umfassen. Zerlegt man die zweite Seite der letztem Gleichung in ihre Faktoren, so findet man 1 — (cos x-s- sin x) (cos x— 1 sinx); aber wenn man das Produkt (eos x-j- I sin x) (cos 2 -f- sin 2) entwickelt, so findet man cos x cos 2 — sin x sin 2 -f- (cos x sin 2 -f- sin x cos 2) ein Resultat, welches, mit Rücksicht auf die beiden erstem Gleichungen, gibt (cosxss-s^—i sinx)(co 82 -j-^ 72 i s!ii2)—cos(x-s-2)-ss^—1 si»(x-s-2). Man erhalt eben so (cosx—sinx)(co«2—siii2)—cos(x-j-2)—sin (xss-x) (cosx-j-f^^l sinx)(cos2—sinx)—cos(x—x)-f- s^—I sin (x—2 ) (cosx—siux)(co82-i-^—1 sinx)—cos(x—2)—^—1 sin(x—2); man kann diese vier Formeln in folgende zwei zusammenfassen: (cosx^f^—s sinx) (cos2->-f^Hs sin2)—cossx-j-xUs^—1 siu(x-f-2) (cosx^T^Hi si»x)(cos2ljllf^Hi8i»2)—cos(x—2)^7—1 s!u(x—2). Wenn man in der erstem von diesen nacheinander 2^-x, 2 x, 3 x, ......(n—i)x setzt, so kommt (cos x Zu 1 «in x)- — cos 2x Zu 1 sin 2x (cos x uiiu i sinx) (cos 2x siu2x) — cos3x 1 sin3x (cos xulu ^1 sinx) (cos 3x Zu f^—i si»3x) — cos4x ch- —1 siu4x 6 82 (cos x ch stellst sin x) (cos (n—1)xcch ^Ü7stsin(n—1)x)r^co8nx^ —1 sin rix; und da die zweite Seite einer jeden dieser Gleichungen genau der zweite Faktor der ersten Seite der folgenden Gleichung ist, so findet man, wenn man statt dieses Faktors die ihm gleiche Größe setzt, (cos x ch sin x)- — cos 2x sti —i sin 2x (cos x stl 1 sin xH — cos 3x ch. i sin 3x (cos x st^ ^—i sin x)^ cos nx sti sin nx: man erhält also, wie oben, die Gleichungen (cos x -st- stellst sin x)" — cos nx st- —1 sin nx (cos x—1 sin x)" — cos nx —^—1 sin nx; indessen werden sie nur bewiesen seyn für den Fall, daß die Zahl n eine ganze ist. §. 49. Die §. 47. gefundenen Entwickelungen von sin nx und cos NX lösen vollständig die Aufgabe, bei welcher man nur zum Zwecke hat, den Werth des Sinus oder des Cosinus eines vielfachen Bogens zu erhalten , vermittelst der Potenzen des Sinus und Cosinus des einfachen Bogens, und was noch mehr ist, sie hören nicht auf, richtig zu seyn, welches auch die Zahl n seyn möge: nur schließen sie nicht, wenn diese Zahl negativ oder ein Bruch ist, eine Unbequemlichkeit, welche in der Natur der Sache liegt; aber dieselben Entwickelungen enthalten zusammen die Potenzen des Sinus und die des Cosinus, was als eine unzweckmäßige Verwickelung erscheint, weil, da die eine dieser Größen durch die andere gegeben ist, man mit Hülfe der Elimination zu Formeln gelangen kann, welche nur vom Sinus oder vom Cosinus abhangen. Das Mittel, welches sich gleich darbietet, um sie zu erhalten, besteht darin, daß man für sin x setzt ^ 1 —cosx in dem Ausdrucke des cos nx und ^ 1— sin x für cor x in dem des sin NX. Die erste dieser Substitutionen führt immer zu einem rationalen Ausdrucke, weil cos nx blos gerade Potenzen des sinx enthält; und die zweite bringt dasselbe mit sin nx hervor, wenn n eine ungerade Zahl ist; aber in dem Falle, wo n eine gerade Zahl wäre, erhielte man darin, in allen Gliedern, einen irrationalen Faktor, den man sogleich deutlich machen kann, wenn man die Entwickelung des sin nx schreibt, wie folgt: / -n-r n(n—1)(n—2)-> sinnx^-cosxl n cos x sinx--—^-cosx sinx-j-rc.) Man vermeidet diese Trennung in zwei Fälle, wenn man den Ausdruck des sinnx unter folgender Form schreibt: / -n—1 n(n—1)(n— 2)-ii—3-—r . sinnx —sinxln cosx--—--cosx sinx-s-rc.I, in welcher die in den Parenthesen eingeschlossene Reihe immer rational von den Potenzen des Sinus befreit werden kann. Es wäre wirklich wenig bequem, in diesen letzter» Ausdruck, und in den des cos nx, statt der Potenzen von sinx die des Binoms 1 —cosx zu substituiren, selbst um blos eine Tabelle der einzelnen Werthe des cos 2x, cosZx, sin2x, sin3x,.... zu bilden; man gelangt dazu rascher mittelst sehr einfacher Formeln, die ich jetzt ansührcn will. Die bekannten Werthe von cos a cos l» und cosasin l, (Lacroix's 'IiiAonom.) werden, wenn man n — x und l> — nx setzt , . , cos x cos nx—4 (cos (n-j-1) x -j- cos (n—1) x) cos x sin nx — 4 (sin (n-j-1) x -j- sin (n—1) x) , woraus man erhält cos (n-j-1) x^2cos xcos nx— cos(n—1)x. ... (1.), sin (n-j-1) x — 2cos x sin nx — sin (n—1) x . ... (2.) ; und nimmt man nach einander n —1, N^n2, n^3, rc. so leitet man aus diesen beiden letzten Formeln folgende Tabellen her: !. co»2x— 2 cosx —1 co»3x— 4 cosx — 3 cosx cos 4x — 8 cosx — 8 cosx -j-1 co»5x—Itzcosx— 20cosx -j-äcosx cos6x —32cosx— 48cosx-j-18 cosx—1 cos 7x —64 cosx —112 cosx -j-56cosx —7vo»x rc. n sin 2x sin x (2 cos x) sin 3x — sinx (4 cosx — i) sin 4x—sinx (8 cosx —4 cosx) 6 * 84 8i»5x^-8iiix(l6cv8X —12cosx -s-1) 8i„6x —8Ü,x(32co8x —32c»8X -s-6cos x) 8», 7x —8»>xs64co8X —SOcosx -j-24co8x—1) rc. Euler, welcher zuerst diese beiden Tabellen vermittelst der weiter oben auseinander gesetzten Methode gebildet hat, drückt das Gesetz derselben durch folgende Formeln aus: 11-1-II „ 11-3-n-2 n(ll-3) -n-4 co8»x—2 cosx-2 cosx -s-— 2 cosx — 1 1.2 »(»—4)(»—5) r> (»—5) (ri—6) (rr— 7) 1.2.3 1.2. 3. 4 2 cosx — rc. sin nx^-sinx ^2 cosx n—2 (n—3)(ir—4) -2 cosx -t-- 1 ' 1.2 II »-ii—5 co^x (n—4)(n—5) (n—6) 1.2.3 2 cosx 'st- (n—5)(n—0)(n-7)(n—8) -n-o ——--2 cosx 1.2.3.4 Es scheint, als ob diese Formeln auf eine Art Versuchsweise gefunden worden sind, indem man die einfachsten Funktionen des Zeigers » probirte, welche sich, indem man darin nacheinander ri —1, »—2, n —Z, rc. setzte, in die numerischen Coef- sizienten der entsprechenden Potenzen des cosx verwandeln konnten; und die der ersten Glieder, welche nichts als Potenzen der Zahl 2 sind, haben übrigens schon die Nothwendigkcit deutlich gemacht diese Potenzen in die allgemeinen Formeln cinzuführen. Es ist indessen leicht, diese Formeln a posteriori zu beweisen, wenn man in die Gleichungen (1.) und (2.) die Reihen substi- tuirt, welche sie liefern für cos(n—1) x, und cos rrx, sin (»—1)x, und sin »x. Es werden daraus Reihen für cos (ir-ssl)x und 8i»(»-s-1)x genau von derselben Form entstehen, woraus hcr- vorgeht, daß, wenn das Gesetz wahr ist für die Zahlen »—1 und », es ebenfalls wahr ist für die Zahl »-j-1, und daß es folglich hinreicht, wenn es für zwei aufeinander folgende Resultate in den Tabellen I. und II. festgesetzt ist, um es zur beliebig weiten Fortsetzung dieser Tabellen anwcnden zu können. Die letztem Entwickelungen von cos nx und si»nx müsset! wohl unterschieden werden von den erstem (tz. 47.): der Gebrauch der einen erheischt eine unnöthige Aufmerksamkeit bei der Anwendung der andern. Um zu einem genauen Resultat zu führen, 85 erfordern die des §. 47., welche der Newton'schen Formel des Binoms ähnlich sind, blos die einfache Substitution des dem n gegebenen Werthes, und ihre Glieder annulliren sich von selbst, sobald man über diejenigen hinaus ist, welche zu der gesuchten Entwickelung gehören, während in allen Fällen die Formeln der vorigen Seite sich bis ins Unendliche fortsetzen, und ein falsches Resultat liefern, cs sei denn, daß man die Glieder, in welchen der Exponent von cosx negativ ist, wegläßt, welches der analp. tische Ausdruck nicht ausdrücklich sagt. Man erhält davon ein sehr einfaches Beispiel, wenn man setzt in dem Ausdrucke von cosox, welches die unendliche Reihe liefert, , c 08 X- -cosx' 4cosx 16eo8x^ 32co8X^ -rc. eine Gleichung, welche die Glieder der zweiten Seite, die nach dem ersten folgen, falsch macht, und es verhält sich eben so in allen andern Fällen; so daß man also diesen Formeln immer die Einschränkung beifügen muß, daß sie nur für ganze Zahlen anwendbar sind, und daß man bei den Gliedern stehen bleiben muß, wo c«8x mit einem negativen Exponenten behaftet ist. Diese Unoollkommenheit verdient bemerkt zu werden, weil sie sehr deutlich das geringe Gewicht beweißt, welches man auf die Folgerung legen darf, die aus der Untersuchung einzelner Werthe gezogen wird, deren Anzahl, da sie immer beschränkt ist, oft nur auf eine unvollkommene Weise das Gesetz darstcllt, welches zwischen sämmtlichen Werthen der gesuchten Funktion herrscht; und man ersieht hieraus, wie ungenau der Gang derjenigen Schriftsteller ist, welche auf diese Weise die Entwickelung der Potenzen des Binoms festsetzen wollen, obgleich es sehr wahrscheinlich ist, daß Newton anfangs auf diese Weise daraus gekommen ist. In der That, so lange man nur einzelne Werthe betrachtet, können diese in die Rechnung Reduktionen oder Vereinfachungen einführen, von denen man sich nicht überzeugt, und die, da sie nicht Allgemein statt finden, die Natur des Ausdrucks gänzlich ändern. Gerade das ist hier der Fall; und Euler, welcher zuerst auf diese Art von Paradox aufmerksam machte, hat auch die Erklärung davon geliefert, indem er für die allgemeinen Entwickelungen von cos nx und «i» nx zwei unendliche Reihen gefunden hat, welche auf eine solche Weise mit einander verknüpft sind, daß in den Fällen, wo n eine ganze und positive Zahl ist, blos die oben angeführten Ausdrücke übrig bleiben. Fuß und Lagrange haben, indem sie auf diesen wichtigen Gegenstand zurück kommen, die Untersuchungen Eulcr's bedeutend 86 bestätigt und vereinfacht, durch Betrachtungen, welche natürlich ihre Stelle in diesem Werke finden werden, wenn ich über die Anwendung der Differentialrechnung auf die Entwickelung der Funktionen in Reihen sprechen werde. In der That, wenn man zurück geht zu den Gleichungen (cosx sinx)"-!- (cosx — srn x)" 605 NX ---- --------, welche unabhängig von jedem einzelnen Werthe von x und n gefunden sind, so sicht man, daß alle Untersuchungen, welche man sich über die Entwickelung von oosnx und sinnx vorle- gcn kann, auf derjenigen der Funktion (cosxiff.8inx)" beruhen, welche die Formen bekommt: wenn man darin sinx oder cosx eliminirt, und sie kann alsdann auf vier Arten in eine Reihe entwickelt werden, nämlich in eine absteigende oder aufsteigende nach den Potenzen von cosx, und in eine absteigende oder aufsteigende nach den Potenzen von LIN X. Diese Umstände sind es, welche zu der Mannichfaltigkeit der Formeln Veranlassung gegeben haben, die man über diesen Gegenstand bei den verschiedenen Schriftstellern, welche sich damit befaßt haben, von Victa an, findet; und das erste Elemcn- tarmerk, in welchem man die größte Zahl derselben zusammen zu stellen besorgt war, ist, so viel ich weiß, das, welches Mau- duit im Jahre 1/65 unter dem Titel: krinoipes ä'/lstronoinio splierigue herausgegebcn hat: man findet sie auch fast alle in den iUecons 8vr io Oaloul lies louvtioiis von Lagrange. Da der Leser begierig seyn könnte, diese verschiedenen Formeln näher zu haben, so habe ich sie in folgender Tabelle zusammen gestellt, in welcher x —cosx, g —8iux. Absteigende Reihen. I. Wenn r> (willkührlich) entweder gerade oder ungerade ist. LIN NX (cos x -j- ^—i sinx)" — (oosx — ^—i sinx)" (cosxff^f^—1 . —cosx?)", (s^"l — sinx? —Isinx)", §. 50. ^((2x)"-n(2x)"--ch cos rix n(n—3)- . . 2 -(2x)-^- 67 sm »x — ^ ((2x)»-t-(n-2)(2x)^st . (n-3)(n-4) (2 x)"-« (n—-4)(»—5)(n—6) 2.3 n. Wenn n ungerade ist. n(n—3)^^^ st^siunx-st((2g)° —n(2g)^- (2x)-r-7 st. rc.^ (2g)«-4 — HI. Wenn n gerade ist. st^c°8nx —4 (( 2 g)°-n( 2 g)"- 2 st-'^^( 2 g)^ — 2.3 -j- si» nx — x ((2g)""^ — (ri —2)(2 g)" ^ st (n—3)(n-4) (2g) .11—5 (n—4)(n—5)(n—6) " 2.3 Aufsteigende Reihen. (2g) ^ st- rc.) I. Wenn n ungerade ist. , / n(n-—1) , , n(n^—l)(n'—9)^z st^ c°8nx--(»P--2^? st> 2.3.4.5^k - n (»-—1) (n-—9) (»r —25) ^^ ^ ^ ^ 2.3.4.5.6.7 / n(n-—1) ^ . n(n-—1)(n-—9) . 8IUNX —ing- 2 z g ->--^ 2.3.4.5 g'-- -(^-1)(n--9)(n--25) X 2.3.4.5.6.7 ^ / . . / (n-—1) ^ . (n-—1)(n-—9) . st 78 iunx---g ^1 -^ k st"'- ^74 - 1 > " (^i)(^o)^^25) > 2.3.4.5.6 ^ ^ '7 «WSNX: 1 cn--1) (n- - 1 )(n-- 9 ) , i ^ 2.3.4 ^ fii2—I) (r>- —g)(i>-—25) 2 . 3 . 4 . 5.6 ll°-sirc, ) H. Wenn n gerade ist. , r>2 —4) n2(n2—4)(n-—16) -4-cosiix-^ ll-,>2-1 1-:---2 " V 2^ ^ 2.3.4 ' 2.3.4.5.6 x«st-rc.) / l>2 „2(it2-4) I>2(nr-4)(l>2-16) cv8nx^- kl--^--o*-r-2-r. V 2 2.3.4 ^ 2.3.4.5.6 g"-i-rc.) - . / N(l>2- -k-«u'»r-gfn?-27: n(l>2—4) 11 ( 1,2 -4)(„2-10) --I--— .3 ' ^ 2.3.4.5 ' n(>2—4)(n-—16)(i>2—36) X -- 2 . 3.475 H- 8IIINX—^1 I Ng- o(n-— 4 ) I'(n2—4)(n-"—16) 2.3 ^ ' 2.3.4.5 r>(i>2—4)(i>2—I6)(r>2- 1 * — 36) 2.3.4.5.6.7 st-rc.). Diese vierzehn Reihen können auf zwei zurückgeführt werden; denn alle absteigenden Reihen ergeben sich aus den beiden ersten, und unter den aufsteigenden geben die erste, dritte, fünfte und siebente bezüglich die zweite, vierte, sechste und achte. Diese Umformung wird bewerkstelligt, wenn man statt des Bogens x sein Complemcnt setzt. Bezeichnet man den Quadranten des Kreises mit i^, und setzt 12 — k> statt x, so kommt sür's Erste cos(12—sin (12—b)-^cosb; aber um zu wissen, welchen Werthen alsdann cos nx und sin nx die sich in cc>sn(i) verwandeln, entsprechen, muß man die verschiedenen Formen der Zahl « untersuchen. In dem Falle wo diese Zahl gerade ist, kann sie nur eine von folgenden beiden Formen haben: 4 m-sii oder 4 m-j- 3 . Mul- tiplizirt man den Bogen 12—l, mit diesen Zahlen, und zieht die ganzen Peripherien, die hier nicht in Rechnung kommen, ab, so erhält man (Lacroix's ^riZonom.) cos(l4— (4m-s-1)b) — sin (4mff-1)k>, sin (14 —(4m-j-l)k>) ^ cos (4m-j-1) 1, cos (34— (4m-j-3) b) — — sin (4m->-3) k>, sin (34— (4m-s-3) b) — — cos (4m-j-3) i> Ist die Zahl n gerade, so hat sie entweder die Form 4-n oder 4m-j-2, und diese liefern folgende Relationen: cos (44— 4mk>) — cos 4ind , sin (44—4mk>) — sin 4mk» cos (24— (4in-j-2) b) — — cos (4m-j-2)b, sin (24—(4mst-2)b) Substituirt man diese Ausdrücke und ordnet die Resultate nach den verschiedenen Formen der Zahl n, und setzt wiederum x und nx statt des Bogens 1, und seines Vielfachen, so erhält man die angeführten Umformungen, welche sich ergeben, wie man sieht, durch die Verwandlung von cos x in sin x oder umgekehrt, auf der zweiten Seite jeder Formel, und durch die Verwandlung von cos NX in sin NX auf der ersten Seite, aber bloS in dem Falle wo n ungerade ist. Die Tabellen der Seite 115, welche durch die Induktion die beiden ersten absteigenden Reihen gegeben haben, liefern auch die aufsteigenden Reihen. Es reicht zu diesem Zwecke hin, ein jedes der Resultate, welche sie enthalten, so zu schreiben, daß man mit dem letzten Gliede anfängt. Die erste Tabelle führt zu der ersten und fünften aufsteigenden Reihe, und die zweite zu der dritten und siebenten aufsteigenden Reihe. Was die Zeichen betrifft, so entspricht die obere, in den Reihen wo n ungerade ist, dem Falle, in welchem diese Zahl die Form 4mff-1 hat, die untere dem Falle, wo sie die Form 4m-s-3 hat; in den Formeln, in welchen n gerade ist, bezieht sich dieser Wechsel auf die Formen 4m und 4mst-2. Die in h. 47. gefundenen Entwickelungen von cos nx und sin rix erhalten eine sehr einfache Form, wenn man darin die Potenzen der Tangente einführt; und dieses wird bewerkstelligt, wenn man cosx" als gemeinschaftlichen Faktor schreibt: man erhält alsdann: sin (4m-j-2)k> §. 51. cos nx—cosx" l 1 — ( » (n—1) (n—2) (n—3) n (ii—1) siux^ 1.2 cos x^ 1 . 2 . 3 . 4 sinx* cosx' ) ii sin II sin Ii(u —1) (n—2) sinx? 1.2.3 cosx sin nx—cos x" 1 cosx so und folglich / 0(0—1) cosux—cosx°l 1-^tKx^-f »(»—1)(n—2)(u—3) 1.2.3.4 txx —rc.^ LI» UX —C08X -6 t§x- »(»—1)(n—2) 1.2.3 lxx? indem man t§x setzt statt cosx Dividirt man den letztem Ausdruck des sinox durch den des cos »x, so erhalt man , tAX- II (n—1)(n—3) 1.2.3 «AX^-j- t§»x- »(»—1) (n—2) (n—3)(u—4) 1.2.3.4.5 t§ x^ — rc. u(n- 1 ). ,2 , u(u— 1 )(n- 2 )(u— 3 ) -IL'X^-t-- 1.2 ^ ' 1.2.3.4 -rc. woraus man ohne Mühe die Entwickelung von cotz »x herleiten kann, welche anwendbar ist auf beliebige Werthe der Zahl », so wie die vorige. §. 52. Wenn man in den Ausdrücken für sin nx und cos »x tz. 47, x—^ macht, so werden sie / . /xX n(a— 1 )(n— 2 )/ xX»^/. xX^ , 8 i»x--»(co 8 -) LM^-)- 2^3 -^ li(u—1)(n—2)(n—3)(n—4)/ xX^^/. XX 6 - —-—-— -l cos -1 I sin - f — re. 2.3.4.5 V »/ X»/ / xX" »(»— 1 ) / xX^ / 2 cosx--^cos-)-2— »- »(»—1)(n—2)(u—3)/ xVi"^ / . xX^ -273^-(E») ^°»)-rc- Die Reihen, welche ihre zweiten Seiten bilden, sind in Bezug auf das Wachsthum von » der Grenzen fähig; denn wenn diese Zahl größer wird, nimmt der Bogen ^ ab, und nähert sich mehr und mehr seinem sinus, während sein cosinns dem Radius oder der Einheit sich nähert: schreibt man also ^ statt sin 1 statt cos ^, und reduzirt die Produkte», »(»—1), »(»—1) (»—2), rc. ' auf ihr erstes Glied, so erhält man für die Grenze 91 «mv---..-- —^-,-2.3.47^- eosv— 1 — -- -; -f- -:c. .—V-l- 2.3 ^ 2.3.4 2.3.4.5 u.....1— V- 2.3.4 So sehen wir uns also zu den Reihen S. 94 zurück geführt; und man ersieht daraus, wie sich die verschiedenen Verfahrungs- arten, welche wir zu ihrer Erlangung befolgt haben, die eine durch die andere bewahrheiten. §. 53. Die Betrachtung der Grenzen führt eben so schnell zu der Reihe, welche den Bogen durch seine Tangente ausdrückt. Zu diesem Behuse bemerke man, daß da die Grenze des Verhältnisses des Bogens zu seinem sm»« die Einheit ist, die von UX 8M NX in Bezug auf die Abnahme von » ebenfalls die Einheit scyn wird; aber mit Rücksicht auf die Gleichung u(u—1)(l>—2) , X X - — eo» X" ^ X-— t§ X- -j- rc.^ (tz. 51.), 81» NX: erhalt man NX 8M NX L08X" »X n(>.—1)(u—2) tz-xb -f- rc. 1.2.3 oder, wenn man Zahler und Nenner der zweiten Seite durch » dividirt NX X 8M NX cosx" (>.—DG—2) -l-rc.) 1.2.3 Geht man nun, nachdem dieses festgesetzt ist, zu den Grenzen über-, so muß man für die erste Seite 1 setzen, und auf der zweiten N —o machen, und man erhält, mit Rücksicht darauf, daß lco8x)° —1, 1-- woraus sich, wie tz. 43, ergibt x—txx- t^x^ »j- re. i 92 §. 54. Zn den Paragraphen ?. 47. und 49. sind die Sinus und Cosinus der vielfachen Bogen nach den Potenzen des Sinus und Cosinus des einfachen Bogens entwickelt worden; im Folgenden wird gezeigt, wie man die umgekehrte Frage auflösen kann, d. h. die Frage, in welcher es sich darum handelt, die Potenzen des Sinus und Cosinus des einfachen Bogens vermittelst der Sinus und Cosinus seiner Vielfachen zu ermitteln. Es scy cosx-f- —i 8ii»x —n, cosx—1 8i»x — v , so hat man co8X —4(n-f-v), si'li x —v), und hieraus folgt für's Erste co8 x" — — (ii -j- v)". Entwickelt man die angezeigte Potenz auf der zweiten Seite dieser Gleichung, so kommt co« X" -- * in" -f- V -f- n"-2 V- ch- n"—^ aber in dem Ausdrucke (n-siv)" kann man v in n, und umgekehrt, verwandeln, und dieses liefert °°8X°--^ iv" -f- 1, 11 -j- V-2 112-t- N(N-D(N^ 2) 2^ X ^ '2 2.3 addirt man diese beiden Resultate, so kommt 2 eo8 x" — ^ ^n" -f- v" -j- n (n"^ x -j- n) -f- ——— Man kann dieser Gleichung folgende Form geben: 2"°^cv8X" — ^11"-s- V" -j- N11V (n""2 v"^2) ^ n- v'(n" ^— n^v^(n"-o-s-v"-°)-j-rc.^; über nach §. 47. hat man 93 cosnx —4(cosx-j-^—1 sinx)"-s-l(cosx—1 siiix)"— und zwar für jeden beliebigen Werth von n: man kann hieraus schließen, daß n" -j- v" — 2 cos NX, und allgemein I» IN — 2 cos (n—m) X; ferner ist leicht zu sehen, daß nv —1: man hat folglich / 2n (n—1) > 2'^^cosx"—i 2 cosnx -j- 2n cos (n—2) x --—^— cos (n—4) x 1.2 2n(n—1)(u—2) 273 cos(n—6) x oder, wenn man beide Seiten durch 2 dividirt, 11 -< 1 2" cosx" — ^cos nx -j- ^cos(n—2 )x-j- cos (n— 4) x-j- n(n—1)(n —2) , -iT^TZ-E (n—6) x -s- w.^). Setzt man diese Formel wie die des Newton'schen Binoms fort, so gelangt man zu Cosinus negativer Bogen; aber sie sind genau dieselben, mit denen ihrer entsprechenden positiven Bogen: man kann also cos(m—n)x statt cos (n—ir>)x schreiben. Der Werth, welchen wir so eben für cos x-> gefunden haben, ist nicht blos aus den Fall beschränkt, wenn n eine ganze Zahl ist; er gilt eben so für die Fälle, wenn n gebrochen oder negativ ist. Uebrigens ist er im erstem Falle einer Vereinfachung fähig, die ich jetzt kennen lehren will, In der Entwickelung von (n^j-v)" haben, wenn n eine ganze Zahl ist, die Glieder, welche gleich weit von den beiden äußersten abstehen, denselben Coesfizientcn; dasselbe wird der Fall seyn in dem Ausdrucke cos nx -j- ^ cos (n—2) x n(n—1) 1.2 cos (n—4) x -j- »("—Y(n—2) 1.2.3 cos (n—6) x -j- !t. und außerdem gehören die Cosinus, welche von den beiden äußersten Gliedern dieser Formel gleich weit abstchen, zu gleichen Bogen. Denn da ein Glied, welches um eine Distanz in vom ersten absteht, mit cos(n — 2-n)x behaftet ist, so ist das letzte selbst mit cos (n — 2n)x oder mit cos — nx behaftet; und geht man von diesem zurück bis zu demjenigen, welches um >n Glieder von ihm absteht, so findet man nothwcndig cos (—n->-2m)x, oder cos—(n—2-n)x: aber nach dem oben Gesagten, sind cor(n—2iu)x und cos —(n— 2m)x einander gleich. Es folgt hieraus, daß 94 es unnöthig ist, die Formel bis zu den Gliedern, welche mit Cosinus negativer Bogen multiplizirt sind, auszudehncn, weil es, um letztere in Rechnung zu bringen, hinrcicht, das Doppelte eines jeden Gliedes, welches Cosinus positiver Bogen enthält, zu nehmen. Man kann also obige Formel, indem man bei dem Gliede stehen bleibt, wo die Bogen negativ werden, so schreiben: 2n(n—t) / , 2n , . , 2n(n 2" cos x" — l 2cos NX st- 1 cos sn—2) X st - 1 - cos (n—4)xst-rc.^. Man muß übrigens bemerken, daß wenn n eine gerade Zahl ist, die Formel ein mittleres Glied hat, welches gleich weit von den beiden äußersten absteht, und dessen Form ist n(n—1).(n—"st-1) -—^-cos(n—n)x: Dieses Glied reduzirt sich, weil coso —i, auf 1). und weil es allein vorkommt, so darf es nicht mit 2 multiplizirt werden, wie die übrigen, es sey denn, daß man vorläufig nur die Hälfte nimmt, oder daß man setzt Man erhält also als Endresultat 2^1 cosx?— ^cos nx st- ^ cos (n — 2) x st- n(n—1) 1.2^ cos (n—4) X n(n—1)(n—2) 1 ? 2?3 cos(n- -6)chrc.), indem man nicht außer Acht läßt, in dieser Formel bei dem Gliede stehen zu bleiben, bei welchem inan auf einen negativen Bogen stößt, und nur die Hälfte zu nehmen von dein Cocffi- zientcn des Cosinus des Bogens Null, den man bekommen wird, wenn n eine gerade Zahl ist. Mit Rücksicht hierauf wird cs leicht sepn, die Werthe der folgenden Tabelle zu bilden: cos x ---cosX 2cosx^ —cos2x-s-1 4 cos x^ — cos 3x -s- 3 cos x 8 cos x^ — cos 4x -j- 4 cos 2x 3 16 cos x^ — cos 5x-s-5 cos 3x-s- 10 cos x 32 cos x^—cos 6x -h- 6cos4x-j-15 cos 2x -s- 10 64cos x^ —cos7x -s- 7cos5x-s-21cos 3x-j- 35 cosx rc. tz. 55. Um «iiix» zu entwickeln, bediene man sich der Gleichung 1. Es sey n eine gerade Zahl oder ein Bruch mit geradem Nenner; in diesem Falle ist (n—v)" —(v—n)», und folglich hat man auch Entwickelt man die zweite Seite dieser Gleichung, und addirt sie zu der vorigen, so kommt ein Resultat, welches mit dem des vorigen Paragraphen, bis auf die Zeichen, übereinstimmt, wir können also sofort schreiben: und mw oder slu x" 81NX SIllX' (2^) (n-i)(n—2) 1 . 2.3 siux" 0—u)' (2^) 2 slu x^ (2^^) n(n—1)(n—2) 1 . 2.3 1 ^ 1.2 (o."— oder 2 sin x" — ^ 1 -s- -s- (n—1)(n—2) 96 — n(n— 1 ) (2^H) cos (it—4) (n—1)(n—2) 1.2.Z Das Imaginäre verschwindet, weil n eine gerade Zahl ist; und man hat — ss^2", das obere Zeichen gilt, wenn n eine Doppelpaarzahl ist, d. h. ein Vielfaches von 4, und das untere, wenn es blos durch 2 theilbar ist. Man wird über die zweite Seite dieser Gleichung dieselben Erörterungen zu führen im Stande seyn, wie im vorigen Paragraphen ; und wenn n eine ganze Zahl ist, so wird man daraus schließen, daß man sich begnügen könne mit den Gliedern, in welchen nur positive Bogen Vorkommen, nur lasse man nicht außer Acht das Doppelte eines jeden zu nehmen. Ferner, da ri alsdann eine gerade Zahl ist, so wird ein Glied entstehen, welches vom cosinus befreit ist, und welches man nicht verdoppeln muß; dividirt man nun beide Seiten durch 2, so erhalt man wobei man nicht außer Acht lasse, bei demjenigen Miede stehen zu bleiben, in welchem der Bogen Null erscheint, und nur die Hälfte des Coefsizienten dieses Gliedes nimmt. 2. Ist n eine ungerade Zahl, alsdann kommt Addirt man diese Entwickelung des sinx" zu der der vorigen Seite, und vollzieht die nöthigen Reduktionen, so findet man: (' (n-i)0 cos (n—6) X -I- rc, 1.2.3 (v — ri)" — — (ch folglich — M — v)" (n—v)' (v—G' (2^-1> (2^-1)- oder indem man entwickelt, n (n-1) 1.2.3 N(N—1) (2^-1- n(n—1)(n—2) 1.2.3 97 da aber nach §. 47. 8»Inx — ^^-77 ^(cok,ginx)"-(c«8X—^- v->) 27^—1 ^ ^' für jeden beliebigen Werth von n, so ist folglich auch allgemein ^11—W—^.11—m 2 ^1 8III (»— III) X, und was das Produkt NV betrifft, so ist dieses immer der Einheit gleich: man erhalt demnach 2smx"- '2(7" 1 / - -- 81 N , , n(rl-1) 81» »X — 8IIlfl1 — 2)x -I--—— 8IIl(»—4) X 1.2 - n(n—1)(n—2) . , 1.2.3 n—6)x ff-rc.^. Die imaginäre Größe hat auf diese Formel eben so wenig Einfluß als auf die vorigen; denn da » eine ungerade Zahl ist, so ist ( 27 "— 2 -i-t, Das obere Zeichen gilt, wenn »—1 ein Vielfaches von 4 ist, und das untere, wenn n -1 blos ein Vielfaches von 2 ist. Man kann sich auch bei dieser Formel mit denjenigen Gliedern beschränken, in welchen die Sinus blos positiver Bogen Vorkommen, indem man diese Glieder verdoppelt; denn es ist für's Erste klar, aus denselben Gründen wie vorhin, daß die Glieder, welche gleich weit von den beiden äußersten abstehen, denselben Coeffizienten haben, und daß in dem einen ein positiver , in dem andern ein negativer Bogen vorkommt. Zwar werden, da die Anzahl der Glieder der Formel gerade ist, und dieselben abwechselnd positiv und negativ sind, die entsprechenden Glieder entgegengesetzte Zeichen haben; aber es ist auch der Sinus eines negativen Bogens selbst negativ, und folglich findet sich diese Zeichenverschiedenhcit aufgehoben und die Glieder, um welche es sich handelt, vereinigen sich in ein einziges. Diesen Betrachtungen gemäß erhält man, nachdem durch 2 dividirt worden ist, 4- 2"^ 8NIX" — s 81» NX-81» (n—2)x 4- —— 8ÜI (n—4) X VI 1.2 N (N-1) (n 1 . 2.3 2 ) . , — 81» s Man wird leicht aus den beiden Formeln dieses Paragraphen die in der folgenden Tabelle enthaltenen Werthe herleiten. 7 98 8IN X »M X 2 sin x' — — cos 2x -s- 1 4 sin — — sin 3x -j- 3 sin x 8«inx*— cos4x— 4cos2x-f-3 16 sin x^ sin 5x — 5 sin 3x -j- 10 sin x 32sinxS — — cozgx -j-6cos4x—15cos2x-f-10 64 sin x^^-- — siu7x-st-7si» 5x — 21 sin 3x-s-35siux rc. Das sind die Resultate für die Fälle, in welchen n eine ganze Zahl ist; wenn es ein Bruch wäre, so müßte man zu der ersten Formel des vorigen Paragraphen zurück gehen. Man müßte darin x —2 setzen, welches gäbe cosx —sinr, und folglich wäre der Ausdruck von cosx" vermittelst der Cosinus der Aiel- fachcn von x einerlei mit dem von si» 2 " vermittelst der Cosinus der Vielfachen von (i^— 2 ), oder vom Complement des Bogens s. §. 26. Die im §. 33. gefundene Entwickelung von logu führt uns zu der eines Kreisbogens, geordnet nach den Sinus seiner Nielsachen. Setzt man nämlich in n —so erhält man löge 1_ ,2 r 1^—1 -2r^-i —1_g—1 1 ^—4^/^—! ) st- ; aber 1 , und folglich 7-m - V (-- )--(-1^- dividirt man beide Seiten dieser Gleichung durch 2, so findet man ^ 2 - 27^-1 /^2r/^—I 22^— ( 2^ ") — tz—a-l'-lX Zg4r^-1 ^ g— 47^lX V ^ V 2^—1 / 'i-rc.; 99 L— »- >- - 8IN L und da — 2-^-1 t- _- -— 8l» 2-, / 2^—1 V 'k., so folgt daraus 42 — «in 2-4 8III 22-44 81» 32-4 8M 42 -s- rc. Macht man 2 -^ 1 ^, so werden s!» 82 , sin42, und im Allgemeinen alle Sinus der geraden Vielfachen gleich Null; es bleiben nur die ungeraden; aber man muß bemerken, daß sie abwechselnd positiv und negativ sind, daß also, da sin 11 positiv ist, 8111 Z 1 negativ, 8iu5-r positiv, s!» 71 negativ, rc. ist. Mit Rücksicht hierauf findet man, daß der Bogen von 45" — 1 — 4 ch- 4 — 4- -si rc., ein Resultat, welches mit dem des H. 43. übereinstimmt. tz. 57. Die Betrachtung der Sinus der vielfachen Bogen führt noch zu einer Entwickelung des Kreisbogens, welche eine von der vorigen sehr verschiedene Form hat, und welche man, so wie überhaupt den größten Lheil der analytischen Untersuchung der Kreisfunktionen, Euler verdankr. Da nämlich sin(x- 42 ) —sinxcc>S 2 -j-cosxsin 2 , so findet man, wenn man 2 ^x macht, sin 2 x —2 sinx cos X. Setzt man 4 x statt X, so kommt sinx — 2 sin 4 xcos 4 x. Macht man aufs Neue dieselbe Substitution, so kommt sln^x — 2 sin^xcc >8 rx; setzt man diesen Werth von sin 4 x in den von sinx, so erhält man sinx— 4 sin 4 xco» 4 x cos 4 x; aber indem man gerade wie vorhin verfährt, erhält man sin 4 x — 2 sin 4 >x cos 1 -x ; also sinx — 8 sin 4 X cos 4 X cos 4 X cos 4 X. Man kann sin 4 x vermittelst der Gleichung sin 4 x —2 sin^x cos^x wegschaffen; man erhält alsdann sinx^-16 sin ^-4 X cos 4 xcos 4 x cos 4 x cos 4g-x. Man sieht, daß, wenn auf diese Weise fortgefahrcn wird, man jedes Mal einen neuen Cosinus einführt, und daß man im Allgemeinen erhalten wird 1 1 sinx — 2" sin — X cos4Xcos4xcos4cos^4X.. . . cos -- x. 1 Aber je größer n wird, desto kleiner wird der Bogen - ,^x, und desto weniger also wird er sich von seinen Sinus unterscheiden, 100 und sein Cosinus wird um so näher der Einheit kommen; die Grenze des vorigen Ausdrucks wird also seyn sin x—x cos x cos fxcos ^-xrc. Man erhält hieraus sin x X —-; cos ^x cos ^x cos ^x rc und —socn, so schließt man daraus ebenfalls x —sin xsec 4-xscc xssc ^-xic. Dieses Produkt nähert sich immer mehr einem endlichen Werthe; denn je kleiner der Bogen wird, desto mehr nähert sich die Sekante dem Radius oder der Einheit, und so nehmen also die Faktoren in ihrem Verlaufe immer mehr ab. Nähme man die Logarithmen, so führte man das obige Resultat auf die Form einer gewöhnlichen Reihe zurück, denn man erhielte log x ^ log sin X -j-log sec ^x-f-log sec^x-j-log sec ^x-s-!c. Es ist dieses nicht das einzige Beispiel einer Entwickelung, welche durch ein Produkt einer unendlichen Anzahl von Faktoren ausgedrückt ist; es gibt deren sehr viel andere, welche von den oben erhaltenen Reihen für s^, sinx, cosx, rc. abgeleitet werden; man wird sie im dritten Theile dieses Werkes finden, wo sie auf verschiedenen Wegen bewiesen werden. Von der Umkehrung der Reihen. tz. 58. Nachdem man den Ausdruck einer Größe in einer Reihe, geordnet nach den Potenzen einer andern Größe erhalten hat, kann man die Frage umkehren, indem man die zweite Größe als eine Funktion der ersten betrachtet, und ihre Entwickelung suchen. Nachdem man z. B. den Werth des Cosinus und des Sinus vermittelst der Potenzen des Bogens gefunden hat, kann man die des Bogens selbst verlangen. Die Fragen dieser Art machen den Gegenstand der Umkehrung der Reihen (retour ckes suiles) aus. Ich will zuerst das Verfahren auseinander setzen, welches Newton, der sie zuerst lösete, uns in einem seiner Briefe an Oldemburg überliefert hat, weil es mir das einfachste scheint. Es sey x ein Kreisbogen und ^ sein Sinus, so hat man (§. 39.) 10t 6^120 5040 wenn man alle Potenzen von x mit Ausnahme der ersten elimü niren könnte, so erhielte man den Werth von x in dazu gelangt man sehr leicht auf folgende Weise: Man berechne zuerst die dritte Potenz von entweder direkt, oder mit Hülfe der Formeln des §. 19, so wird man, nach 13 vollzogener Reduktion finden x^ —^--s-^x^— rc.; elimi- nirt man zwischen dieser und der vorgegebenen Gleichung, x? als eine einzelne unbekannte Größe, so kommt und dieses gibt nach der Reduktion V? Zx^ x' — ^ 40 ^ 56 """' Bildet man darauf die fünfte Potenz von so erhalt man ^ und schafft man x« aus diesem Resultate weg, so findet man So sind wir also zur Entwickelung von x in und zwar bis zur siebenten Potenz von y, gelangt, und der zu diesem Behufe eingeschlagenen Weg ist deutlich genug, um ihn fortsetzen zu können, so weit man will. Berechnet man noch zwei Glieder mehr, so erhält man Obgleich man nicht sogleich das Gesetz der verschiedenen Glieder in vorstehender Reihe erkennt, so wird man es doch entdecken, indem man die Coeffizienten und numerischen Divisoren in ihre einfachen Faktoren zerlegt, und alsdann kommt -( 1_1- 12 120 13 _ 1 720 5040 x--^-ch-rc. 7' . x? ff- rc. 74-^-l- oder 7 ' . 37 74 -^ 4 - es ist aber x' x7 —rc.: folglich 3^- 5^ 74 -^ 4 - 40^112 7"4--c. 74 -^ 7 ' 4 -^ 7 ° 4 - 102 , 3z:' 3.5.^ 3.5.7.v° ^"^273^2.4.5 ^2.4. 6 .7 ^ 2 .4. 6 . 8 .9^ 3.2.7.9.^'l 2.4.6.8.10.11^^— Dieses ist der Ausdruck des Bogens x, entwickelt nach den Potenzen seines Sinus Dieses Beyspiel möge einiger Maßen hinrcichen um das Wesen der Methode kennen zu lernen; ich bemerke indeß, daß wenn man hätte z- — 2 -stbx -st ox? -st clx' -st rc., so müßte, größerer Bequemlichkeit wegen, die bestimmte Größe » auf die andere Seite gesetzt und /—s —2 gesetzt werden, und dieses gäbe 2 —bx -st cx° -st llx' -st rc., und das Resultat würde alsdann nach den Potenzen von 2 fort- schrciten. Ohne diese vorgängige Operation würde jede Potenz von neue von x unabhängige Glieder Hervorbringen; und es entstände hieraus eine unbestimmte Reihe für das erste Glied der gesuchten Entwickelung. Wenn die vorgegebene Reihe die erste Potenz von x nicht enthält, so erhielte man blos den Werth der niedrigsten Potenz, und man müßte also aus dem Resultate die durch den Grad jener Potenz angegebene Wurzel ausziehcn, was leicht zu bewerkstelligen wäre vermittelst der Formeln des tz. 19. Einer der bedeutendsten Vorthcile des Verfahrens, welches uns jetzt beschäftigt, besteht darin, daß es direkt zu der Form der gesuchten Reihe führt. Es sey z. B. 2 —sx? -st bx' -s- ox' -st re.: man eliminire sür's Erste x'; zu diesem Behufs muß man 2 auf eine solche Potenz erheben, daß das erste Glied mit x? behaftet ist. Gesetzt diese Bedingung sey erfüllt durch die Entwickelung von 2 '»; man hat alsdann nothwendig 2 »-— 2 »-x^>--strc., es muß folglich 2ir>-^3 oder m — 4 scyn. Man erhebe also die Reihe, welche 2 ausdrückt, aus die Potenz 4 , was leicht bewerkstelligt werden kann, indem man ihr folgende Form gibt: 2 ^ X? (a -st bx -st , und man erhält 3 A 3_, 2 '^L'x^-st b x*-strc. Schafft man x' vermittelst dieser Gleichung weg, so bleiben blos x', x" und höhere Potenzen. Erhebt man 2 ins Quadrat, so erhält man ein Resultat, welches zur Elimination von x* dient. Diese Operation kann wirklich ohne Schwierigkeit ausgeführt werden, selbst wenn es noch nöthig wäre, den Werth von - auf Bruchpotenzen zu erheben. Die durch 2 vorgcstellte Größe könnte selbst eine Reihe seyn, geordnet nach den Potenzen von 7-, ohne daß in diesem Falle das Verfahren geändert werden müßte; es wäre dann blos nöthig, die Entwickelungen der verschiedenen Potenzen von - in Bezug auf ^ zu ordnen, indem man von der ersten dieser Größen zur zweiten zurückginge. Hätte man endlich zwei Reihen folgender Art — gX -f- b X? -j- c x^ ff- rc. ft — a'x ff- b'x- ff- c'x? ff- rc., so könnte man durch dieselbe Methode die Entwickelung von in r, und umgekehrt, finden. Um z. B. 7. zu erhalten, nehme man den Werth von x in r in der zweiten Reihe, und substituire ihn in die erste. Das Resultat dieser Operation wird blos das Quadrat und höhere Potenzen von x enthalten. Man erhebe dann die zweite Reihe ins Quadrat, und nehme daraus einen -Werth von x? in rff xff x*, rc., welcher das Mittel darbieten wird, x? aus dem vorigen Resultate wegzuschaffen: fährt man auf diese Weise fort, so wird man sich nach und nach der verschiedenen Potenzen von x entledigen. Das Verfahren, welches ich eben angezeigt habe stimmt mit demjenigen überein, welches man gewöhnlich zur Elimination befolgt, mit dem Unterschiede aber, daß man, anstatt mit der Wegschaffung derjenigen Glieder zu beginnen, die den höchsten Exponenten haben, hier mit denen beginnt, deren Exponent der kleinste ist. Folgendes ist nun eine allgemeine Formel, welche alle Fälle umfaßt, in welchen die Exponenten der Potenzen von x eine Differenzenprogression bilden. Es sey ^ ff- 8X ff- bx- ff- 6X^ ff- clx^ ff- KX^ ff- rc. Seht man K auf die andere Seite, und macht, der Kürze wegen ^—ll —2, so erhält man 2 — sxff- bx? ff- LX? ff- 6x? ff- sx? ff- rc . (1.) Berechnet man die Werthe von 2", so kann man nacheinander x?, x-, x* climiniren, so wie wir dieses in den vorigen Beispielen bewerkstelliget haben, und man wird finden: 1 b /2b-—soX /5b^—Zaboffs^ckX -c--) ^/I4b*—Lisino ff-6a-bck ff-^ , ff- ^ - - ff-rc. 104 8 . 59. Man kann zu demselben Resultate auch durch die Methode der unbestimmten Coeffizienten gelangen, indem man setzt X— ^2 -j- -j- 676 -j- -s- re., und mittelst der Formeln des tz. 19. die Werthe von x-, x^, xh rc. berechnet, um sic in die Gleichung (1.) zu substituirm. Wenn diese Operationen ausgeführt sind, so versetze man die erste Seite auf die zweite, und setze alle Glieder, die mit derselben Potenz von 2 behaftet sind, gleich Null, so wird diese Operation die nöthigen Gleichungen zur Bestimmung der Coeffizienten -4., L, 6 , rc. liefern. Ich halte mich bei den Einzelheiten dieser Rechnung nicht auf, da bisher schon eine große Anzahl von Beispielen davon vorgekommen; indessen will ich den Gang des Verfahrens verzeichnen, welches zur Herleitung des Wertstes von 2 dient aus der Gleichung tt 2 -s-^ 2 ^-ss) rc. — sx-s-bx? -j-cx^-j-clx'-s-rc., die aus zwei unendlichen Reihen gebildet ist. Wenn man, nachdem angenommen ist x —^.2 -j- -j- 67 ? -s- O 2 * -f- rc., die Potenzen dieser letztem Reihe entwickelte, sey es nun durch die Formel der Seite 30, oder durch successive Multiplikationen, so würde die unmittelbare Substitution dieser Potenzen nur zu unsymmetrischen Resultaten führen, der Art, wie das am Schlüsse des vorigen Paragraphen, nach welchem es unmöglich wäre, den Werth von x über die schon gefundenen Glieder hinaus weiter auszudehnen. Folgendes ist ein Verfahren, welches zwar das Unbequeme hat, die Ausführung noch vieler Rechnung nöthig zu machen, das aber wenigstens das Gesetz deutlich macht, welches jene Rechnungen untereinander verbindet, und zugleich das Mittel, sie durch symmetrische Formeln so weit zu treiben als man will. Man setze für's Erste X — ^,2-f-L,22 -s-6,25 -j- 11 , 2 '' -j-rc., X-— -i-v,2- ss-rc., x? — A,22-j-U,2" -s-L,25 -j-11,26 -j- rc., X" —^7"-s-L„2"^-i-0ir2"'l-2-j-ii,,7n-!-Z-s-rc., wo die Buchstaben L„, Ost, rc. die Coeffizienten der rllen Potenz des Polynoms 12-j-U ^ 2 2 -j-Ost 2 ^-s-II ^ 2^-sirc. 2(-?1, ss-iU, 2 -s-O, , 2b-frc.) bezeichnen, und alsdann in die vorgegebene Gleichung die Ent- 105 Wickelungen der Potenzen von x. Bringt man alle Glieder auf eine Seite, so kommt -I--s--s-rc. ) st-b^^st-bD^ st-bO^'st-rc. t st-c^z2--s-cD,2'st-rc.! o- -st-clrl^L» st-rc. / ' st- rc. » — «2 — /?2" — —w.) und hieraus leitet man her sr^4—« —0 tt ^-b^2 a a64-s-bL2ff^aLz—7—0 r 6 .7—bl^—<-L., SV4 s-b62-i-cDz-I-ärl4— km. rc. V rc. Gleichungen, deren Gesetz klar ist, und welche zuerst ^ bestimmen, alsdann D4 durch ^2, 64 durch L2 und ^ , O4 durch 62, D, und ^4, rc., so daß jeder Coeffizient des Werthes von x abhängig ist von den vorhergehenden Coeffizienten, welche berechnet sind für die Potenzen, deren höchster Exponent dem Range gleich ist, den der gesuchte Coeffizient einnimmt. Die vorhergehenden Coeffizienten berechnet man vermittelst der Gleichungen am Anfänge der Seite 30 zu diesem Behufs reicht es hin, in denselben a, b, c, ä, rc. , L,, 6,, v., rc. zu verwandeln, weil man die Entwickelung von (rl 1 st-8 z 2-s-6 z 4 2^-j-rc.)"^-^i4-j-D442-j-L44!L^-j-I)442b-j-rc. bilden will: schreibt man also D44, O44, O44, rc. statt D, 6, v, rc. in den angeführten Gleichungen, so werden sie ^ 1D44 — nD 4 ^44 2^ 4 6,4—(n—1)D 4844 st- 3^ ziO-i— (n—2)k 4 644 st- (2u—1)6 4 st- 3nO 4^,4 (n—Zj^D^st-^n—2)64644-^- (3n— 1) O4 Dzi-s- - 5^ 4 D 44 — (n—4)D. L ,4 st-(2n—3)6. V„ -st- (3n — 2) v, 6 ^ st- rc. (in— 106 Setzt man darin nacheinander n —2, n^-z, n — 4 , rc., so erhält man daraus den Werth von ^ um ihn in den von L, (s. d. vorige Seite) zu substituiren; die Werthc von L, und um sie in den von L, zu substituiren, und eben so die übrigen. Führt man diese Rechnungen aus, und behält der Abkürzung wegen, in dem Ausdrucke eines jeden der Coefsizienten >1,, L,, 6,, rc. die Buchstaben bei, welche die vorhergehenden (Koeffizienten bezeichnen, und läßt die Marken 1 weg, da deren keine andern bleiben, so findet man « , —k>^ V—2t>^l6— 0 ^? -----l---—- : 22 s 2k>^<ü—3-^D—cl-V« . k—2k>l8c> 2 ' 3 3 c-^ 0—4 L — 21.U0—dL"—ck-—llcHUO—3c2l-O — dä^-132—4g^-L—5e^L— -j- rc. eine Entwickelung, welche Moivre in den klnIoLvpIiical I'rans- »olions für das Jahr 1698, S. 190 mitgetheilt, und deren Gesetz er angegeben hat. Die Form, welche ich oben den Gleichungen gegeben, von denen die Umkehrung der Reihen abhängt, zeigt, wie sehr man die Rechnung vereinfachen würde durch Anwendung eines Verfahrens, vermittelst dessen man leicht die verschiedenen Coefsi- zientcn der Potenzen des Polynoms ^-i-il .-ü-j-rc., und zwar den einen vom andern ablciten könnte; gerade dieses ist es, was die deutschen Analysten gethan haben, indem sie ihre Untersuchungen auf die Entwickelung dieser Potenzen wendeten; aber schon vor ihren Arbeiten hatte man mittelst der Differentialrechnung mehrere regelmäßige Formeln hergelcitet, um von einer Reihe zu ihrer Umkehrung zu gelangen; aus diesem Grunde werde ich mich für jetzt nicht weiter mit diesem Gegenstände befassen. Diejenigen, welche spezielle Anwendungen desselben machen wollen, finden in der zweiten Ausgabe der Trigonometrie von Cagnoli S. 46 die Reihe, welche ich S. 103 mitgetheilt habe, bis zu neuen Gliedern berechnet, und die Moivre'sche Entwickelung geht in dieselbe über, wenn man « —1 nimmt, und die Größen /S, 6, rc. gleich Skull setzt. Entwickelungen der Funktionen, welche durch Gleichungen gegeben sind, in denen die unbekannten Größen unter einander gemischt Vorkommen. g. 60 . Bis jetzt war die Form der Reihe mit unbestimmten Coef- fizicnten, welche zur vorläufigen Darstellung der gesuchten Entwickelung diente, leicht vorherzusehen, entweder durch Untersuchung der einzelnen Fälle, oder durch die Einfachheit der Gleichung, welcher Genüge geschehen mußte; aber wenn diese Gleichung Glieder enthält, in welchen die Funktion und die veränderliche Größe, von der sie abhängt, unter einander verknüpft sind, so offenbart sich das Gesetz, welches die Exponenten der veränderlichen Größe in den verschiedenen Gliedern befolgen müssen, nur durch eine besondere Untersuchung. Man könnte dasselbe wohl aufsinden, indem man die gegebene Gleichung in Bezug auf die vorgegebene Funktion auflösete, und die in dem Ausdrucke ihrer Wurzeln enthaltenen Wurzelgrößen entwickelte; aber dieses Mittel wäre nicht mehr brauchbar, wenn sie den vierten Grad überstiege, und würde schon für den dritten sehr wenig bequem seyn, wegen der Multiplikation der Wurzelgrößen. Wir wollen also nun sehen, wie man diese Schwierigkeit überwunden hat. Welches auch immer die Form der gesuchten Entwickelung seyn mag, so wird, wenn man sie als zusammengesetzt annimmt aus einer Reihe von Monomen, irgend ein Glied derselben vor- gcstellt werden können durch ^x", so daß man im Allgemeinen hat 7--- -s- -I- rc. wo die Exponenten «, /?, rc. irgend welche Zahlen seyn können. Nun hat man aber bei der Entwickelung einer Funktion fast immer zum Zwecke, einen annähernden Werth derselben zu finden, wozu erforderlich ist, daß die Reihe, zu welcher man gelangt, konvergent ist: dieser letztem Bedingung aber kann im Allgemeinen nur dann Genüge geschehen, wenn die Größe x entweder sehr klein oder sehr groß ist. Im ersten Falle ist es einleuchtend, daß die Exponenten «, /?, 7, rc. positiv und nach der Folge ihrer respektiven Größe geordnet seyn müssen, indem man mit dem kleinsten beginnt; im zweiten dagegen müssen sie negativ seyn, oder es wenigstens endlich werden, und wenn es also positive unter ihnen gibt, so muß man sie zuerst schreiben, und mit dem größten anfangen. 108 Die analytischen Annaherungsmethoden haben die größte Aehnlichkeit mit denen, welche die Anwendung der Dezimalbrüche in die Arithmetik eingeführt hat, und welche darin bestehen, allmäh- lig die Ziffern der höchsten Ordnung aufzusuchen, und die der niedrigem Ordnungen außer Acht zu lassen. Die Zahlen sind, gerade durch die Folge der Ziffern, welche sie auSdrücken, nach den Potenzen von 10 geordnet *); man urtheilt über den Werth der gefundenen Ziffern und den der zu findenden, oder zu ver- nachläßigcnden, nach der Stelle, die sie einnehmen, und die beträchtlichem stellen sich zuerst dar: man ordne also auch die algebraischen Ausdrücke, um zuerst die großem Glieder zu finden, und dann die kleinem; aber dieses kann nicht geschehen, ohne vorher für die eine der Größen, welche in dem betrachteten Ausdrucke Vorkommen, einen Grad von Große festgesetztzu haben. Es scheint nicht leicht, die großem Glieder in einem Ausdrucke zu erkennen, welcher in seinen Verlaufe zwei gegebene veränderliche Größen, die eine mit verändern verknüpft, enthält; von der Art wäre z. W. die Gleichung -j- cx^^-s-re. — o. Die Größen x und 7 sind hier unter einander verknüpft auf eine Weise, die, obgleich bestimmt, dennoch nicht beim ersten Wlick zu entscheiden gestattet, welchen Einfluß die Aenderungen der einen auf die andere hat; und es wird oft der Fall seyn, daß sic gerade in entgegengesetztem Sinne fortschreiten, so daß, wenn die erste sehr klein ist, die andere sehr groß seyn wird, und umgekehrt; oder daß, wenn die eine sehr schnell abnimmt, die andere inzwischen sehr wenig kleiner wird. Die Geometer haben verschiedene Mittel ersonnen, und unter den Gliedern einer Gleichung diejenigen zu erkennen, welche die größten sind. Newton erfand das analytische Parallelogramm, welches v. Gua später auf ein Dreieck zurückführte: Taylor wandte eine geometrische Konstruktion an; aber Lagrange hat ein sehr einfaches und bequemes analytisches Verfahren mitgetheilt **), welches ich jetzt kennen lehren will. 6 . 61 . Gesetzt man habe irgend eine Gleichung Die Zahl 349,537 z. B. ist nichts Anderes als 3(10)- 4- 4(10) > 4- 9(10)° 4- 5(10)-14- 3(10)-2 4 - 7 (10)-?. **) Itlbinoire» 6s l'^caäsiniö äs üsrlin, ro> 1776, pag. 238. 109 bezeichnet man mit äx<" das erste Glied der Entwickelung von v, und nimmt x sehr klein an, so reicht cs hin, auf jenes Glied Rücksicht zu nehmen, welches den größten Theil des.Werthes von ^ ausmacht. Substituirt man es für jene veränderliche Größe in die vorgegebene Gleichung, so findet man ->-re.^0. Da diese Gleichung nur annäherungsweise statt finden kann, so muß man die Glieder nach der Folge ihrer Größe, welche durch den Exponenten, womit sie behaftet sind, angegeben wird, ord» neu, und nur diejenigen beibehalten, welche vom niedrigsten Grade sind; nun kann dieses aber so lange nicht geschehen, als der Exponent « unbekannt ist. Um ihn zu bestimmen, bemerke man, daß, da wir nur die niedrigen Potenzen von x in Anschlag bringen, welches übrigens auch der Werth dieser veränderlichen Größe sey, der vorliegenden Gleichung nur dann Genüge geschehen könne, wenn sich zwei unter einander vergleichbare Glieder darin finden, d. h. die von demselben Grade sind, und deren Exoonent kleiner ist als der der übrigen. Es handelt sich also nur darum für « einen Werth zu finden, welcher zwei der Zahlen - in-f-ncr, in'-j-n'«, in"-j-n"cr, in'"-j-n"'«, rn" -j-n^« , re. einander gleich und kleiner als alle übrigen macht. Jede Gleichung, die man bilden kann, indem man je zwei der vorliegenden Zahlen einander gleich setzt, gäbe einen Werth für «, welcher der ersten Bedingung Genüge leistete, und den man substituiren müßte in in-j-n«, in'-j-n'«, re., um sich zu vergewissern, daß er der zweiten genüge; verfährt man aber auf diese Weise, so würde man sehr viele zwecklose Combinationcn machen, die man auf folgende Weise vermeiden kann. Setzt man blos das erste Glied einem jeden der folgenden gleich, um daraus verschiedene Werthe von « herzuleiten, die man mit c,.", rc. bezeichne, so kommt , in'—m „ « -V-, n—n rc. Anstatt einen jeden dieser Werthe einzeln zu versuchen, wollen wir in der Reihe Ili-ssn«, lill-s-n'«, in"-ssn"tt, in"'-l-n"'«, rc. .»...(1.) den Ausdruck der Differenzen zwischen dem ersten Glicde und jedem übrigen suchen, alsdann kommt: all—in-f-(n'—n)«, in"—in-j-(n"—n)«, in"'—in-j-(n'"—n)«, rc.; aber vermittelst der vorhin für « gefundenen Werthe hat man 110 in'—— r>), in"—rn-^-—«" (n"—n), rn'" — m — — (n"' — n), rc. und mithin können die obigen Differenzen auf folgende Weise ausgedrückt werden: (n'—n) («—n'), fn"—n) (ll—tt"), (n'"—n)(n—tt'"), rc. Setzt man der Kürze wegen m -j-n« —so erhält die Reihe (1.) folgende Form 7r, 71 -j- (ill—n) (tt—tt'), 7r-j-(n"— ir) («— tt"), 7r-s-(ri'"—n) («-«"'), rc. (2); und da man die Glieder der vorgegebenen Gleichung immer so ordnen kann, wie man will, so schreibe man sie so, daß die Zahlen n, n', n", n"', rc. eine steigende Progression bilden, wodurch die Größen ick—ii, n" ——n, rc. positiv werden. Bei so bewandten Umstanden sieht man deutlich, daß, wenn man « den größten der durch rc. vorgestcllten Werthe gibt, das Glied, welches diesem Wertste entspricht, dem ersten, 7-, gleich wird, und kleiner als alle übrigen. In der That, wenn man um das Verfahrerr bestimmt zu machen, annimmt, es sey so wird das vierte Glied der Reihe (2.) sich auf ?r reduziren, und man wird zugleich sehen, daß die Größen (»'—n) («—»'), (n—"ii)(«—»"), rc. alle positiv seyn werden. Die größte der Grüßen rc. leistet also den beiden verlangten Bedingungen Genüge. Wenn die vorgegebene Frage noch andere Auflösungen hat, so kann dies nur durch kleinere Zahlen geschehen, als die ist, welche wir eben gefunden haben, denn wenn man in der Reihe (2.) statt « eine größere Zahl als substituirtc, welche letztere nach der Boraussetzung die andern Werthe «", cr^, rc. übersteigt, so würde das erste Glied kleiner als alle folgenden, und folglich wäre die erste Bedingung nicht mehr erfüllt. Gesetzt nun, man nähme für « eine kleinere Zahl als so werden die Glieder 7ist-(n' — n) («—«st, 7r-s-(u"— n) («—«") größer als 7r-s-(n'"—n)(«—«'"), denn die Differenz «—wäre negativ und überträfe alle negativen Differenzen, welche sich unter den vorigen finden könnten; ferner ist sie mul- tiplizirt mit der Größe ill" —n, welche ebenfalls die Größen r»'—n, und n"—n übertrifft, da die Zahlen n, n" eine steigende Progression bilden. Es folgt hieraus, daß man von allen Gliedern, die demjenigen vorhergehen, in welchem sich der größte der Werthe rc. findet, absehen muß. Betrachtet man diejenigen, die ihm folgen, so sicht man, daß die kleinsten derselben kleiner werden können, als die ersten, weil man in den Differenzen rc. sich negative finden, so werden - 111 - sie, da sie multiplizirt sind durch die Zahlen n"—n"—», w., welche größer sind als ihre entsprechenden im andern Theile der Reihe, negative Resultate geben, welche diejenigen übertreffen werden, die man in den dem vierten vorhergehenden Gliedern gefunden hätte. Man schließt also hieraus, daß - man um eine zweite Auflösung zu erhalten, blos das Glied in Anschlag bringen muß, welches den größten Werth von « enthält, und auf diejenigen, die nach ihm kommen. Bei der festgesetzten Annahme, wo der größte Werth war, wird das Glied, welches ihn liefert, ausgedrückt durch m'"ri'"« in der Reihe (1.); man muß also die neue Reihe ec. betrachten, und mit dieser eben so verfahren, wie es mit der vorgegebenen geschehen ist. Es könnte sich ereignen, daß ein und derselbe Werth von « mehrere Glieder dem ersten gleich machte in der Reihe (2.) alsdann könnte man, um eine'neue Auslösung zu suchen, nur von dem Gliede ansgehen, welches am weitesten vom ersten absteht; denn cs ist leicht zu sehen, daß alle vorhergehenden es übertreffen, wenn man für « eine Zahl nähme, welche kleiner ist, als der größte bei der Operation gefundene Werth. Die Einzelheiten der eben auseinander gesetzten Methode sind in folgender Regel enthalten: Man setze das erste Glied der Reihe einen jeden folgenden gleich; man nehme den größten der Wer- the von «, welche aus den Gleichungen hervor gehen, die man auf diese Weise gebildet hat, so wird dieser die erste Auflösung der vorgegebenen Frage seyn. Man gehe nun vom letzten der Glieder, welches durch seine Vergleichung mit dem ersten, diesen größten Werth gegeben hat, aus, und setze es einem jeden der folgenden gleich, wodurch man neue Wertste von « kennen lernt, unter welchen man den größten auswählt, welcher ebenfalls dieFrage auflösen wird. Man gehe von Neuem von dem Gliede aus, welches das entfernteste von demjenigen, das die vorige Auslösung gegeben hat, und vergleiche es mit den folgenden Gliedern, so wie es oben angegeben ist. Fährt man so fort, so gelangt man zu allen Werthen von «, welche zwei oder mehrere Glieder der Reihe (1.) unter einander gleich und kleiner als alle andern machen. — ll2 - tz. 62. Ich nehme als Beispiel die Gleichung -s-L " ^^ —0. Setzt man in dieselbe ^x" statt so wird sie a—g-v^-x2-I-5k° — s^«x-^e«^0; und um die größten Glieder derselben zu erkennen, in der Voraussetzung, daß x sehr klein ist, muß man « so bestimmen, daß man zwei der Zahlen, 0, Z-st«, —1-1-2«, —5-1-4«, 2-j-5«, —3-j-6« einander gleich macht und kleiner als die übrigen. Man setze, nach der. angegebenen Regel, das erste Glied allen übrigen gleich, was sür « nacheinander die Zahlen — 3, 4, 4, — ---, 4 gibt, deren größte, 4, der Frage Genüge leistet. In der That, wenn man 4 für « substituirt, so werden die vorgegebenen Zahlen 0, tst, 4, 0, rst, und die beiden gleichen Glieder sind kleiner als die übrigen. Man nehme nun das Glied —5-s-4a, aus welchem man die vorige Auflösung gezogen hat, um es zu vergleichen mit den beiden folgenden 2-1-5« und —3 4-6«; man erhalt hieraus «— — 7 und «— — 1. Sieht man denjenigen dieser beiden Werthe als den größten an, der sich am wenigsten vom positiven entfernt, so wird man « — — 1 nehmen, und so folgende sechs Zahlen erhalten 0, 2, —3, —9, —3, —9, unter welchen —9 die kleinste ist. Hier ist die Operation beendigt, weil die eben erhaltene Auflösung aus der Vergleichung des vierten Gliedes mit dem letzten hergeleitet ist. Substituirt man die beiden Werthe von « in die vorgegebene Gleichung, so wird sie, gemäß dem ersten und gemäß dem zweiten g—L^x^-j- a"^l4x—3—a'" 0—-0. In dem ersten dieser Resultate sind s und die beiden größten Glieder; in dem zweiten sind es a " ^x-o und a^-x^'. §. 63. Um die größten Glieder einer Gleichung zu erkennen, bei 1 der Annahme, daß x sehr groß ist, substituire man - statt x, und suche unter den Gliedern der ungeformten Gleichung dieje- 113 uigen, welche die größten werden, wenn man den Werth von t sehr klein annimmt, eine Annahme welche den Werth von x sehr groß macht. Man könnte direkt zu demselben Ziele gelangen, wenn man bemerkt, daß nach der Substitution von ^x" für ^ in die vorgegebene Gleichung diejenigen Glieder die größten seyn werden, welche die höchste Potenz von x enthalten, und daß man sie folglich finden könnte, indem man « so bestimmte, daß zwei Zahlen der Reihe m-j-n«, m'-f-n'«, rc. einander gleich werden und die übrigen übersteigen. Diese letztere Frage könnte man auflösen, indem man unter den Größen «, rc. des tz. 61. die kleinste nähme, und so fort in jeder neuen Reihe den kleinsten Werth von « nähme. In dem Beispiele des vorigen Paragraphen ist der kleinste Werth von «, den wir im Anfänge fanden, —3; und er gibt die sechs Zahlen 0, 0, —7, —17, —13, —21, deren beide ersten, die einander gleich sind, als die größten angesehen werden müssen, da die andern negativ sind. Da die Auflösung —3 aus der Vergleichung des zweiten Gliedes der vorgegebenen Reihe mit dem ersten hergeleitet ist, so setze man, nach Borschrift der Regel, dieses zweite Glied einem jeden der folgenden gleich, um eine andere Auslösung zu erhalten. Der kleinste Werth von «, welcher aus dieser Operation hergeleitct wird, wird ch seyn, und hieraus wird folgende Reihe entstehen: 0, —H-, —4, ift, — H-, in welcher ^ die aufgelegten Bedingungen erfüllen wird. Man vergleiche endlich das fünfte Glied der vorgegebenen Reihe mit dem sechsten, so findet man «^5, und hieraus entsteht 0, 8, 9, 15, 27, 27; und 27 wird ebenfalls der Frage Genüge leisten. Die Substitution der drei Werthe von «in die Gleichung a—-4- —--rc. — 0, ' x wird eben so viele Resultate geben, von denen jedes zwei Glieder enthält, die mit den nämlichen Exponenten behaftet sind, und größer werden können, als alle andern, wenn man dem x einen sehr großen Werth beilegt. Das Verfahren, von welchem wir so eben Gebrauch gemacht haben zur Bestimmung von «, ergibt sich zu einfach aus dem in §.61. Gesagten, als daß cs einzeln bewiesen zu werden brauchte; ich bemerke daß, wenn in der Reihe der Exponenten in-j-n«, nZ-ftn'«, rc. sich welche fänden, die dasselbe Vielfache von « enthalten, ihre respektive Größe nur von der Zahl m abhangen könne, und daß man folglich nur dasjenige Glied betrachten müßte, in wel- 8 114 chcm m am kleinsten ist, wenn man die kleinsten Exponenten suchen wollte, und im Gegenfalle dasjenige, in welchem es am größten ist, wenn man die höchsten Exponenten suchte. §. 64. Wenn der Exponent « des Gliedes bekannt ist, so ist es leicht, den Koeffizienten ^ zu finden; es reicht zu diesem Wehufe hin, alle Glieder, welche mit dem kleinsten Exponenten behaftet sind, gleich Null zu setzen, wenn man x sehr klein an- nimmt, oder die mit dem größten Exponenten behafteten, wenn man x sehr groß annimmt. Im ersten Falle gibt die Gleichung 2—2'^ -ft ^ —0 (§.62.) folgende s — woraus ^ Diejenigen, welche das Wesen des Vorigen erfaßt haben, werden leicht einsehen, daß, wenn man x sehr klein annimmt, alle Glieder, welche mit dieser veränderlichen Größe behaftet sind, in der obigen Gleichung so klein werden, daß kcins derselben in Vergleichung kommen kann mit den beiden andern s und welche folglich sich unter einander vernichten muffen. Wenn man in dieser Beziehung einigen Zweifel behielte, so würde man ihn tilgen, wenn man - für x setzte, denn alsdann überzeugte man sich, daß man immerhin die Zahl g groß genug nehmen kann, damit die Summe der Glieder, wo sie als Divisor vorkommt, so klein werden kann, als man will. Wendet man die Gleichung 2-2/ -f- 2" " 0 -ftg.^Hl^X"^-2^^ 0^—0 — 0 , welche der zweite Werth von « liefert, an, so erhält man auf dieselbe Weise woraus 1 dieser Werth wird imaginär seyn, so lange die beiden Größen rr'" und dasselbe Zeichen haben. Man sieht aus diesem Beispiele, daß man im Allgemeinen so viele einzelne Entwickelungen von ^ erhält, als « verschiedene Werthe hat. Hat man das erste Glied ^4x", so substituire man, um das zweite zu finden, ^x"-ftL,x/ stattoder, was auf dasselbe hinauskommt, man verwandele für's Erste ^ in ^x«-ftH in der vorgegebenen Gleichung, darauf schreibe man, nach den Reduktionen Dx/ für /, und bestimme /S und 8, so wie man « 115 und bestimmt hat. Man erhält das dritte, wenn man Lx? st-7" statt / seht in die Gleichung, welche diese neue veränderliche Größe enthält; nach gemachten Reduktionen setze man statt Lx^, und man findet 7 und 6, wie man « und -1, /? und 8 gefunden hat: setzt man auf dieselbe Weise die Operation fort, so erhält man die folgenden Glieder. Diese Art, die verschiedenen Glieder des Annäherungswerthes der Funktion 7 zu finden, ist in ihrem Fundamente der von Newton mitgetheilten Methode zur Auflösung der numerischen Gleichungen durch Annäherung ähnlich. Man wendet sie mit den gehörigen Modifikationen in vielen andern Fällen an, und sie macht dasjenige aus, was man die Methode der suc- cessiven Substitutionen nennt. §. 65 . Ich nehme als Beispiel und zur Aufhellung einiger Schwierigkeiten , auf welche man bei Anwendung der vorliegenden Methode stoßen könnte, die Gleichung sx?st-x^— Setzt man darin 4 x" statt so wird sie sx^ st- — 0; und bestimmt man » in der Voraussetzung, daß x sehr klein sey, so findet man «—1, s — r>^—0; woraus^ —1: daS erste Glied der Entwickelung von y- wird also x scyn. Man mache darauf z- —xst-^', wodurch die umgeformte Gleichung X^ — Zsx^' st- x^ — 3 axv''— — 0 entsteht, in welcher man ^ in 8x§ verwandele. Sucht man alle die Werthe, deren /? fähig ist, so findet man /? —2 und /?— 1 ; aber man sieht leicht, daß man den zweiten verwerfen muß, denn bei der Annahme, daß x sehr klein sey, muß die gesuchte Reihe eine steigende seyn, und diese Bedingung erheischt / daß « von /§ übertroffcn wird. Der erste Werth von gibt 1 — 3 aL — 0 , woraus man herleitet 8 — ^ und 8x-^— OL OL Setzt man / —^--4-7-", so erhält man eine zweite umgefoemte st- 3 sx'v" st- x-/'st- ^-7" st- 3 ->x/' Est-x- ->7"' ^ 0 , in welcher man 7" in verwandele, und man wird finden 7—4, 7 — 1. Man muß sich, aus demselben Grunde wie oben, an den ersten dieser Werthe halten, und dieser liefert 8 ' 116 6 ^ 7 - 1 81 s^ Lx^ x« 81 2-' Diese Rechnung kann nun so weit getrieben werden als man will, ohne daß neue Schwierigkeiten entstehen, und man wird zum Endresultat erhalten xf Za -ch-!- 812 ^ ^ 2432 » Die vorgegebene Gleichung liefert noch drei andere Reihen, welche aus der Annahme entstehen, daß x sehr groß sey, und die folglich abnehmende sind. Um dazu zu gelangen, bestimme man » in der Gleichung axb -j- ^x^" >— 2^ V" — 0, so daß die Exponenten, welche gleich werden, alle andern übersteigen; die Werthe dieser Größe werden alsdann seyn 0 und 4 . Der erste gibt ^4 — —n, und wenn man die folgenden Glieder sucht, so führt er zu der Reihe —-2 — 2»x"^-Z 24 x ^0 — 122 l°X "9 — 5 Ö 2 "x—12- Der zweite gibt rl—2^ — 0 , woraus man erhält L,— 4 - 2^. Wendet man einzeln einen jeden der beiden Werthe von in den folgenden Operationen an, so findet man die beiden folgenden Reihen, die sich nur durch die Zeichen ihrer Glieder unterscheiden: 2 ^x^-j-42— -Z-a^x — rc. —— 2 V 4 -4 a-4-^2^x 2-j-f2»x^-j-rc.. Man muß bei der Untersuchung dieser Reihen, welche fallende sind, darauf Acht haben, daß man unter den Werrbcn, die man für einen jeden der Exponenten /?, 4 , rc. findet, nur diejenigen nimmt, welche kleiner sind als der vorhergehende Exponent. Diese Ausführungen können hinreichen um zu zeigen, wie man die verschiedenen Entwickelungen einer eingewickeltcn Funktion, die durch eine algebraische Gleichung gegeben ist, finden kann. Es wird oft der Fall seyn, daß die Bestimmung eines oder mehrerer der Coeffizicntcn L, 6, rc. die Auflösung einer Gleichung erheischt, die den ersten Grad übersteigt; aber dieses Hinderniß wird keineswegs die Methode hemmen, weil die aufzulösende Gleichung nur konstante Größen enthalten wird: man wird also in den einzelnen Anwendungen den Zahlwerth des gesuchten Coeffizientcn wenigstens annäherungsweise erhalten können, und in dem allgemeinen Falle fahre man fort zu operircn mit dem Buchstaben, der ihn vorstellt, wie mit einer bekannten Größe. Wenn man die Gleichung hätte 2ai -j- x? — 2 ^— — ^6^: 0, so würde, wenn man darin X sehr klein annnumt, der Eoeffi- zient ^ durch die Gleichung gegeben seyn 2a- —sA?-— In diesem Beispiele hat die aufzulöscnde Gleichung, da sie von einem ungeraden Grade ist, wenigstens eine reelle Wurzel; das erste Glied der gesuchten Entwickelung wird sich also auch unter einer reellen Form darstellcn; wäre man aber zu einer Gleichung von einem geraden Grade gelangt, entweder im Ansange, oder im Verlaufe der Entwickelung, so müßte man sich zuerst vergewissern, ob diese Gleichung reelle Wurzeln habe oder nicht, um zu erkennen, ob diese Entwickelung reell oder imaginär ist. Diese Vorsicht ist von Bedeutung, und v. Gua ist, weil er sie vernachläßigt hat, in einen großen Jrrthum gefallen. Sie zeigt, mit welcher Umsicht man die Reihen behandeln muß, und wie wenig man auf die Schlußfolgcn rechnen kann, die man daraus zieht, wenn das Gesetz, welches ihre Glieder befolgen, nicht klar ist, weil man immer befürchten muß, daß sie in dem nicht berechneten Theile der Reihe die Form verändern, und dort gar imaginär werden. Die obige Methode kann in gewissen Rücksichten unvollkommen erscheinen, weil man dabei in keine Untersuchung über die Anzahl der Entwickelungen cingeht, die man aus einer Gleichung , ihrem Grade gemäß herlciten kann, und über die Fälle, in welchen diese Entwickelungen imaginäre Glieder bekommen können; aber diese Untersuchung würde wenig Interesse haben, weil man selten die Methode, um welche es sich handelt, an- wendet; 'übrigens kann man das VHIte Kapitel der Iiitrockuotioii ä l'K-ial)xo ckas Ugiie« ooinbes von Cramer in Berathung ziehen, welches auf den Weg dieser Untersuchungen führt. §. 66 . Dieselbe Methode liefert auch die Entwickelung von ^ in der Form eines Kettenbruches; denn, wenn man das erste Glied Lx" gefunden hat, konnte man setzen wo / eine sehr kleine Größe ist, weil nach der Annahme das Glied ^.x" den größten Theil des Werthcs von ^ ausmacht. Nachdem man diesen Ansdruck statt in die vorgegebene Gleichung substituirt, und die Nenner weggeschafft hat, erhält man eine erste umgeformte Gleichung in x und /, in welcher man mit Lx? vertausche, und darauf /Z und L nach der über den Grad der Größe von x festgesetzten Annahme bestimme. 118 Man mache nun / — in der ersten umgcformten, und man erhält eine zweite in x und in welche man (lx^ statt setze. Nachdem man / und (s bestimmt hat, wie gewöhn- lich, setze man ^^77,, welches eine dritte umgcformte liefern wird, mit welcher man verfahre wie mit den vorhergehenden. Geht man von den Werthen von /, tt. zu dem von v zurück, so findet man _ 1-f-Lx^ I^Ox^ 1 —s- :e» Man steht, daß man hier zwei Arten von Entwicklungen von dieser Form haben muß: die einen, aufsteigende, d. h. solche, in welchen die Exponenten der Potenzen von x beständig zunehmen, konvcxgiren gegen den Werth der Funklion wenn x sehr klein ist; die andern dagegen, welche absteigende sind, weil die Exponenten von x dem Fortgange des Bruches gemäß abnehmen, konvergiren nur in dem Falle, wenn x einen sehr großen Werth hat. Ich überlasse es den mit der Theorie der Kettenbrüche vertrauten Lesern, sich an einigen Beispielen zu üben: meine Absicht in diesem Augenblicke ist nur, ,cine interessante Anwendung blos anzudeutcn, auf welche ich mit größerer Ausführlichkeit im zweiten Bande dieses Werkes zurückkommen werde, weil sie ein sehr zierliches Mittel darbietct, um die annähernden und manchmal die genauen Wcrthe von Funktionen zu finden, welche durch eine Gattung von Gleichungen gegeben sind, die schwieriger aufzulösen sind, als die rein algebraischen, — ein Mittel, welches man, so wie alles vorhergehende, Lagrange verdankt. — tlt) — Auflösung mehrerer Arten von Gleichungen durch die Sinustafeln. h. 67. Die Formeln deS H. 48. liefern ein leichtes Mittel, durch die Sinustafeln alle Wurzeln zweigliedriger Gleichungen zu finden. Da diese Gleichungen enthalten sind in der allgemeinen Form 0 , welche sich verwandelt in »"( 7 ^ 1 ), wenn man darin x —37 macht, so reicht es hin die folgende: zu betrachten, und diese kommt zurück auf 1. Der Ausdruck 7 — cos 2-j-ch"^i »in 2 leistet dieser Gleichung durch eine sehr einfache Bestimmung des Bogens - Genüge; denn man hat 7-» —(cos 2 -s-ch""—1 «>» 2)» — cos 02 -f- sin 112 ; und da, wenn man mit ir die halbe Peripherie, und mit m irgend eine beliebige ganze Zahl bezeichnet, sin mir —0, cos inir —II11, je nachdem -u eine gerade oder ungerade Zahl ist, so braucht man blos n2 —M7r anzunehmen, und 7 "—chulzu erhalten. Um den Fall, wo in gerade ist, deutlicher zu unterscheiden von dem, wo es ungerade ist, schreibt man für den ersten Fall 2,n statt in, und für den zweiten 2ni-j-1; man mache also nr —2ll,7r und N2 ^-(2in-j-1) Bei der ersten Annahme kommt 2lN7r , _- . 2lN7r , , V —cos-- -j- 7—1 SIN-und 7 —-w 1; ^ n n bei der zweiten (2>n-j-1)n -- (2in-s-1)?r , . 7 —cos- --——isin-- und 7" —— 1. Vermittelst der unbestimmten Zahl in liefert jeder der Ausdrücke von 7 alle die Werthe, deren diese Größe fähig ist; denn man kann nacheinander nehmen IN^-O, IN^I, IN —2, IN-7-3, rc. Die erste Formel gibt 120 ^ —cos Oii—1, 271 . 271 V —cos-t- !- —i sui - ii n 4?i -- 4ir -cos-j- / —1 sui — rc. und es ist ersichtlich, daß man immer verschiedene Resultate finden wird, bis man aus m—n— 1 gekommen ist; denn nimmt man m —ii, so hat man ^ —cos2?i—1, und man verfallt auf den ersten der schon erhaltenen Werthe; ferner, wenn man in —n-j -1 nimmt, so kommt 2n : cos-, II . , , . 271 : 81» I 271 -j-—SUI-, II X n / II (2n-s-2)7i cos --^— cos sin (2»4-2> (2n i»^27i-j- —^ —> 2nX n / welches auf den zweiten Werth zurückführt, rc. Der zweite allgemeine Ausdruck von x", zu der Gleichung -"-s-1 —0 gehörend, gibt eben so nur verschiedene Werthe von in—0 bis zu ni — n — 1 einschließlich, weil wenn man in —n nimmt, so kommt (2n-i-1)71 cos -cos : cos —, - (2>I-j-1)71 . , 71^ .71 8IU -- — Km t 2/1 -l-I — SIN — . II X ' n/ II §. 68 . Man findet durch dieses Verfahren nicht allein genau die ii Wurzeln der Gleichung v^rprl^- 0 , sondern man erkennt sogar, init ein wenig Aufmerksamkeit, daß diese Wurzeln paarweise geordnet werden können, wenn man diejenigen vereinigt, die nur durch das Zeichen der Wurzelgröße verschieden sind. Denn, da cos (2/i—p) —cos p und sin(27i—-siux, so folgt daraus, daß (ri-fig)?r -- (u-fiq)/! (»— 0)71 — cos -22—l- / —1 sin 1 -—^ cos ^-22— 11 » 11 — - (n—4)71 — 4^—1 8ui ^-22, . 11 NUN ist aber leicht zu sehen, daß die Zahlen ri-j-^ und u—g beide zugleich entweder gerade oder ungerade sind: man kann als» in den Ausdrücken von die oben angeführt sind, sich auf die Vielfachen von beschränken, welche n?r nicht übersteigen, wenn inan nur die Wurzelgröße i abwechselnd positiv und negativ nimmt; und sie werden also 2in/r , -_ . 2m?r V — cos- -ck- / —1 SIN-, ^ n —' n Wenn n gerade ist, so müssen die Wcrthe von m in der ersten alle Zahlen sepn von 0 bis zu ^ einschließlich, und blos bis zu in der zweiten; und wenn n ungerade ist, so müssen beide bis zu ausgedehnt werden. Die beiden Werthe, welche enthalten sind in der Formel geben zu Faktoren des ersten Grades der Größe—1 die beiden imaginären Ausdrücke und wenn man sie multiplizirt, so erhalt man den Ausdruck welcher alle reelle Faktoren des zweiten Grades umfaßt. Man findet eben so, daß die Faktoren des zweiten Grades der Größe ^-s-1 sind Als Beispiel zu der Formel folgt hier die Tabelle der Faktoren des ersten Grades, welche in der Funktion 7 «—1 enthalten sind: 2ni7r 2 mir 11 -1 sin-- n 2ni7r §. 69 122 / 2 /r ^-. . 2 »X / 471 4 ?rX ^ —^os-^ ^7^1 sin^, ^- 7 - 1 . Die Formel 2 m 7 r — 2 ^ cos-t- 1 gibt die Faktoren des zweiten Grades 2 i-l-i 271 7^ — 2)7 cos — -s- 1 ^2 o^ -j- 1 Der erste und letzte der Faktoren des zweiten Grades find die Quadrate der Faktoren des ersten Grades 7—1 und 7-71, welche nur einmal in der vorgegebenen Funktion Vorkommen; man muß also, wenn man die Faktoren des zweiten Grades gebraucht, den ersten und letzten vertauschen mit (7—i)() 7 -j-i) oder mit 7^—1 Man hat für die Funktion 7*— 1 die Faktoren des ersten Grades 271 , -- cos — ^ 7 —j zu, / -. 4 ?rX 7- ^co8-^- 7—1 81» — ^ Die des zweiten Grades sind 27-i-i, 2er , 2/cos —-s-1, 4 /r aber man muß noch bemerken, daß der erste Faktor des zweiten Grades das Quadrat des Faktors 7—1 ist, welcher nur einmal in der vorgegebenen Funktion vorkommt. Durch die Formel (2m-i-i)7r , . (2m-s-l)7i 7 cos ----7 —1 81» 123 sind die Faktoren des ersten Grades von z^-st-i (cv8 ^ ^ 1 sill ^ s2mst-1)^- ...... und die Formel 7'— 27 cos —--i -1 fuhrt zu —2^cos- -pl, Z?r 7'— 27 cos-^-st- 1, 7^ "f" 27 -st- 1. Die Funktion 7° -f -1 hat zu Faktoren des ersten Grades Man findet in den obigen Ausdrücken der Werthe von 7 die Eigcnthümlichkeit wieder, welche die imaginären Wurzeln der Einheit besitzen, nämlich daß sie sich alle wieder erzeugen durch die Erhebung einer einzigen auf ihre verschiedenen Potenzen. (clomxlem. äes Llem. ä' ä.IZ.) Man hat nämlich, nach tz. 48. und der Ausdruck cos wird nacheinander 7— ^cv 8 ^ 4 i,st^—i8iu-^-^, oder 7st-^—1, st- — 1 8ÜI und zu Faktoren des zweiten 27008— ->-l st-i, oder 7^-st-i tz. 70. » 124 2 IN 75 II -- 2,1175 . ' §5 —.181»-eui- in jeden der einzelnen Werthe von cos gehen, da der Bogen immer nur die Summe einer gewissen Anzahl von Peripherien und von irgend einen der Bogen 0, rc. seyn kann. Dieselbe Eigcnthuinlichkeit würde sich auf eine ähnliche Weise bewahren in Bezug auf den Ausdruck cos §. 71. Da, nach dem Vorhergehenden, die Bestimmung der imaginären Wurzeln der Gleichung o von der Thcilung der Peripherie des Kreises in eine Anzahl von n gleichen Thei- lcn, oder von der Einschreibung eines regulären Polygons von » Seiten abhängt, so folgt hieraus, daß man diese Wurzeln genau erhalten kann in allen den Fällen, wenn der Exponent n in einer der drei Progressionen ^-2:4:8:16:rc., ^-3:6:12:24:rc., -^-5:10:20:40:rc. enthalten ist, denn alsdann kann man mit Lineal und Zirkel konstruiren, oder blos mit den Quadraten der Wurzelgrößen berechnen die Sinus und Cosinus der Bogen —, —, rc., , rc. ^ n II n n Umgekehrt kann man in allen Fällen, wo man durch Gleichungen des zweiten Grades die imaginären Wurzeln der Gleichung —o zu finden weiß, hieraus die geometrische Konstruktion der Thcilung der Peripherie des Kreises in n gleiche Theile herlciten; und die sehr schöne von Gauß entdeckte Theorie der zweigliedrigen Gleichungen zeigt, daß wenn der Exponent n eine der Primzahlen ist, welche in der Formel 2v-j-i enthalten sind, diese Gleichungen zurückkommen auf eine Cvmbination von Gleichungen des zweiten Grades, welches für's Erste den Fall liefert wo n —17, der keineswegs durch die Elementargeometrie hätte erkannt werden können, wenn schon er ,i posteriori nach- gewicsen werden kann durch die Cosinus. (Siehe die 61. Nummer des I-iiIIölin des Koionoes der 8oc!eto IlliiloinrUicpio, und das Ute des lournal do l'Lloolo Uolztteolmiguo.) Aber ohne von den vorhergehenden Betrachtungen auszugehen kann man zeigen, daß die Kenntniß der Wurzeln der Gleichungen 125 zu der der Wurzeln der Gleichung — i — o führt, wenn die Zahlen » und n' Primzahlen unter sich sind. Zu diesem Bchufe bemerke man, daß / 2m7r ,__ 2m?rX / 2m'7r-. 2n/7iX ^-1 81» ^-^-1 - -LOS /2m7r , 2rn'7rX , -- /2m7r , 2»i'?rX und vergleiche dieses Resultat init dem Ausdrucke 2in"?r , __ 2m"?! cos-— st- i —1 81 »-, rin nn welcher die Wurzeln der Gleichung —1 —o gibt. Macht man 2in7r 2in'5r 2»i"7r n ^ n' nn' ^ so erhalt man hieraus n'in st- nin' — rn" z und gibt man in" die Werthe 0, 1, 2, 3, rc., so gelangt man nothwendig nach der Theorie der unbestimmten Gleichungen des ersten Grades (Oomplem. ckog ck'Hg.) zur Auffindung der entsprechenden ganzen Werthe für m und m': man kann . , , 2IN7I . 2in7r 2in'-r . 2rn'?r , folglich von co8—, 8IU —, co3 — 7 —, 81» — 7 — schließen auf co8 n n 2m^5r . 2n»"5r 81 N NN nn Mit Rücksicht auf die Gleichung ^'-^-1 — 0 wird die obige Rechnung / (2m-s-1)7r , ^— . (2m-s-1)^/ 5r , ^-- (2in'-s-1)7r> /(2in-s-1)7r (2in'-s-1)7rx -1-^.-.»—^-)---°°' s——) -s- 8i» ^ (2r»'st-1)^ __ (2m" st-1> -cos- . . (2m"-sti)7r st- 181 »-,-, und man hat zur Bestimmung von m und die Gleichung »'(2i«st-l) st-n(2ni'st-1) —2i»"st-1. 126 §. 72. Die Funktionen von der Form x'"—2^x"-s-g können behandelt werden, wie diejenigen, welche nur zwei Glieder enthalten. Lößt man sie auf nach Art der Gleichungen des zweiten Grades, so erhalt daraus die Werthe > 1 , welche reell sind, so lange als g übcrtrifft; und macht man nun x -s- g — 4^ -i", ll — —g— 4^ -i'i, je nach dem Zeichen dieser Größen, so kommen Funktionen von der Form x"-j-s'", zur Zerlegung in Faktoren. Wenn man hat so mache man x> — x—/?/, so kommt aber da die Bedingung oder gibt «"<-li —o, so machte man ebenfalls — cos ä; aber man müßte nehmen — 2y" cos (7r—ü) -s-1, da cos(7r- H —— cos-k. Ist dieses geschehen, so kommt cosnr—cos(7r—cl), siu iiL — si» —ä); und folglich HL —2m7k st- 7r—F—(2mst-1)7r—<1 H. 73. Obgleich Nichts cingervendet werden kann gegen den Weg, der uns zu den Formeln für die Wurzeln der Gleichungen ^712^1 1 g, —2^" cos ä-s-1 0 fuhrt, so wollen wir dennoch zur Vervollständigung dieses Gegenstandes die zierliche Methode auseinandersetzen, welche Lagrange geliefert hat, um zu denselben Formeln zu gelangen, ohne sich auf die Betrachtung der imaginären Ausdrücke zu stützen. Wenn man in der Gleichung (1.) der Seite 83 x in L verwandelt, und alle Glieder derselben mit 2 multiplizirt, so wird sie 2 cos (n.st- — 2 cos (n—1) L; (1.) nimmt man darin an 2 cos L —v st—; 5 und macht n — i, »— 2 , n—3, re. so erhält man daraus 2cos2L-^r st- 1 2cos3L —^-j- —, rc. woraus man der Analogie nach schließen kann 2cosri--^°st-^ (2.) 128 Diese letztere Gleichung bewahrheitet sich, wie die allgemeinen Formeln der Seite 84 , indem man zeigt, daß wenn sic für die Zahlen n—i und n statt findet, sie ebenfalls statt hat für die Zahl n-sii; denn macht man 1 . 1 -7, 2co«ii2—v"-i-, 2 cossii—1)2 —)i"^ so gibt die Gleichung ( 1 .) 2 cos (ii-f-l) 2 — ()1 -j- ()'" -i- ^ -i- 1 v" 4 -i ^ und da diese genau ist für die Werthe 11 — 1 , 11 — 2 , so hat sie also für den ganzen Umfang der Reihe der ganzen Zahlen statt. Nachdem dieses festgesetzt ist, können die Gleichungen 1 i 2 co »2 —zi-j—, 2 cos 112 — )i"-s— unter die Form )i 2 — 2) cos 2 -f-1 —0, )i^"—2)i" cos 112 -j- 1 — 0 gebracht werden, und in diesem Zustande haben sie für's Erste eine gemeinschaftliche Wurzel, weil, ihrer Bildung gemäß ein Werth von )i eristiren muß, der beiden zu gleicher Zeit Genüge leisten muß. Da ferner diese Gleichungen reziproke sind (1lo»i,,I. 2 — 2m7r-f- 4 so kommt . . 2 ri! 7 r-si 4 cos 112—cos a , und 2 —-!—, woraus ebenfalls hervorgeht, daß die Faktoren des zweiten Grades der Gleichung — 0)i" cos ö-si 1 — 0 begriffen sind in der Formel 2ni7r-j-4 2)1 cos-ff 1 — 0. Um daraus die der Gleichungen 129 - 7-i- t^v herzuleiten, reicht es hin 6—0 und 6—?r zu machen. Im ersten Falle hat man cos6—1, (vn—i)-; und folglich 1—.g » 2rn7r , ^ — 2^ cos ^-s-1 — 0. Im zweiten Falle hat man cosä—— 1, woraus folgt — 2 ^ cos--—j- 1—0, was mit tz. 68. übereinstimmt. tz. 74. Setzt man statt wiederum seinen Werth ^ (tz. 67.) in die Gleichungen 1 — 0 und Z'-t- 2)-^ cos 6 -s- 1 — 0, so werden sie 0 und X'^ 2 ss 2 o"x^cos6-s- 0 ; und wenn man dieselbe Substitution in ihre Faktoren des zweiten Grades macht, so erhält man für die der erstercn (tz. 68.) oder „ „ 2iii7r , , —2sxcos-s- 2 ^, O (2rn-l-1)7ü , x^ — 2ax cos --!-1- und nach tz. 72. fände man, daß die der zweiten sind X? — 2axcos 2ll17r-s-6 oder X^—2sxcos--- -4-o^. n ' Diese Ausdrücke können als gleichartig angesehen werden,. wenn man berücksichtiget, daß die Cosinus der Tafeln als einfache numerische Coeffizienten genommen werden dürfen: übrigens könnte man sie dazu machen, wenn man die Cosinus in demjenigen Kreise nähme, dessen Radius -> ist, und durch diesen Radius Re angegebenen Cosinus dividirte; aber man findet am öftesten diese Ausdrücke unter der Form, die ich ihnen hier gegeben habe. 9 .1 130 tz. 75. Die Zerlegung der Funktion x»^s» in Faktoren des zweiten Grades entspricht einer Eigenthümlichkeit des Kreises, welche unter dem Namen des Lehrsatzes von Cotes bekannt ist, weil er von diesem Geometer bekannt gemacht worden. Er besteht in Folgendem: Wenn man die Peripherie eines Kreises in 2i> gleiche Theile 2121,, 21,21^, 21,21,, rc. (Fig. 1.) theilt, und von einem PunkteO, der auf d ein Diameter 21621, liegt, zu den verschiedenen Thcilung spunk- ten gerade Linien 021, 021,, 021,, 021,, rc. zieht, so'wird das Produkt aller derjenigen, welche durch die Theilungsp unkte von einer geraden Ordnung gehen, gleich seyn 62l"— 60", wenn der Punkt 0 innerhalb des Kreises liegt, und gleich 60"—621° wenn dieser Punkt außerhalb liegt; und das Produkt aller derjenigen Linien, welche durch die Theilungspunkte von einer ungeraden Ordnung gehen, wird gleich seyn 621 -j-60. Ich werde blos den Fall beweisen, wenn der Punkt O innerhalb des Kreises liegt, weil es leicht ist, den andern auf dieselbe Weise darzuthun. Läßt man vom Punkte 21, die Senkrechte 21,? auf den Diameter 2121, herab, so hat man, wegen des rechtwinktichten Dreiecks aber 01' —6? —60, und in dem vorgegebenen Kreise ist 0? der Cosinus des Bogens 2121, und k2I, der Sinus desselben; man hat also mit Anwendung der Sinus der Tafeln, welche für den Radius gleich Eins berechnet sind, Ok-^OlVI ooslVIiVl,, N21,---621 «i» 2121,; und macht man 621 60 —X, so kommt Ok — a co« 2121,—x, IM, — s k>i,,212l,, OZl, — — 2sx cos 2121, -j- x^. Die Werthe von 021^, 021,, rc. ergeben sich aus dem vorigen, wenn man für den Bogen 2121, die Bogen 2121,, rc. setzt. Nimmt man nur die, welche geraden Thcilungspunkten entsprechen, und bezeichnet die Peripherie mit 2 /r, und hat darauf Acht, daß 2121,---^----, so kommt 2n n — 1-31 — 2M,——, AM.— — rc.: ^ Q * N ' woraus 021^ — 2sx cos — -ff x^, 021^ — a'—2sx cos —-ffx°, rc.: a a - aber die Linien 02 I 2 , 021^, rc., welche auf der einen Seite des Diameters liegen, haben ihre entsprechenden 021,, 021,, rc. welche ihnen bezüglich gleich sind, so daß man schreiben kann OAI-XOLlg statt 021°, 02I,X021g stattOL^, u. s. w. wenn die Theilungspunkte in größerer Anzahl da sind: man bemerke zugleich, daß die Linie 021 die Größe 0 — x vorstellt. Nachdem dieses festgesetzt ist, so ergibt sich aus §. 74., daß wenn n gerade ist, L->—x"—(»—x) ^2— 2/r . >/ 2sxcos-ffx? >ls esx cos- ^4-x^-c.; setzt man statt der Faktoren der zweiten Seite ihre Ausdrücke in Linien, so erhalt man g->—x" — 02l"— tlO"—OLlXOLI^XOAI^XOLIg X0l>Ig. Da die Bogen 2121,, 2121,, 2121,, rc., welche den ungeraden Theilungspunkte» entsprechen, gleich sind 2?r ?r 67k 3?r lO^r Ü7r 2a a' 2a a ' 2a a ^ so findet rnan 021^ — — 2ox cos^ -ffx^, 021, ——2ax cos ^-ff x^, rc. und OM, —a-j-x; aber da L"-ffx"—(s-ffx)^ 2 — 2 sx cos^ -ffx^(s»—2sx cos^-ffx^ rc., so kommt ^ Ö2l" X eö"— Ö2l. XÖM, X ÖÄ, X 0 Ä 7 X Ö21g . Wenn n eine gerade Zahl ist, wie in Fig. 2, so entsprechen die beiden Theile 021 und 021, des Diameters, der eine wie der andere den durch eine gerade Ziffer bezeichnten Thei- lungspunkten, und sie geben die beiden reellen Faktoren des er. sten Grades, a—-x und a-ffx, welche die Funktion 0 " — x" in diesen: Falle hat, wahrend alle Linien von ungerader Ordnungszahl blos Faktoren des zweiten Grades entsprechen, welche die einzigen reellen sind für die Funktion a» -ff x». 0 132 §. 76 . Cütes, der sehr jung starb, hinterließ den vorigen Lehrsatz unter seinen Papieren ohne Beweis. Moivre und Bernoulli fügten diesen hinzu; aber der erste gab dem Satze eine Ausdehnung, mittelst welcher er die Zerlegung des Ausdruckes a-n— 2 u"x"co 8 ck- 1 -x 2 » in relle Faktoren des zweiten Grades enthalt. Diese Erweiterung ist folgende: Anstatt den Punkt N, den Anfangspunkt der Thcilung des Kreises, in den Endpunkt des Radius NO, Fig. 1. zu setzen, nimmt man für's Erste einen Bogen KN, Fig. 3., welcher der rite Theil des Bogens ck sei, der durch KL vorgestcllt wird; alsdann theilt man die Peripherie des Kreises in ir gleiche Theile, vom Punkte 21 angcfangen, so hat man —2s"x"co8ck-f-x^"—KO —230 ><00 co8ÜXOO --^ON X6ül°xON,XÖN'xÖNj rc. Um sich von der Richtigkeit dieser Gleichung zu überzeugen, bemerke man, daß KN-----, KN,----—KN.-----^^, ir II " ir rc., und suche, wie im vorigen tz. die Werthc von OKI, ON,,rc.; man wird durch dieses Mittel dieselben Faktoren finden, welche die Formeln des H. 74. liefern würden für den Ausdruck g-« — 2s" x" cc>8 c) -j- x^". §. 77. Es gibt noch von jedem Grade bedeutende Klassen von Gleichungen, welche sich mit vieler Leichtigkeit durch die trigonometrischen Tabellen auflösen lassen; sic gehören zu denjenigen, welche eine Wurzel von der Form x^-^K-j-f^L zulassen, und deren Zerlegung angegeben ist in dem Oomplem. sses Llo'm. ck' KI.». Ihr allgemeiner Ausdruck ist x"- . sslsimss) ^-4 .>(»-4)(>>- 5)^ 1.2 1.2.3 u(n—5)(n—6)(»—7) 1.2 . 3 . 4 x"-kssu- — rc. wenn man K-j-L---s, K6---b macht. 133 Er geht in den Ausdruck von cv8nx, welcher mitgetheilt ist auf der Seite 83, ein; denn wenn man darin x in 2rco8 2 verwandelt, und darauf beide Seiten durch r« dividirt, so erhalt man die Gleichung n. —3) (2c°8-i)--— ^ (2co82)»— -I—-n" (2co82) -rc.— -; schreibt man darauf 2 statt x in die angegebene Entwickelung von co8vx, und multiplizirt sie mit 2 , so erhalt man daraus die Gleichung (2co82)"—-^(2co82)»-2 ^-^^(2cv82)»^ss-rc. — 2 cosn 2 , welche mit der vorigen einerlei scyn wird, wenn r- r» 2co8N2— . r» woraus folgt s aber da c««»? nie die Einheit übersteigen kann, so darf » nicht größer scyn als 2s^ii, oder ^>> 4 b. Sobald diese Bedingung erfüllt ist, alsdann hat man, wenn man mit ü den Bogen bezeichnet, dessen Cosinus ist, 2 n> 7 r-t-<> , 2 —- - , und X n 2,l > . co8 (^)> Dasselbe Resultat erhalt man- aus dem algebraischen Ausdrucke der Wurzel x—s^L-l-ss'ij, welche übereinstimmt mit X— ^^ b, wenn man darin statt 21 und 13 ihren Werth in » und d setzt. Bei der Annahme a2<(4b ist die Größe -b imaginär, und kann unter die Form werden: nimmt man nun an ll —1 gebracht daß 4 L --- r» co» ü und 134 r»8i«i) , so erhält man - X ä)" -j- (cos lt-—siu c))^ l -1 sin was übereinkommt mit x^2 rcos- (tz. 47.). Um r" zu bestimmen reicht es hin, die Wertste von r" cosch r»sili ä zu quadriren; man findet durch dieses Mittel Es ist zu bemerken, daß gerade wenn der Werth von x, obgleich reell, sich unter einer Form darstellt, die aus imaginären Ausdrücken zusammengesetzt ist, die trigonomerrischcn Tabellen denselben mit Leichtigkeit geben; man nimmt dieselben ebenfalls zu Hülfe für die Gleichung des dritten Grades x^ —xx^r,, wenn sie auf den irreduktibeln Fall kommt. Macht man darin X— 2 rcv 82 , so wird sie und vergleicht man mit der Formel welche aus der ersten Tabelle der Seite 83 hergcleitet ist, so hat man woraus folgt und die Bedingung, damit der Werth von cos 3- kleiner als woraus, wie oben, i —^b. tz. 78. 4 cos 2 — 3 cos 2 ^ cos 3 2 , cos 32 » die Einheit sey, ist , oder, wenn man beide Seiten quadrirt, oder endlich dieselbe, welche den irreduktibeln Fall bestimmt. In diesem Falle sind, wenn man mit 6 den Bogen bezeichnet, dessen Cosinus ist die Werthe von x Man bedient sich auch der trigonometrischen Formeln, um die Berechnung der Wurzeln in den andern Fällen des dritten Grades, und in allen Fallen die der Gleichungen des zweiten und vierten abzukürzcn; aber diese Anwendungen sind weniger ins Einzelne gehend, als die vorhergehende, welche zu gleicher Zeit alle Wurzeln gibt, und ihre Auseinandersetzung würde die Grenzen überschreiten, die ich mir habe vorschreiben müssen. Diese Grenzen gestatten mir cbcnsalls nicht, mich über die andern Formen von Gleichungen zu verbreiten, die man aus den Ausdrük- ken des Sinus, der Tangente, rc. der Vielsachen Bogen herleiten könnte, so wie auch nicht auf die Eigenthümlichkeiten des Kreises, welche diesen Gleichungen entsprechen. Beim gegenwärtigen Zustande der Wissenschaft sind diese Eigenthümlichkeiten, gerade wie die Lehrsätze von Cütcs und Moivre nur Gegenstand einer Sonderbarkeit, und es reicht hin, deren Existenz anzugeben, und ihre Stelle zu bezeichnen. 136 Ueber die Form der imaginären Funktionen. Es läßt sich leicht zeigen, daß die algebraischen Funktionen die Größen von der Form a -s- 6 i ebenfalls dieselbe Form haben (6om>>I. ckes lUc-,,,. rl'^I»dl>,-.); aber die Resultate dieser Rechnungen können mit Eleganz durch die Sinus und Cosinus ausgedrückt werden, und man leitet daraus Formeln her, welche von großem Nutzen in der Analysis sind. Wenn man den Ausdruck s -l- b j mit r (cos 2 -s- 1 8III 2) vergleicht, so findet man k>-^-rcv82, 6 — 1-811,2; addirt man dazu die Quadrate dieser Gleichungen, so kommt a- -j- 6 ? Wenn der Werth von r bekannt ist, so hat man macht man eben so »' -j- 6 ' — r' (cos 2' -j- 8,1,2') , so erhält man daraus (§. 48 .) —i)—rr'(cc>82-j-)^IHii2)(co82'-j-s^^i 81112') zirt man seine beiden Seiten mit (cos 2'—1 sir»/), so erhält man (§. 48 .) Die Funktion (s-s-bs^Qi)» wird auf der Stelle r" (cos 2-s-s^—1 8 i„ 2)1^ r"(co8 ii2-s-s^^1sii, N2), Durch die vorige Umformung führt man die trigonometrischen Linien in die Untersuchung der imaginären Wurzeln irgend einer algebraischen Gleichung ein. Anstatt für die unbekannte Größe der vorgegebenen Gleichung die Formel s 4 it>^Qi §. 79 . cos 2 r Mid siu2 — I 8,1, s 4- 6 1 r (cos 2 -s- ^—1 sin 2 ) rsicos 2'-^- ^—1 sin 2')' Der Bruch —1 ,-'(co8(2-s-2')-s-s/Qc.i 8>i> (24-2)). (cos (2—2') 4- ^"—1 sin (2—2')^ und verwandelt man darin n in -, so kommt (a-s-6 —1)" —1» (cos-—1 sill - tz. 80 . 137 ((lomplem. 3 os Llem. ä'^. 1 ^.) zu substitm'rcn, setzt man darin r(co 8 2 st-2), und also statt irgend einer Potenz der unbekannten Größe, r">(co8iri2sti )^2Ii8ii»iN2); so daß, wenn diese Gleichung vorgestellt wird durch X^st-ttX'^st- ^x'^st- ........ -j-^x-j- i^ — O, dieselbe sich verwandelt in r"co8N2-j-ttr"->cos(li—1)2st-/?ro^-co8(n—2)2 st-... .st-^r co 8 2st-i^ -t-(c" 8 w ri 2 st-c«r^^ 8 ii>(ii— 1 )/.-j-/?i.>^' 8 i»(ri — 2 ) 2 st-, .. .st- chsiil 7.) 7 ^- 0 , welche nur dadurch bewahrheitet werden kann, wenn man einzeln den reellen Theil und den imaginären Theil gleich Null setzt. Man erhält so die beiden Gleichungen r"co8N2-j-ttr»^co8(n—1)2-j-/A"^cos(n—2)x-s-.... st- ^rco82 st-^ — 0,(1.) r"8iun2st-arn^8in(ri—1)2st-^u""'8i,i(ii— 2)?.st-.... st- ^I8i!> 2 —0, ( 2 .) vermittelst welcher man die Größen r und 2 bestimmen muß. Es ist zu bemerken, daß sie sich unmittelbar aus der vorgegebenen Gleichung hcrleiten, wenn man sür irgend eine Potenz x>" sür's Erste cos >112, und dann 1112 substituirt, und in Bezug auf das letzte Glied bemerkt, daß i°cv80 —1, i-azluO —0. Man kann sie beide daraus zurück führen, daß sie nur Cosinus enthalten: zu diesem Behufe multiplizirt man für'S Erste die erste mit c »8 2, die zweite mit 8i»2; man addirt und subtrahirt die Produkte, indem man darauf Acht hat, daß co-, M2 co 8 2 sin «12 81» 2 — cos (m st 21 ) 2: man erhält r"cc> 8 (n— 1 ) 2 st-ar"^cos(n— 2 ) 2 st-cv 8 (n— 3 ) 2 st-. . . . st- rllst-^ cos 2 — 0, r^cos (nst-1)2st-«r^—^co8H2 -st-(ri— 1 ) 2st- .... st-r^cv 8 22 st- ?^co 8 2 — 0 , und man kann alsdann, durch die Formel des §. 50 . die Cosinus der Vielfachen des Bogens 2 in Potenz des Cosinus des einfachen Bogens verwandeln; hierdurch werden die zu findenden unbekannten Grüßen sein r und c «8 2. Nimmt man zu respektiven Faktoren derselben Gleichungen ( 1 .) und ( 2 .) die Größen 81112 und c „8 2, und verfährt übrigens wie oben, so könnte man diese Gleichungen in andere umformen, welche nur Sinus der vielfachen Bogen enthielten; aber sie wären unter dieser Form nicht leichter zu handhaben, als unter der ersten, weil sie denselben Grad behielten, und man kann sie kaum für andere Fälle auflösen, als für diejenigen, mit 138 welksten wir uns in dm 67 . und 72 . beschäftigt haben; aus dieses! Grunde werde ich mich nicht weiter dabei aufhalten. §. 81. Wir wollen nun die Form untersuchen, welche die loga- rithmischen Funktion, die Exponentiell - und Kreisfunktionen erhalten!, wenn sie imaginäre Größen enthalten. Es sey für's Erste logOss-b^Hi): macht man ,,, ^ : 608 2 , - — «I» 2, so kommt 3 ^k>/'—1^-r(6082^st/'11l 8 i»L), und folglich 1°8 ^ ^ log r-st log (cv8 2 isl ^Hi); es ist aber log (cv8 2 ^st s^ii1811» 2) — -st 2 ^"I 7 st 4 Z.): also log (3 ^st k> st"—1) — log r ^st 2 j/" 11 i. Da blos r, 608 2 und 8 >n 2 gegeben sind, so kann man statt deS Bogens 2 die Bogen 27 i-s- 2 , 4 /v-s- 2 ,.2171/2 nehmen, wo l eine ganze Zahl ist; so daß man für log (3/b/"—i) eine unendliche Anzahl von Wcrthen hat, welche in der Formel log 7 -st (2177-1-2) enthalten sind. Macht man k> —0, so erhalt man 7 — 3, 8,112 —0, 2 — 0 und log k —log a-st2i?r/'iii. Dieses Resultat, welches anfangs paradox erscheint, zeigt an, daß eine reelle Größe für denselben Modulus eine unendliche Anzahl von Logarithmen hat, von welchen ein einziger reell ist, derjenige nämlich, den man erhält, wenn man i —0 macht, und den wir durch die Charakteristik L. unterscheiden wollen; wir werden also schreiben 1 og 3 — 217 ! Z'— 1 . Die Gleichung -st x sl'lli — log ( 6 vs x / 8 i» x) führt unmittelbar zu derselben Schlußfolge; denn wenn man in derselben nach einander x —0, x— 2 ?r, .... x— 2 i?r macht, so gibt sie 0 — lst I, ist 27 r^"lli — log 1 , ... .stst 2 i 7 rf^ 1 li —logl, woraus man sieht, daß die Einheit eine unendliche Anzahl von imaginären Logarithmen hat; aber da » —ixa, so muß ebenfalls log s —log 1-j-log s sepn: substituirt man für log 3 den reellen Logarithmus !-> -», und setzt statt log 1 seinen allgemeinen Werth ll^ 2 in st"—1, so findet man eben so wie vorhin log 3 — lll >3 2177 Um dieses richtig zu fassen, muß man sich erinnern, daß die Natur der Logarithmen blos abhängig ist von der Gleichung 139 tog(ab)^logs-sslogli. Seht man in diese Gleichung für Inga und logb ihre allgemeinen -Werthe lll,n4^2l7r1 ^—1 und so wird die zweite Seite L.S->-1^b^2(i-s-ll) 7 rs^ 2 li nothwendig einer der Logarithmen von ad scyn, welche in der Formel log (ad) — Issskhss- 2i"?r^—t — I^a-j-I^d-f2i"7r'ss "—1 enthalten sind. Welches also auch die Logarithmen von s und von b, die man zu einander addirt, seyn mögen, ihre Summe wird immer gleich seyn einem der Logarithmen des Produktes ad. Macht man x — 180 °—?r, so hat man cosx— — 1, und setzt man (2i-s-l)?r statt 2 i,-r, so findet man log(—l)—ccki ( 2 i->-i)^—i; woraus wir ersehen, daß alle Logarithmen von — 1 imaginär sind: es wird sich eben so mit denen von —a verhalten; denn — a — ax — i und log (—a)—ld,a-s-log(—i); also log(—a)^ll,a^( 2 i-s-l)?r^^i. §. 82 . Die vorhergehenden Betrachtungen sind es, mit deren Hülfe Euler die Schwierigkeit in Bezug auf die Logarithmen negativer Zahlen *) gelößt hat, welche der Gegenstand einer weitläufigen Erörterung gewesen war zwischen Leibnitz und Johann Bernoulli. Der erste behauptete, daß diese Logarithmen imaginär waren; der zweite, daß sic reell und einerlei mit denen der positiven Zahlen wären. Mir können nicht in das Einzelne der Gründe eingehen, die von beiden Seiten vorgebracht wurden; indessen bestand einer der stärksten ss'ründe, die man für die Realität der Logarithmen negativer Zahlen vorbrachte, darin, daß man sagte, weil (—s)2 — 2 -, so muß auch log(—s)- —logs-, 2log(—a) 2 log a und log (—k>) — (-f. s) scyn. Euler's Theorie bestätigt die erste Schlußfolge, und zeigt, daß die beiden andern falsch sind. Man hat wirklich log (— s)' — 2log( — s) — 2 l,n 7 -i- 2 ( 2 l-t-i)?r/"—i; und da die Zahl 2(2i-ssi) eine gerade ist, so findet sich dieser Ausdruck enthalten in der Forme', 2l-,sifi2l"7rf/'—i, welcher alle Logarithmen von ^ vorstellt: mcvn hat also, in einem gewissen Sinne, log(—s)? —logs?. Vergleicht man die Ausdrücke 2log(—a)^2l^ch.2(2l-I-i> und 21ogg —2 lus ch, 4171^^1, so sicht man, daß der eine nie in den andern übergehen kann, weil alle Zahlen von der Form ') Ucbcr die Logarithmen negativer Zah'len s. d. Art. Logarithmus in Klügcl'S Wörterbuche. 140 4i-s-2 wesentlich verschieden sind von der Form 41; ober der allgemeine Ausdruck der Logarithmen von r>- muß alle Logarithmen umfassen, die man fände, wenn man ohne Unterschied die der Faktoren dieser Große (vorige §.) addirt: er enthalt also außer dem Doppelten eines jeden Logarithmus von -si a und —die Summe, welche man erhält, wenn man zwei der ersten oder zwei der zweiten, welche ungleich waren, zusammen addirte. Also log(——2D»4 2(i-j-i'-j-1)7rf ^'—1 und Iag -,2 — 2 4.» ist 2(1-stll)ns^Hi. Gerade in diesen letzter» Ausdrücken finden sich die Logarithmen, welche der Gleichung log(—s)- — logs^ Genüge leisten, weil 2(1-j-ll) immer irgendeine gerade Zahl bezeichnen kann. Bernoulli zog ebenfalls aus der Quadratur der Hyperbel einen andern Einwurf von großem Gewichte, den Euler bestehen ließ: aber man hat ihn seitdem widerlegt, wie wir bei der Quadratur der Curven schm werden; und obgleich D'Alembert, welcher der Meinung Bernoulli's beigetretcn, Euler's Erklärung keincsweges zulasten wollte, so hat sie doch gegenwärtig die Zustimmung der ausgezeichnetsten Analysten. Ungeachtet dessen muß man einraumen, daß die Untersuchung über die Logarithmen negativer Zahlen wahrscheinlich noch nicht von aller Dunkelheit befreit ist, zumal in dem Theile, der sich auf die Betrachtung der Curven bezieht, wegen der Schwierigkeit, das Gesetz der Stetigkeit beim Durchgänge durch das Unendliche zu beweisen; aber es wäre nichts desto weniger sehr unnütz, sich mit diesem Gegenstände ernstlich zu befassen, weil das wenige Dunkel, welches er behält keine mißliche Folge hat in Bezug auf die bedeutungsvollen Theorien der Mathematik, und auf Grundsätze dieser Wissenschaft, welche wahrhaft fruchtbar sind. Die allgemeinen Anwendungen der Logarithmen, und ihr Gebrauch bei der Zahlenrechnung setzt sie wesentlich als reell fest; die geringe Anzahl von Fällen, in welchen man imaginäre Logarithmen betrachtet, dient nur zur Bildung analoger Ausdrücke, die anderwärts gehörig bewiesen sind: ich verweise daher auf die in der Tabelle über diesen Gegenstand angeführten Schriften. §. 83. Wir haben vorhin den Ausdruck des Logarithmus der imaginären Größe s-j-ll gesucht, und zum Resultat erhalten log r-st (2l7r->-2) : kehrt man die Frage um, so sieht man, daß, wenn der Logarithmus vorgestellt wird durch mman haben wird m---logr, 141 n^2inss-2; und bezeichnet man mit s die Zahl, deren Neperscher Logarithmus die Einheit ist, so findet man r —2 — », woraus 81112 — 811111, co82 —c« 8 n; und endlich wird (c <>8 n-sin n) der Ausdruck für die gesuchte Größe seyn: diese Größe wird reell seyn, wenn n Null ist, oder irgend ein vielfaches der halben Peripherie. §. 84 . Der Ausdruck kann unter die Form j) gebracht werden, weil im Allgemeinen p-i — s-iwsi-, wie man sich dessen vergewissern kann, wenn man die Logarithmen nimmt. Setzt man statt log i) seinen Werth log i-si 2^—1, so erhält man - gm Inx r - I1L-I-(ML-!- 11 lox 1) 1 — IvA r—IIL tz(-nL-^-Nokr) — omlogr—02 (xgg (iu2-j-nlogr)-s- s^—1 8Üi(in2-j-nlogr)); und weil ö-nio^r—r«, so hat man endlich (g-sib HL (oo« (lN 2 n log l) -s- 1 81 » (!N 2 -ss n logi)), ein Resultat, welches von der Form ist Man wird sich erinnern, daß man, um diesem Resultate die völlige Allgemeinheit zu geben, die es mit sich bringt, 2 i 7 r-j-s statt 2 setzen muß. §. 85 . Gesetzt, man habe k> —o, so kommt r—s, 2 — 0, cv 82 —1 und 1 —a'"e 2 mn ^08 ( 2 iiN 7 i-j-n log a)-s- ^ 2 lli 8 iii( 2 illin-j-n log s)). Wenn » eine negative Größe wäre, so müßte man, da r immer positiv seyn muß, 2-^n nehmen, woraus co82 — — 1, und man müßte (2i-i-i)n statt 2in schreiben, wodurch man erhielte — xMg— ( 2 ^ 1 ) VN^8 ((2i-j-1) nni -j- n log a) ss- 8 Ü 1 ((2i-s-1) inn -j- n log a)). Wenn -1 und IN Null sind, so hat man , ' ^ n . , ( 4 i-si 1 )n 1 —l>, cv82LL-0, 2—90° — -, 2in-s-2 —--- 142 und 6 ' r wenn k> negativ wäre, so nähme man 2 (cv8 n log k> -j- sin 11 log b); 3/r . ^ UNd 2i7r->-2^ Dieser Ausdruck würde reell, in dem Falle, wenn man 1> —1 nähme; und wenn man n^-i und i —0 machte, so gäbe er (l^) 0,207879. ein Resultat, welches seine Sonderbarkeit wegen, begründet zu werden verdient. Zu diesem Behufe bemerke ich, daß wenn man statt 0 setzt in die Reihe u —>1 — 0-1——u^)-j-4 (0^ — 0^)— rc. (g. 33 .) so kommt log ; (-1 -s-ych-s Die in den Parenthesen enthaltene Reihe drückt den Werth des Wogens von 45° aus in einem Kreise, dessen Radius —1 ist (M. 43. und 23.); also _ - —2 7r —7r 7r ^—1 1og^-i —^ —24^— 2 ' aber da n" —so hat man 7r 7r il —- 2 ' 1.2.4 1.2.3.8 -rc. (^) Man bemerke, daß die Gleichung log/'ni —zu wel- cher wir eben gelangt sind, grbt n----—— und 2 ?r— 4logs ^-1 ^ ' Dieser Ausdruck der Peripherie des Kreises, der sich auch aus der Gleichung xs ^—1 —logscoLx-j-^"—isiux) ergibt, wenn man darin x —^ macht, und der von Johann Bernoulli auf- gesunden ist, ist nur ein abgekürztes Symbol, welches eine unendliche Reihe vorstellt, (tz. 42.) 143 §. 86. Gesetzt man habe die Kreissunktion 8l»(a4 i); so erhält man »i» (u 4 b l) — »in n ^ cos g sin (bf^—l). Um 8!»(d ^^I) und V 08 (d ^nil) zu erhalten, setze man b j/'III statt x in die Formeln des §. 41.; so erhalt man »in (d ^-t)-- - ^ , cos (d1)^ e^a> -j- <»^ Substituirt man diese Werthe, so kommt 8iu(s 4llf^—i) — l—--^8iuu 4^—i ^-^^ co8s. Man würde ebenfalls finden. _ /gd^g— r-v _ _ /gd—. co8 (->4ll i) — k---lcv8 a-r- ^—1 l---i »,i> a ; und man könnte auf dieselbe Weise zu den Ausdrücken der übrigen Kreisfunktionen, wie die Tangente, die Sekante rc. gelangen. Wenn s —2i7r4i^ —so folgt daraus 8NI s — 4.1 , CV8S —0, und 8IU (-» 4- k> /"--l) — 4 f(üb->-6-d) ; die Annahme s —i-r gibt auch co8(a4k>f^ll^) —4^(s^4-s ^), weil in diesem Falle 8i»u —o und c<,8»—4l, je nachdem i gerade oder ungerade ist: es gibt also imaginäre Bogen, deren Sinus oder Cosinus einen rellen Werth hat. Man muß indessen bemerken, daß diese! Werth mit der Natur des Kreises im Widerspruche steht; denn so lange d nicht o ist, in welchem Falle der Bogen reell wäre, übertrifft die Größe ^ (s^-j-s-v) — 4 —^— immer die Einheit, oder den Radius, was weder mit einem Sinus noch mit einem Cosinus, der im Kreise genommen ist, der Fall seyn kann. *) Man könnte noch andere bedeutende Schlußfolgen ziehen aus den Resultaten, welche wir in diesem §. erhalten haben; und wenn man die Frage, die uns dazu geführt, umkehrte, so *) Man wird in der Folge sehen, daß die Enstcnz dieser Sinus und Cosinus, welche zu imaginären Bogen gehören, sich auf die Natur der gleichseitigen Hyperbel bezieht, eine Curvc, deren Eigcnthümlich- keitcn die größte Aehnlichkeit mit denen des Kreises habe». 144 gelangte man zu dem Ausdrucke der imaginären Bogen, welche den imaginären Sinus oder Cosinus, oder vielmehr den reellen Sinus oder Cosinus, welche größer sind als der Radius, entsprechen: indessen verweise ich in Bezug auf diese Ausführungen auf die in der Tabelle angeführte Schrift Eulcr's. *) ?. 87. Die Resultate der §§. 79, 81, 83, 84 und 86 beweisen, daß alle explizite Funktionen, sie mögen nun algebraische, loga- rithmische, exponentielle oder zirkulare Funktionen seyn, sich, wenn sie imaginär sind, auf die Form zurück führen lassen. »lemoii-ss äs I'^esäemis äs Lerli», anns's 1749, p-iZss 122 st 139. A » s L tz Zu §. 3. Man theilt die algebraischen Funktionen ein in rationale und irrationale. Elftere sind solche, in welchen die veränderliche Größe mit keinem Wurzelzeichen oder gebrochenen Exponenten behaftet ist, z. B. sx^-fibx-j-c, ^; letztere dagegen solche, in welchen dieser Fall obwaltet, z. B. x^-j-sx-ss-b, 3 .s X-f-^"x2—b, A^sx^-f-bx^-f-cx-ssä. Ferner unterscheidet man bei denselben ganze und gebrochene Funktionen. Jene sind solche, in welchen die veränderliche Große weder mit einem negativen Exponenten, noch in irgend einem Nenner vorkommt, z. B. s-j-bx-f-cx^, x(.i-j-b) — cx»; diese dagegen solche, in'welchen einer der genannten Umstände, oder beide zugleich statt finden, z. B. — ax^ -ss bx— ox^ Der Leser übe sich in Aufstellung mehrerer Beispiele von ganzen rationalen, ganzen irrationalen, gebrochenen rationalen, gebrochenen irrationalen Funktionen Die ferner» Einteilungen der algebraischen Funktionen in unmittelbare und mittelbare, einförmige und mehrförmige, gerade und ungerade, gleichartige und ungleichartige, ähnliche und unähnliche u. s. w. können vorläufig übergangen werden. Ich lasse statt dessen die ersten und unentbehrlichsten Sätze über die Verwandlung der Funktionen folgen. 1. Jede ganze rationale Funktion einer veränderlichen Größe x kann unter die Form ^.-j-Lx-i-Ox^-f-vx^-f-rc. gebracht werden.- Man habe z. B. folgende Funktion von x. 6säkx^—Zsx^-ssbex—^sbäx^-f-Jabcx^ss-bä—8säcx^—ek^-f-bx-. Ordnet man sie nach den Potenzen von x, so kommt (bä—okg)-f-bLxss-(b—sbä)x-—8säox^-j-9ab cx*-f-6aäkx^—Zsx^. Setzt man nun bä—ekg—b—sbä —0, 8k>äo^:I), Sabe^lL, 6aäk—x, 0 —0, —Z-i—II, so erhält man -^st-^x-^Ex?-j-Ox?-f-blx^ss-bx^-fi6x6-f-IIx^ für die vorgegebene Funktion. 10 * 148 2. Wenn zwei oder mehrere Funktionen einer veränderlichen Größe von derselben Form mit einander multiplizirt werden, so ist das Produkt eine Funktion von derselben Form. Man habe z. B. die Funktionen L. -st Ux -st -s- vx? -s- rc. UNd a -st bx -st -st clx^ -st w. Multiplicirt man sie, und ordnet das Resultat nach den Potenzen von x, so kommt -st aUx -st sLlx? -st aDx^ -st rc. —st l)u4x -st blsx^ -st -st rc» -st 0 ^x 2 -st cLx? -st rc. -st cl^x^-st rc. Setzt man nun -4s — «, aL-stll^ —/?, s6-stk>K-st k>cl-stl>0-sta8-stsl4—F, so erhält man «-st/?x-st)>x2-st(!x2-strc., eine Funktion, die mit den beiden gegebenen, deren Produkt sie ist, dieselbe Form hat. Daß sich der Satz auch auf ein Produkt aus mehrern Faktoren, und somit auch auf jede Potenz eines ganzen Exponenten ausdehnen läßt, ergibt sich von selbst. 3. Jede gebrochene rationale Funktion einer veränderlichen Größe kann dadurch, daß man die Brüche sämmtlich auf einerlei Benennung bringt auf die Form ^4 -st Ux -stclx 2 -stOx--stLx»-st rc. « -st /ttx -st ; x2 -st aus die vom, Verfasser angegebene Form zu bringen, bemerke man Folgendes. 149 Ihre ursprüngliche Form ist: m (rn-1)(l 1 . 2.3 1 . 2.3 glL—3 ^,3 ^ zieht man aus beiden Seiten die mte Wurzel, so erhält man Werden nun beide Seiten durch s dioidirt, so kommt und wenn auf der zweiten Seice die Division durch vollzogen wird, so erhält man Setzt man nun statt - die Größe x, und erhebt beide Seiten auf die inte Potenz, so erhält man die Form des Verfassers. Um die Behauptung des Verfassers, wenn er sagt: „es folgt hieraus, daß das Verhältnis der aufeinander folgenden Glieder in vorstehender Reihe sich dem Werthe—x immer mehr nähert, und daß folglich diese Reihe, welches auch ihre ersten Glieder seyn mögen, am Schlüsse im- -j-b A*u—r bst- IssO-7'), »>(m—l)(m —2) 1.2 ^ 1 . 2.3 g331-Z^3 -j- 1)(m-2) 1 . 2.3 L oder in(m— 1 ) 1 )(-n- 2 ) 1 . 2.3 ^ k >3 ss- ic. 1.2.3 ISO mer divergirend werden muß, wenn der Werth von x die Einheit übersteigt" gehörig zu erfassen, erwäge man, daß, weil Nichts über die Zeichen der Zahlen in und x festgesetzt ist, diese als positiv angesehen werden, und wenn also das Verhältnis; der aufeinander folgenden Glieder sich dem Wcrthe —x immer mehr nähert, so heißt dieses: es erfolgt im Verlaufe der Reihe endlich ein Zeichenwcch- sel, so daß, wenn die ersten Glieder bis zu einer gewissen Grenze sämmtlich positiv waren, sie endlich negativ werden, und hieraus ergibt sich von selbst, daß die Reihe am Schluffe divergirend werden muß. — Zu noch größerer Deutlichkeit empfehle ich dem Leser die Aufstellung einiger Zahlcnbeispiele des Falles, in welchen x die Einheit übersteigt. Zu §.7. Unter der Grenze (iimits) einer convergircnden geometrischen Reihe die ohne. Ende sortläuft, (und von solchen ist hier nur die Rede, so wie auch der Begriff, wie aus seiner Erläuterung sogleich erhellen wird, nur auf solche anwendbar ist) versteht man diejenige Größe, zu welcher die Summe der Glieder fortwährend heranstrebt, je mehr Glieder man nimmt, welche sie aber dennoch nie vollkommen erreicht. Bezeichnet man nämlich das erste Glied einer geometrischen Reihe mit den Quotienten mit g, die Anzahl der Glieder mit n, so ist der eyie Ausdruck für die Summe der Glieder, letztere durch 5 vorgcstellt a(g»—1) Gesetzt nun, g wäre ein echter Bruch, den ich durch - vorstelle, so verwandelt sich die obige Formel in -sx- ^ V ll""' 1 x x-1 Je größer nun die Zahl n wird, (und bei unendlichen Reihen ist sie unendlich groß) desto kleiner wird der Bruch indem sein Zähler konstant ist, desto mehr nähert sich also auch der Werth von 8 der Große ohne sie jedoch je vollständig zu erreichen. Diese letztere heißt die Grenze der vorliegenden Reihe. 151 Man erhält also die Grenze einer Reihe, wenn man daS erste Glied mit dem reziproken *) Werthe des Quotienten multiplizirt, und dieses Produkt durch den um die Einheit v er minderten reziproken Werth des Quotienten dividirt. Demnach ist die Grenze der Reihe Es wird kaum nöthig seyn, zur Entscheidung der Frage über die Zulässigkeit oder Unzulässikeit des Begriffs der Grenze Beispiele aus der Analysis vorweg zu nehmen. Schon die gemeine Arithmetik bietet deren eine ganze Gattung dar in den periodischen Dczimalbrüchen. Bekanntlich hat jeder periodische Dezimalbruch einen vollkommnen genauen Werth. Zerlegt man aber erstcre in eine geometrische Reihe, und sucht ihre Summe, so wird man, so viele Glieder man auch nimmt, dennoch nie *) Unter dem reziproken Werthe irgend einer Größe n versteht ma» den Quotienten-. m ff- 1 welches nach vollzogener Division gibt Eben so wird die Grenze der Reihe. N ff- Nxff-Nx.x ff- rc. Zu tz.10. zu einem Werthe gelangen, der dem anderweitig bekannten genauen Wcrthe gleich käme, es sey denn, daß man eine gewisse, immcrkleiner und kleiner werdende Größe außer Ackt ließe. Es geht hieraus hervor, daß für die betreffende Untersuchung jene genannte kleine Größe nicht allein als Null angesehen werden kann, sondern als Null angesehen werden muß, wenn schon sie absolute nie Null wird. Der bekannte genaue Werth des Dezimalbruchs ist also die Grenze jener unendlichen Reihe. Ich nehme zur Erläuterung ein Beispiel. Der periodische Dezimalbruch 0,373737 .. liefert die Quotientenreihe , 37 ( ^ -j- ' st-*- 1-. V X100 10000 1000000 ' ...... Bekanntlich ist der Summenausdruck für eine geometrische Reihe, wenn man ihn selbst mit 8, das erste Glied der Reihe mit s, den Quotienten mit g und die Anzahl der Glieder mit ir bezeichnet, 1 ) g— 1 Wendet man ihn an auf die in der Parenthese enthaltene Reihe, so kommt looVvioo/ i ioo ( 100 ) oo>/ 1 100 1 100 ( 100 )", OS 100 Nur durch das Außerachtlassen der Größe dst mit der Zunahme von n immer kleiner wird, und kleiner werden kann, als jede gegebene noch so kleine Grö ßc, erhalt man denjenigen Werth, nämlich der für die Reihe in der obigen Parenthese substituirt den dem periodischen Dezimalbruche 0,373737 .entsprechenden genauen Werth ^ liefert. Wenn schon also die Reihe 0,373737.den Werth 3? — absolute nie erreicht, so ist doch, wie aus der vorigen Dar- 153 stellung zur Genüge erhellet, die Bedeutung des Bruches — als G renze gehörig gerechtfertigt. — Was das Verhältniß verschwindender Größe betrifft, so läßt sich auf geometrischem Wege entscheidend darthun, daß dieses der Grenze fähig ist. Ich wähle als Beispiel das von Lacroix in seinem Oraitö oloinontairo <1u Oaleul clilloroiitial el ein Osloul iittogra!, tz. 61., zum Belege derselben Behauptung genommene. Bekanntlich ist jede Funktion einer einzigen veränderlichen Größe durch die Ordinate einer Curve vorstellbar, in welcher die Abzisse als die veränderliche Große selbst angesehen werden darf. Es sey nun (Fig. 4.) 01) irgend eine Curve, die Abszis- senare, 600 eine willkührliche Sekante, O der Durchschnitts- Punkt derselben mit der Abszisscnaxe, 1? und O ihre Durchschnittspunkte mit der Eurve, 011 und 01 die senkrechten Ordinalen der Punkte 0 und O. Zieht man aus 0 die 00, parallel mit 01, so sind die Dreiecke OHO und OOO ähnlich, und folglich verhalt sich also 014:140^00:00 11 Ol 04^ OZ' " OO' Da nun 00 und OO die respektiven Zunahmen der Abszisse und Ordinate für den Punkt O bezeichnen, so sagt die obige Gleichung, daß das Verhälrniß dieser Zunahmen dem Verhältnisse der Linie 014 zu der Ordinate gleich ist. Gesetzt nun, der Punkt O näherte sich unaufhörlich dem Punkte O, so nähert sich der Punkt O offenbar immer mehr dem Punkte O. Kommt endlich der Punkt O in O an, so befindet sich der Punkt O in II, wenn nämlich OO eine Tangente der Eurve in O ist. Die beiderseitigen Zunahmen der Abszisse und Ordinate sind nun absolute Null geworden; ihr Verhältnis aber ist offenbar dem Verhältnisse d. i. dem Verhältnisse der Subtangcnte zur Ordinate gleich geworden, und also keineswegs mit den Zunahmen selbst verschwunden. Zu §. 14. Der in die Differential-Rechnung eintretende Anfänger möge ja die Bemerkung des Verfassers gehörig in's Auge fassen, wenn er sagt, daß das unendlich Große und unendlich Kleine nie auf eine absolute Weise betrachtet vorkommt, sondern daß cs sich, da wo es vorkommt, immer um Verhältnisse handelt, welche zu gewissen angebbaren Grenzen hinstreben. Mit Rücksicht auf diese Bemerkung läßt es sich leicht anschaulich machen, daß die Eintheilung des unendlich Großen sowohl als des unendlich Kleinen in mehrere Ordnungen oder Grade ohne alles Bedenken zulässig ist. Auf rechnende Weise ergibt sich dieses schon aus der einfachen Proportion Gesetzt nämlich, a bedeute hier irgend eine Zahl etwa 1, l> sey eine unendlich große Zahl, deren bekanntes Symbol ist, so ist das Verhältnis; n: b dem Verhältnisse 1: 20 gleich. Behandelt inan die beiden Glieder des Verhältnisses i: w, der Leichtigkeit der Vorstellung wegen als endliche Größen, und nimmt den Satz zu Hülfe, daß ein Vcrhältniß durch Multiplikation seiner Glieder mit derselben Größe nicht geändert, so ist offenbar 1 : in — 02 Diese Proportion Aber sagt mit Bestimmtheit aus, daß wenn L in Beziehung auf «2 verschwindet, so muß auch n in Beziehung auf ^ verschwinden. Die Größe -»2 kann also als eine unendliche große der zweiten Ordnung angesehen werden. Auf dieselbe Weise ergeben sich die höhern Ordnungen des unendlich Großen. Umgekehrt, gesetzt k> bedeute eine unendlich kleine Zahl, deren Symbol, wie bekannt, ist, so geht das Vcrhältniß »:b in 1:—über, und mit Hinzuziehung desselben Satzes folgt 1- 1 ^. 1.1 'so" LO ' LO r ' Und diese Proportion sagt eben so deutlich aus, daß, wenn ^rn Beziehung auf 1 verschwindet, so verschwindet auch 1 . . 1 1 H ln Beziehung auf —. Die Größe — kann also als unendlich kleine Größe der zweiten Ordnung betrachtet werden. Und so ergeben sich nun auch die unendlich kleinen Größen der folgenden Ordnungen. Auf geometrischem Wege läßt sich die Zulässigkeit der verschiedenen Grade des Unendlichen noch anschaulicher Nachweisen. Es sey !>,»!, ein Halbkreis, all ein unendlich kleiner Bogen, so ist der Sinus äk ein unendlich Kleines der ersten Ordnung, der Sinusversus sk ein unendliches Kleines der zweiten Ordnung, und die Differenz zwischen Sinus und Tangente ein un- endlich Kleines der dritten Ordnung. Denn nach einem bekannten Satze hat man a5: 56^: 65: 5b. Verschwindet nun 65 in Bezug auf 5b, (und dieses ist offenbar der Fall, indem die Sinus, so wie auch die Tangente sehr kleiner Bogen mit diesen für übereinstimmend gehalten werden dürfen), so verschwindet auch ->5 in Bezug auf 5ä. Es ist also kä ein unendlich Kleines der zweiten Ordnung. Da ferner Ab: b6 — 65: 5e, <15 aber in Bezug auf 5o eben sowohl wie auf 5b verschwindet, so verschwindet xb ebenfalls in Bezug auf b6, und weil b6 ein unendlich Kleines von der zweiren Ordnung ist, so muß folglich gb als unendlich Kleines der dritten Ordnung angesehen werden. Zu §. 15. Den Grund für die Herleitung der Gleichungen H?—La" -ff Ha' HI! La"' -ff La" HL---Oa" -f-La'". rc. und der daraus folgenden Werthe H —Ha" a" ^ L(H—a") L(H--a'") rc. liefert folgender Satz aus der Funktionenlchre: Wenn eine Funktion von der Form H -ff Lx -ff Lx? -ff Ox? -ff -ff rc., in welcher die Coefsizienten H, L, 6, O, L, rc. von x ganz unabhängige Größen sind, für jeden beliebigen Werth von x, also auch für x —o, immer gleich o bleibt, so müssen die beständigen Coefsizienten H, L, 6, rc. alle gleich Null seyn. Beweis. Man setze x —0, so reduzirt sich die Funktion auf ihr erstes Glied, und man erhalt also H—o. Mit Weg» lassung von -4 bleibt mithin 156 Lx -s- 6x- -> rix» -j- Lx« st- rc. --- o, Dividirt man beide Seiten durch x, so kommt L st- 6x -j- O x? -s- 6x» st- rc. — 0. Setzt man hierin abermals x—o, so erhält man L^o. Mit Weglassung von L bleibt also 6x st- Ox? -s- Lx» st- rc. — o. oder 6 st-Dx st-Lx^ st-rc. 0 » Setzt man wiederum x —o, so folgt O — o, rc. Die Richtigkeit des Satzes ergibt sich auch auf folgende Weise. Man nehme eine bestimmte Anzahl von Gliedern, etwa 74st-Lxst-6x-st-Ox», und setze hierin für x so viele Wcrthe als zur Bestimmung der Coefsizienten 4, L, 6, L> nüthig, etwax^l, x —2, x —3, x —4, so erhält man die 4 Gleichungen Lst- 6st- ^4 st-2L st- 46-j— 6D-H^0 74st3Lst- 96st27v —0 74ss-4Lst-166st-64lI1^0, woraus sich durch Ausführung der Rechnung 74 — 0, L —0, 6 — 0 , O — 0 ergibt. Und auf diese Art läßt sich für jede beliebige Anzahl von Gliedern die Nichtigkeit der Behauptung herlciten. — Um nun vermittelst dieses Satzes die oben angeführten Resultate zu erhalten, bringe man sämmtliche Glieder der Gleichung 74p>"2'-j-Lxn^l -j-6xrn-?r6ss , _ -s-74x»--a j ^-l-Lj>n-2a" j ^st6x---»^st ^ ^ " 74p»-->-74sti-H"'x ->- 74 Lp^-^r -j-v46x-°^»x» st-rc. auf eine Seite. Man erhält alsdann 74g'"s'> -j-Lxm-ia'U -s-6x-^g". —74p»> j st-,stp'"^6' > xst-Ist-n- 2 ./st x^st-6x^^s"" > x»st'.c.—0 —^ —74Lx-»^ ! —^,6^-"^» ' Da nun diese Funktion für jeden beliebigen Werth von x gleich Null seyn soll, so müssen die beständigen Coefsizienten gleich Null seyn. Setzt man sie einzeln gleich Null, so erhält man die obigen Gleichungen, und aus diesen die 'Wcrthe der Coefsizienten 74, L, 6, I), rc. 157 Zu tz. 18. Wenn man zur Entwickelung irgend einer Funktion einer veränderlichen Größe nach den Potenzen dieser letztem, die Sup, Position macht, daß man die Funktion irgend einer Folge dieser Potenzen, z. B. /1.ff-8x ff-6x-ff-vx-ff-Lx»ff-rc. oder ^-f-Dxffff-Lxffff-vxH-ff-I'lxff-ff-rc. oder ff-Dx ff- 6x^ ff- Ox^ ff- Illx? ff-rc. gleich setzt, indem man die Wahl darunter nach den vorhandenen Bestimmungsgründen (und diese betreffen nur das Vorhanden- seyn oder Nichtvorhandcnseyn der veränderlichen Größe im ersten Glied:, und das Gesetz der Aufeinanderfolge der Exponenten) trifft, und alsdann nach dem im Zusatze zu tz. 15. mitgethcilten Satze die Coeffizicntcn ^1, L, L, O, L, rc. ermittelt, so werden, wenn man die Folge der Erponenten falsch genommen hat, Widersprüche bei der Bestimmung dieser Coefsizientcn entstehen. Was das Vorhandenseyn der veränderlichen Größe im ersten Gliede betrifft, so läßt sich dieses leicht erkennen, wenn man in der Funktion selbst und in der dafür angenommenen Reihe die veränderliche Größe gleich Null setzt. Reduzirt sich dann die Funktion auf Null, so muß die veränderliche Größe auch im ersten Gliede der angenommenen Reihe Vorkommen; im Gegenteile, wenn sie sich auf irgend eine konstante Größe reduzirt, so darf das erste Glied der angenommenen Reihe die veränderliche Größe nicht enthalten. Zu §. 21. Man nennt Methode der unbestimmten Koeffizienten die Art der Entrbickelung irgend einer Funktion in eine Reihe nach Potenzen der veränderlichen Größe, wenn man die vorgegebene Funktion irgend einer schicklich gewählten Folge dieser Potenzen, z. B. ^.ff- Dx ff- Lx^ ff- Ox3 ff- re. gleich setzt, und die noch unbestimmten Koeffizienten L, 6, die als Größen angesehen werden müssen, welche von der veränderlichen Größe x gänzlich unabhängig sind, zu ermitteln sucht. — Eine Anwendung dieser Methode liefert der Zusatz zu tz. 59. Zu H. 27. Um die Logarithmen aller Zahlen, welche nach einem gegebenen Systeme bekannt sind, wie dieses z. W. mit den Wriggi- 158 scheu der Fall ist, welche in mehreren Tafeln zusammengestellt sind) für ein anderes System, d. h. für irgend eine andere Basis zu finden, bemerke man Folgendes: Es sey « der Briggische Logarithmus irgend einer Zahl s, so hat man io" — Es sei ferner der Logarithmus derselben Zahl a nach irgend einem andern Systeme, dessen Basis etwa 9 wäre, x so ist ebenfalls. mithin 10 "- 9 *. Nimmt man beiderseits die Logarithmen nach dem bekannten Wriggischen Systeme, so kommt «log 10 —X log 9; also _«.log 10 log 9 ' 1og9 ' -Da aber in jedem Systeme der Logarithmus der Basis 1 ist, so rcduzirt sich der Werth von x auf 1 1 Die Größe:—- ist es nun, welche den Namen Modulus bekommt, und sie ist also diejenige Größe, womit die Logarithmen der Zahlen eines bekannten Systems multiplizirt werden müssen, um die Logarithmen derselben Zahlen für eine andere Basis zu erhalten. Ihr Zahlwerth in Worte eingekleidet heißt: das Reziproke des Logarithmus der neuen Basis nach dem alten Systeme. Zu tz. 30. Die Behauptung des Verfassers, wenn er sagt: „eine sehr wichtige Schlußfolge bietet sich hier dar, daß nämlich jede Reihe, deren Glieder schneller abnehmen, als die der Reihe noth wendig eine Grenze haben müsse" befremdet auf den ersten Blick, da fast unmittelbar vorher von ihm nachge- wiescn worden ist, daß die Reihe. Ist-^st-stst'stst-stst-rc., 159 — deren Glieder wirklich schneller abzunchmen scheinen, dennoch keiner Grenze fähig ist. Da sich indessen gegen seine Begründung beider Behauptungen nichts einwcnden laßt, fo bemerke ich zur Lösung dieses scheinbaren Paradoxon Folgendes: Die Reihe 1 st-st st-st st-st st- V st-rc. hat zum nten Gliede offenbar i —i und also zum darauf folgenden (ust-i)ten 1 2 nst-l' Der Errponent des Verhältnisses zweier aufeinander folgenden Glieder ist mithin 1 1 . 2nst-1 2^1'2^ 2si^I' da aber dieser Ausdruck, je größer als n wird, sich der Einheit immer mehr nähert, und dieses keinen andern Sinn hat, als: je weiter die Reihe sortschreitet, desto mehr nähern sich die Glieder der Gleichheit, so folgt hieraus, daß die Reihe nicht konvergent seyn und also auch keiner Grenze fähig seyn kann. Eine ganz ähnliche Betrachtung zeigt die Nichtkonvergenz der Reihe ist-stst-stst-stst-stst-rc. Zwei aufeinander folgende Glieder derselben sind offenbar von der Form der Exponent ihres Verhältnisses ist also nst-i und dieser Ausdruck nähert sich ebenfalls, je großer n wird immer mehr der Einheit. Wenn schon also die Glieder der Reihe 1 st-st-j-st st-st st- st-st-rc. wirklich schneller abzunehmcn scheinen als die der Reihe i st- st -j- st st- st st- st st- re. so ist dieses in Bezug auf den Begriff der Grenze nicht der Fall, da sich, wenn man sie als unendlich fortlaufende Reihen betrachtet, der Exponent des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Glieder in beiden Reihen der Einheit immer mehr nähert, 160 und sie müssen also beide als gleich divergent angesehen werden. Um trigonometrische Formeln, die für den Radius 1 aus- gedrückt sind, für den Radius r umzuwandeln, muß die Dimension auf beiden Seiten der Formel hcrgestellt werden, oder die Formel muß, wie der Verfasser sagt, homogen gemacht werden. , Was man unter Dimension einer Formel überhaupt versteht, und wie dieselbe hcrgestellt wird, muß dem mit der Trigonometrie Vertrauten bekannt seyn. Ich füge hier indessen eine allgemeine Regel in Bezug auf die Formeln der Trigonometrie bei, die. theils ihrer Kürze wegen zu beachten ist, theils deswegen, weil sie bei verwickelten trigonometrischen Formeln die Untersuchung der Dimension beider Seiten überflüssig macht. Sie heißt: man setze für jede in der Formet vorkommende trigonometrische Linie den Quotienten aus dem Radius in die trigonometrische Linie, also für -in« setze man für rZ«, rc. Um ein Beispiel für die Nichtigkeit der Reihe für den Sinus am Schlüsse dieses H. zu geben, will ich den Werth des sin Z0°, welcher für den Radius 1 den Werth hat, darnach berechnen. Bezeichnet man die Glieder der Reihe mit einfachen Buchstaben, so hat man sinx — X — -j- 2 — t-f-u— rc. Man suche nun den linearen Zahlwerth des Bogens x —30°. Dieser ist mit io Dezimalstellen sein Quadrat also, welches man am füglichstcn durch die bekannte abgekürzte Multiplikation finden kann (wenn man nicht sehr Zu tz. 37. Anmerk. Zu §. 39. wo also 1.2.3 1.2.3.4.L t 1.2.3.4.5.0.7 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8.9 8.9 0,5235987756 101 — genaue Logarithmentafeln zur Hand hat) wobei die zehnte Dezimalstelle noch vollkommen zuverlässig ist, wird sein 0,2741556778. Die Werthe von r, n ergeben sich nun am kürzesten auf folgende Weise. Man bilde die sämmtlichen Bielfachen von X* bis zum Neunfachen einschließlich- Diese sind 2x----0,5483113556 3x----0,8224070334 ' 4x2---1,0966227112 üx- -- 1,3707783890 6 x--^ 1,6449340668 7x---1,9190897446 8x----2,1932454224 9x---2,4574011002. Da nun ^--^--0,0872664626, so ist 0,08x2----0,02193245422 0,007x2---0,00191908974 0,0002x2---0,00005483114 ^ , 0,00006x- --- 0,00001644934 0,000006x- ^ 0,00000164493 0,0000004x2 ^ 0,00000010966 0,00000006x2 ^0,00000001645 0,000000002x- ---0,00000000055 0,0000000006x2 --- 0,00000000016; folglich 7 --0,0239245962. Man dividire nun ^ durch 20, so erhält man auf dieselbe Weise ----0,0003279532. Eben so ergibt sich r ---- 0,0000021407 und n — 0,0000000082. Sondert man die positiven von den negativen Gliedern, und reduzirt, so erhält man für die Summe der positiven .0,523926737, und für die der negativen 0,023926737, und hieraus erhält man sin 30°---0,500000000, nämlich den aus geometrischen Gründen bekannten genauen Werth des sin 30,°. 11 162 In Bezug auf die Reihe cos x— 1 1.2 ' 1 . 2 . 3.4 1 . 2 . 3 . 4 . 5.6 -f- rc. bemerke man noch, daß man daraus durch eine bloße Versetzung der Glieder eine Reihe für den Sinusvcrsus in Funktion des Bo/ gens erhalten kann. Es ergibt sich nämlich unmittelbar aus ihr 1 — cos x x? x* , x« 172 ""l.2.3.4^ 1.2.3.4.576 SIN vsrs X I Ich führe diese Reihe hier aus dem Grunde an, weil sich aus ihr ergibt, daß der Cosinus eines sehr kleinen Bogens der Einheit, d. h. dem Radius dcS Kreises gleich geachtet werden darf, indem, wenn man für x einen unendlich kleinen Werth'setzt, die zweite Seite ein Agggregat von unendlich kleinen Größen der zweiten, vierten, sechsten, rc. Ordnung, d. h. Null wird, oder vielmehr Null zur Grenze hat, woraus folgt cos x—1. Zu §. 49. Da der Verfasser in seiner Auseinandersetzung in Bezug auf die Euler'schcn allgemeinen Formeln für den Sinus und Cosinus der vielfachen Bogen, worin er bemerkt, daß dieselben n posteriori dargcthan werden könnten, eine Beweisart andcutct, die dem mit der algebraischen Analysis noch nicht gehörig Vertrauten vielleicht unbekannt ist, so bemerke ich zur Erläuterung derselben Folgendes. Wenn mehrere Größen in einem gewissen Zusammenhänge stehen, und es ergibt sich aus zuverlässigen Gründen, daß für 2, 3, 4, rc. dieser Größen irgend ein Gesetz obwaltet, so schließt man nach der gewöhnlichen Induktion, daß dasselbe Gesetz auch für n Größen statt finde. In so fern dieses n seiner Natur nach eine ganze und positive Zahl immer bedeuten muß, ist dieser Schluß in aller Strenge richtig und also der Jnduktions- beweis vollkommen zulässig. Wenn aber der Buchstabe o auch anderer Zahlwcrthe fähig ist, z. B. Bruchwcrthc, irrationaler Werthe, negativer Wertste, imaginärer Werthc, so leuchtet ein, daß der Jnduktionsbeweis unzuverlässig ist. Soll nun für alle diese Fälle das erwähnte Gesetz zwischen den obigen Größen bestehen, so muß der Beweis auf folgende Art geführt werden. Man nimmt an, daß es für n Großen statt findet, was auch immerhin der Werth von n scyn möge, und sucht nun zu beweisen, daß es auch für (o-s-1) Größen richtig ist. Ist man dazu im Stande, so kann die Richtigkeit des Gesetzes als vollkommen bewiesen angesehen werden. Ich wähle als Beispiel die erste Formel aus der zusammengesetzten Zinsenrechnung. Bekanntlich wird ein Kapital s, welches^ auf Zinseszinsen steht, für den Zinsfuß p nach Verlauf eines Jahres --P, nach Verlaus zweier Jahre s,>^, nach Verlauf dreier Jahre und also nach Verlauf von n Jahren sx'h in so fern nämlich der Werth von n eine ganze und positive Zahl ist. Da nun aber der Werth von n, seiner Natur nach, zwar nicht negativ, auch nicht irrational und noch weniger imaginär, wohl aber ein positiver Bruch seyn kann, so darf die Formel für diesen Fall nicht als bewiesen angesehen werden. Und bekanntlich gilt sie für diesen Fall auch nicht, wie sich leicht mittelst Durchführung der Rechnung, die ich indessen dem Leser überlasse, Nachweisen läßt. Zu §. 59. Da Cagnoli in seiner Trigonometrie die Formel durch die Methode der unbestimmten (Koeffizienten entwickelt hat, so füge ich dessen Darstellung hier bei, um den Leser mit dem Wesen dieser Methode näher bekannt zu machen. Zugleich thcile ich das bis zu neun Gliedern, zwar nicht von Cagnoli selbst, sondern von einem andern Italiener, Namens Philipp Rubiani, berechnete Resultat zum Behufs etwaiger Anwendung mit. Gesetzt also, man habe die vorgegebene Reihe m —-j-ch-07^-s-, (I.) in welcher man sich den Werth von m , so wie die der Coefsizien- ten u, d, 0 , cl, rc. csis bekannte Großen zu denken hat, und man wolle die unbekannte Größe v in eine Reihe nach Potenzen von ui entwickeln, so nehme man an ^ — -j-Lin?-s- -j- Om* -si rc. (II.) Es ist klar, daß diese Annahme, (oder falls die vorgegebene Funktion -n von der Form seyn sollte IN—g-j-b)-'-s--j--s-rc. folgende -j-Dm-s-Om--s-Oin^-si rc.) immer statthaft ist, da die Coefsizienten A, v, 6, v, rc. noch unbestimmt sind, und also solche Werthe haben können, daß die Gleichung wahr scy. Es handelt sich also nun darum, diejenigen Werthe der Coefsizienten zu finden, welche der Gleichung wirklich Genüge leisten. Zu diesem B.'hufe erhebe man ^ nacheinander auf die2re, 3te, 4te rc. Potenz, und ordne die Glieder nach den gleichnamigen Potenzen von m, so kommt 164 ^ 4" 4- Dm'' -ss Din'' -j-re. -j-22etsnib-^-2r10m'' -j-2^1Dm^ -ss rc. -j-Z^.-Lin''-j-Z^-Lin^ -j-rc. -i- 4^- L,»s -j- rc. -j- !c. rc. Substituirt man nun diese Wcrthe von v^, rc. in die Gleichung (I.) und ordnet die Glieder auf dieselbe Weise, so erhält man — »/Im-ssaDin- ss- »Om^ ss- sDin" -s- sDm^ -ssic. . . . . d^m^-j-22lI3liiu^-ss2^0l»ii''-ss2^DKin'-ssrcr « -j- L'b»d' -ss2DLt»n'>-j-re. . . .. c:L?iiib-j-3^V-Dci»''ss-32l26!c,ii5-j-rc. ä -i-3H3^c,r>'-hre. .. ,n-->-2^6b -P2^Db ^ -t- > -I- L-b lin»-I-2i;eb s -I- 3/4" ) -s-3^1^0 i -ss4^L,1 Da aber diese Gleichung für einen jeden beliebigen Werth von m gelten soll, so müssen die Koeffizienten der verschiedenen Potenzen von m (s. Zus. zu tz. 1ö.) gleich Null seyn. Man erhält also 1 ^0 sD 0 sO-I-2.4i;bss-o^^O sDss-2.41L^-i-4^i;äss-L^^O re. und hieraus folgt ^_1 _D-D ^_ r> ^ b V Q 2^2—go 165 D— ^E- st3^Uo-stl8-b-st2^.eb ^ Zsba—s-ll— 5 b^ — . ffl - ^ ^s^-st4/1-Dcl-st3^D-c:-st3^.-6c-st2ULb-st2^U>b^ I 4 b^—21ab-c-st6s-bcl-st3a-c-—s^s — — ^ ' Substituirt man diese Werthe in die Gleichung (II.) so erhält man, wenn die Rechnung bis zur Bestimmung von 9 Coessizien- ten fortgesetzt wird, ii7 b m - ^ ^ x --- ^i^ kziüiz-i 17 X --- -— -st (2b-—ao)— -st(-5b--st5ab°-a-a) ^ -st (l4b^—21krb-o-s- 6s-bll-st 3s-o-— a^s) — ^_(__42b--st84ab-c:—28a-b-ä-28s-bc--st7a-b6-st7s-cll—a'k)^ -j-(132b«—330sb^c-st120a-b^ä-st180s-b-e-—30abb-s—72»bbcä ^ 171- -s-8L"bk — 12»^ -st Za^cs -st 4a^ä-—a^g) -st(—429b- -st 128/ab-a — 495a-b'ä — 990s- b^ c--st 165s^ b^ s -st 495^b-ki1—45sUi-k-st lOOs^bc:^ — 90a'bc:s— 45a'bcl- m 8 -stOa^b^—45a^L-cl-st9a^ck-st9ci^cIs—-- -s-(1430bs—5005k>bSo-j-2002a-b-cl -st 5005->-b'o- —7l5aUi»s — 2860 a- b- cä -st- 220s^ b^k — 1430s^b-c^ -st 060 s» b-os -st3302^b-cl- — ZOa^b-A-j-OOOa^bc-d—ItOa^bck—1 lOLRllü -stIOab bb —'55a^ c-6 -st lOs^LZ -stlOa^cll-stOa^s-—a-1) -- >st rc. Diese Formel kann als die allgemeine für die Umkehrung einer Reihe, von welcher Form sie auch seyn mag betrachtet werden. Ich nehme als Beispiel die im tz. 58. für den Bogen in Funktion seines Sinus gefundene Reihe, welche sich ebenfalls mit Hülfe der Differential- und Integralrechnung herleiten läßt. Sie heißt V* 3 v^ , 3.5)7- , 3.5.77b x^^v-st-k--st — -- -st —— --st?e. ^^ 2.3 2 . 4.5 2 . 4 . 6.7 ' 2 . 4 . 6 . 8.9 Vergleicht man sie mit der allgemeinen Formel, so müssen, da crstere nur ungerade Potenzen von 7 - enthält, die Coefsizicnten 166 der geraden Potenzen dieser veränderlichen Größe — o gesetzt werden. Man hat also -l^o, 5-^n, rc. Hieraus er. gibt sich für die Werthe der Coefsizienten 2 ^, D, 6, O, dl, rc. ^ —^ wie in der allgemeinen Formel, L —o, 6: O—o, dl: - 36 , ^ —0, 6 — gsos— 12 a 6 - Vergleicht man nun die vorgegebene Reihe mit der Reihe (I.), so kommt S —1, c —-, 6: ' 2.3^ 3.5 rc. '2.4.5' ^ 2.4.6.7' und hieraus ergibt sich 7^1, ---,6---- 2.3' 2.3.4.5' 2.3.4.5.6.7 Man erhält also rc. 8nix- -X — ' rc. 2.3 > 2.3.4.5 2.3.4.5.6.7 dieselbe Reihe, welche am Schluffe des tz. 39. gefunden ist. Ich überlasse cs dem Leser zur Uebung, aus folgender Entwickelung des^Bogens in Funtion seiner Tangente ^ tLX , tLX tex , rgx— s- ^-4^-chrc. die Reihe für die Tangente in Funktion des Bogens zu finden. Er wird erhalten müssen X^ . 2x^ 17x7 , 62x° tgx- 3-.V.7"^3-.5.7.9 -k-rc. Das Gesetz der Iteihe tritt nicht deutlich hervor, Euler hat dasselbe hcrgeleitet. Uebrigens bemerke man, daß die Reihe nur zu gebrauchen ist für die Berechnung der Bogen zwischen 0 ° und 90°. Ueber 90° hinaus wird sie divergent, und liefert fehlerhafte Resultate. Ihre Eonvcrgeuz beginnt überhaupt schon von da an immer mehr und mehr, und zwar sehr rasch abzunehmen, wo der lineare Werth des Bogens größer als 1 ist, nämlich von x —58° an. Ja es läßt sich sogar mit Hülfe der Differentialrechnung Nachweisen, daß man, wenn die Tangente eines Wogens der größer als 32 ° ist, berechnet werden soll, mit mehr Vortheil die Cotangente des Complements berechnen kann mittelst der Reihe 1 X x6 2x6 X? 2x° cotßx - - — - — — — ^ ^ — 'H.5H7 "" 36.5.7.9.11"" 1382X" 4x" 3617X" 3'.56.7°.9.11.14 3».5<7.9.11.13 ^3^.56.7-9611.13.15.17^' 167 da diese letztere eine größere Convergenz besitzt. Man erhält die letztere Reihe mittelst der Formel Lorgx—wenn man darin die für cosx und siux vom Verfasser entwickelten Reihen substituirt, alsdann diesen Bruch nach der Methode der unbestimmten Coessizienten der Reihe --l-Lx-f-6x2-f-Ox^-s-Ilx^-j-rc. x gleich fetzt, alsdann den Nenner slnx der ersten Seite wegschafft, alle Glieder auf eine Seite setzt, und so die Coessizienten L, L, v, rc. bestimmt. Auf ähnliche Weise läßt sich statt der Reihe x? 2x7 17x7 62x2 ss^ö.7^3-.5.7.9 eine andere herleiten, deren Gesetz deutlich hervortritt, vermittelst der Formel t^x —indem man in dieselbe statt slnx und cosx die bekannten Reihen substituirt, und dararss mittelst der Methode der unbestimmten Coessizienten verfährt wie vorhin.