136

Ueber die Form der imaginären Funktionen.

Es läßt sich leicht zeigen, daß die algebraischen Funktionendie Größen von der Form a -s- 6 i ebenfalls dieselbe Formhaben (6om>>I. ckes lUc-,,,. rl'^I»dl>,-.); aber die Resultate dieserRechnungen können mit Eleganz durch die Sinus und Cosinusausgedrückt werden, und man leitet daraus Formeln her, welchevon großem Nutzen in der Analysis sind. Wenn man den Aus-druck s -l- b j mit r (cos 2 -s- 1 8III 2) vergleicht, so findet

man k>-^-rcv82, 6 — 1-811,2; addirt man dazu die Quadrate die-ser Gleichungen, so kommt a- -j- 6 ? Wenn der Werth

von r bekannt ist, so hat man

macht man eben so

»' -j- 6 ' — r' (cos 2' -j- 8,1,2') ,

so erhält man daraus (§. 48 .)

—i)—rr'(cc>82-j-)^IHii2)(co82'-j-s^^i 81112')

zirt man seine beiden Seiten mit (cos 2'—1 sir»/), so erhältman (§. 48 .)

Die Funktion (s-s-bs^Qi)» wird auf der Stelle

r" (cos 2-s-s^—1 8 i„ 2)1^ r"(co8 ii2-s-s^^1sii, N2),

Durch die vorige Umformung führt man die trigonometri-schen Linien in die Untersuchung der imaginären Wurzeln irgendeiner algebraischen Gleichung ein. Anstatt für die unbekannteGröße der vorgegebenen Gleichung die Formel s 4 it>^Qi

§. 79 .

cos 2

r

Mid siu2 —

I 8,1,

s 4- 6 1

r (cos 2 -s- ^—1 sin 2 )rsicos 2'-^- ^—1 sin 2')'

Der Bruch

—1

,-'(co8(2-s-2')-s-s/Qc.i 8>i> (24-2)).

(cos (2—2') 4- ^"—1 sin (2—2')^

und verwandelt man darin n in -, so kommt

(a-s-6 —1)" —1» (cos-—1 sill -tz. 80 .