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Von den Grenzen der Funktionen, und dem Begriffedes unendlich Großen und unendlich Kleinen.

H. 10.

Aus den vorigen Rechnungen und der Summation der ab-nehmenden Quotientenprogressionen geht hervor, daß es Größengibt, die, wenn schon durch Addition aus einer unbegrenztenAnzahl von Gliedern gebildet, sich dennoch nicht über einen ge-wissen Grad von Große erheben können, und zwar deswegen,weil die Funktionen, von welchen sie die Entwickelung sind,keines Wachsthums ohne Grenzen fähig sind: es ist leicht, die-sen letztem Umstand zu erkennen bei Funktionen, deren algebrai-schen Ausdruck man hat.

Gesetzt man habe für's Erste die sehr einfache Funktion

—in welcher x positiv sey, und ohne Ende zunehme; divi-

dirt man Zähler und Nenner dieses Bruches durch x, so zeigtdas Resultat

a

deutlich, daß die Funktion immer kleiner bleibt als a, daß siesich aber dem Werthe s ohne Aushörcn nähert, weil der Theil

^ ihres Nenners immer mehr und mehr abnimmt, und zu jedem

beliebigen Grade von Kleinheit gebracht werden kann. Die Diffe-renz zwischen s und dem vorgegebenen Bruche, deren allgemei-ner Ausdruck ist:

3X a?

x-j-s x-j-s

wird um so kleiner, je größer x wird, und kann kleinerals jede gegebene Größe werden, wie klein auch im-mer diese letztere sey; so daß also der vorgegebeneBruch sich dem Werthe s so sehr nähern kann, alsman will: der Werth a ist also die Grenze der Funktion

in Beziehung auf die unendliche Zunahme, welche x er-halten kann.

Die Kennzeichen, die ich eben auseinander gesetzt habe, sinddiejenigen, in welchen die wahre Bedeutung des Wortes Grenze