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In Bezug auf die Reihecos x— 1
1.2 ' 1 . 2 . 3.4 1 . 2 . 3 . 4 . 5.6
-f- rc.
bemerke man noch, daß man daraus durch eine bloße Versetzungder Glieder eine Reihe für den Sinusvcrsus in Funktion des Bo/gens erhalten kann. Es ergibt sich nämlich unmittelbar aus ihr
1 — cos x
x? x* , x«
172 ""l.2.3.4^ 1.2.3.4.576
SIN vsrs X I
Ich führe diese Reihe hier aus dem Grunde an, weil sich ausihr ergibt, daß der Cosinus eines sehr kleinen Bogens der Ein-heit, d. h. dem Radius dcS Kreises gleich geachtet werden darf,indem, wenn man für x einen unendlich kleinen Werth'setzt,die zweite Seite ein Agggregat von unendlich kleinen Größender zweiten, vierten, sechsten, rc. Ordnung, d. h. Null wird,oder vielmehr Null zur Grenze hat, woraus folgt cos x—1.
Zu §. 49.
Da der Verfasser in seiner Auseinandersetzung in Bezugauf die Euler'schcn allgemeinen Formeln für den Sinus und Co-sinus der vielfachen Bogen, worin er bemerkt, daß dieselbenn posteriori dargcthan werden könnten, eine Beweisart andcutct,die dem mit der algebraischen Analysis noch nicht gehörig Ver-trauten vielleicht unbekannt ist, so bemerke ich zur Erläuterungderselben Folgendes.
Wenn mehrere Größen in einem gewissen Zusammenhängestehen, und es ergibt sich aus zuverlässigen Gründen, daß für2, 3, 4, rc. dieser Größen irgend ein Gesetz obwaltet, so schließtman nach der gewöhnlichen Induktion, daß dasselbe Gesetz auchfür n Größen statt finde. In so fern dieses n seiner Naturnach eine ganze und positive Zahl immer bedeuten muß, istdieser Schluß in aller Strenge richtig und also der Jnduktions-beweis vollkommen zulässig. Wenn aber der Buchstabe o auchanderer Zahlwcrthe fähig ist, z. B. Bruchwcrthc, irrationalerWerthe, negativer Wertste, imaginärer Werthc, so leuchtet ein,daß der Jnduktionsbeweis unzuverlässig ist. Soll nun für allediese Fälle das erwähnte Gesetz zwischen den obigen Größenbestehen, so muß der Beweis auf folgende Art geführt werden.Man nimmt an, daß es für n Großen statt findet, was auchimmerhin der Werth von n scyn möge, und sucht nun zu be-weisen, daß es auch für (o-s-1) Größen richtig ist. Ist mandazu im Stande, so kann die Richtigkeit des Gesetzes als voll-kommen bewiesen angesehen werden.