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tog(ab)^logs-sslogli. Seht man in diese Gleichung fürInga und logb ihre allgemeinen -Werthe lll,n4^2l7r1 ^—1 undso wird die zweite Seite L.S->-1^b^2(i-s-ll)7 rs^ 2 li nothwendig einer der Logarithmen von ad scyn, welchein der Formel

log (ad) — Issskhss- 2i"?r^—t — I^a-j-I^d-f2i"7r'ss "—1

enthalten sind.

Welches also auch die Logarithmen von s und von b, dieman zu einander addirt, seyn mögen, ihre Summe wird immergleich seyn einem der Logarithmen des Produktes ad.

Macht man x — 180 °—?r, so hat man cosx— — 1, undsetzt man (2i-s-l)?r statt 2 i,-r, so findet man log(—l)—ccki( 2 i->-i)^—i; woraus wir ersehen, daß alle Logarithmen von— 1 imaginär sind: es wird sich eben so mit denen von —averhalten; denn — a — ax — i und log (—a)—ld,a-s-log(—i);also log(—a)^ll,a^( 2 i-s-l)?r^^i.

§. 82 .

Die vorhergehenden Betrachtungen sind es, mit deren HülfeEuler die Schwierigkeit in Bezug auf die Logarithmen negativerZahlen *) gelößt hat, welche der Gegenstand einer weitläufigenErörterung gewesen war zwischen Leibnitz und Johann Bernoulli.Der erste behauptete, daß diese Logarithmen imaginär waren;der zweite, daß sic reell und einerlei mit denen der positivenZahlen wären. Mir können nicht in das Einzelne der Gründeeingehen, die von beiden Seiten vorgebracht wurden; indessenbestand einer der stärksten ss'ründe, die man für die Realität derLogarithmen negativer Zahlen vorbrachte, darin, daß man sagte,weil (—s)2 — 2 -, so muß auch log(—s)- —logs-, 2log(—a)2 log a und log (—k>) — (-f. s) scyn. Euler's Theorie bestätigtdie erste Schlußfolge, und zeigt, daß die beiden andern falsch sind.

Man hat wirklich log (— s)' — 2log( — s) — 2 l,n 7 -i-2 ( 2 l-t-i)?r/"—i; und da die Zahl 2(2i-ssi) eine gerade ist, sofindet sich dieser Ausdruck enthalten in der Forme', 2l-,sifi2l"7rf/'—i,welcher alle Logarithmen von ^ vorstellt: mcvn hat also, in einemgewissen Sinne, log(—s)? —logs?.

Vergleicht man die Ausdrücke 2log(—a)^2l^ch.2(2l-I-i>und 21ogg —2 lus ch, 4171^^1, so sicht man, daß der einenie in den andern übergehen kann, weil alle Zahlen von der Form

') Ucbcr die Logarithmen negativer Zah'len s. d. Art. Logarithmus inKlügcl'S Wörterbuche.