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II

-- 2,1175 .

' §5 —.181»-eui-

in jeden der einzelnen Werthe von cos

gehen, da der Bogen immer nur die Summe einer ge-

wissen Anzahl von Peripherien und von irgend einen der Bogen 0,rc. seyn kann. Dieselbe Eigcnthuinlichkeit würde sichauf eine ähnliche Weise bewahren in Bezug auf den Ausdruck

cos

§. 71.

Da, nach dem Vorhergehenden, die Bestimmung der ima-ginären Wurzeln der Gleichung o von der Thcilung

der Peripherie des Kreises in eine Anzahl von n gleichen Thei-lcn, oder von der Einschreibung eines regulären Polygons von» Seiten abhängt, so folgt hieraus, daß man diese Wurzelngenau erhalten kann in allen den Fällen, wenn der Exponent nin einer der drei Progressionen^-2:4:8:16:rc., ^-3:6:12:24:rc., -^-5:10:20:40:rc.enthalten ist, denn alsdann kann man mit Lineal und Zirkelkonstruiren, oder blos mit den Quadraten der Wurzelgrößen be-rechnen die Sinus und Cosinus der Bogen —, —, rc., , rc.

^ n II n n

Umgekehrt kann man in allen Fällen, wo man durch Gleichun-gen des zweiten Grades die imaginären Wurzeln der Gleichung—o zu finden weiß, hieraus die geometrische Konstruk-tion der Thcilung der Peripherie des Kreises in n gleiche Theileherlciten; und die sehr schöne von Gauß entdeckte Theorie derzweigliedrigen Gleichungen zeigt, daß wenn der Exponent n eineder Primzahlen ist, welche in der Formel 2v-j-i enthalten sind,diese Gleichungen zurückkommen auf eine Cvmbination vonGleichungen des zweiten Grades, welches für's Erste den Fallliefert wo n —17, der keineswegs durch die Elementargeometriehätte erkannt werden können, wenn schon er ,i posteriori nach-gewicsen werden kann durch die Cosinus. (Siehe die 61. Num-mer des I-iiIIölin des Koionoes der 8oc!eto IlliiloinrUicpio, unddas Ute des lournal do l'Lloolo Uolztteolmiguo.)

Aber ohne von den vorhergehenden Betrachtungen auszuge-hen kann man zeigen, daß die Kenntniß der Wurzeln der Glei-chungen