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Diese Rechnung kann nun so weit getrieben werden als manwill, ohne daß neue Schwierigkeiten entstehen, und man wirdzum Endresultat erhalten
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Die vorgegebene Gleichung liefert noch drei andere Reihen,welche aus der Annahme entstehen, daß x sehr groß sey, unddie folglich abnehmende sind. Um dazu zu gelangen, bestimmeman » in der Gleichung
axb -j- ^x^" >— 2^ V" — 0,
so daß die Exponenten, welche gleich werden, alle andern über-steigen; die Werthe dieser Größe werden alsdann seyn 0 und 4 .Der erste gibt ^4 — —n, und wenn man die folgenden Gliedersucht, so führt er zu der Reihe
—-2 — 2»x"^-Z 24 x ^0 — 122 l°X "9 — 5 Ö 2 "x—12-
Der zweite gibt rl—2^ — 0 , woraus man erhält L,— 4 - 2^.Wendet man einzeln einen jeden der beiden Werthe von inden folgenden Operationen an, so findet man die beiden folgen-den Reihen, die sich nur durch die Zeichen ihrer Glieder unter-scheiden:
2 ^x^-j-42— -Z-a^x — rc.
—— 2 V 4 -4 a-4-^2^x 2-j-f2»x^-j-rc..
Man muß bei der Untersuchung dieser Reihen, welche fallendesind, darauf Acht haben, daß man unter den Werrbcn, die manfür einen jeden der Exponenten /?, 4 , rc. findet, nur dieje-
nigen nimmt, welche kleiner sind als der vorhergehende Exponent.
Diese Ausführungen können hinreichen um zu zeigen, wieman die verschiedenen Entwickelungen einer eingewickeltcn Funk-tion, die durch eine algebraische Gleichung gegeben ist, findenkann. Es wird oft der Fall seyn, daß die Bestimmung einesoder mehrerer der Coeffizicntcn L, 6, rc. die Auflösung einerGleichung erheischt, die den ersten Grad übersteigt; aber diesesHinderniß wird keineswegs die Methode hemmen, weil die auf-zulösende Gleichung nur konstante Größen enthalten wird: manwird also in den einzelnen Anwendungen den Zahlwerth des ge-suchten Coeffizientcn wenigstens annäherungsweise erhalten kön-nen, und in dem allgemeinen Falle fahre man fort zu operircnmit dem Buchstaben, der ihn vorstellt, wie mit einer bekanntenGröße. Wenn man die Gleichung hätte
2ai -j- x? — 2 ^— — ^6^: 0,