Entwickelungen der Funktionen, welche durch Glei-chungen gegeben sind, in denen die unbekanntenGrößen unter einander gemischt Vorkommen.

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Bis jetzt war die Form der Reihe mit unbestimmten Coef-fizicnten, welche zur vorläufigen Darstellung der gesuchten Ent-wickelung diente, leicht vorherzusehen, entweder durch Untersu-chung der einzelnen Fälle, oder durch die Einfachheit der Glei-chung, welcher Genüge geschehen mußte; aber wenn diese Glei-chung Glieder enthält, in welchen die Funktion und die verän-derliche Größe, von der sie abhängt, unter einander verknüpftsind, so offenbart sich das Gesetz, welches die Exponenten der ver-änderlichen Größe in den verschiedenen Gliedern befolgen müssen,nur durch eine besondere Untersuchung. Man könnte dasselbewohl aufsinden, indem man die gegebene Gleichung in Bezugauf die vorgegebene Funktion auflösete, und die in dem Aus-drucke ihrer Wurzeln enthaltenen Wurzelgrößen entwickelte; aberdieses Mittel wäre nicht mehr brauchbar, wenn sie den viertenGrad überstiege, und würde schon für den dritten sehr wenigbequem seyn, wegen der Multiplikation der Wurzelgrößen. Wirwollen also nun sehen, wie man diese Schwierigkeit überwun-den hat.

Welches auch immer die Form der gesuchten Entwickelungseyn mag, so wird, wenn man sie als zusammengesetzt annimmtaus einer Reihe von Monomen, irgend ein Glied derselben vor-gcstellt werden können durch ^x", so daß man im Allgemei-nen hat

7--- -s- -I- rc.

wo die Exponenten «, /?, rc. irgend welche Zahlen seyn kön-nen. Nun hat man aber bei der Entwickelung einer Funktionfast immer zum Zwecke, einen annähernden Werth derselben zufinden, wozu erforderlich ist, daß die Reihe, zu welcher mangelangt, konvergent ist: dieser letztem Bedingung aber kann imAllgemeinen nur dann Genüge geschehen, wenn die Größe xentweder sehr klein oder sehr groß ist. Im ersten Falle ist eseinleuchtend, daß die Exponenten «, /?, 7, rc. positiv und nachder Folge ihrer respektiven Größe geordnet seyn müssen, indemman mit dem kleinsten beginnt; im zweiten dagegen müssen sienegativ seyn, oder es wenigstens endlich werden, und wenn esalso positive unter ihnen gibt, so muß man sie zuerst schreiben,und mit dem größten anfangen.