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8 . 59.
Man kann zu demselben Resultate auch durch die Methodeder unbestimmten Coeffizienten gelangen, indem man setzt
X— ^2 -j- -j- 676 -j- -s- re.,
und mittelst der Formeln des tz. 19. die Werthe von x-, x^, xhrc. berechnet, um sic in die Gleichung (1.) zu substituirm.Wenn diese Operationen ausgeführt sind, so versetze man dieerste Seite auf die zweite, und setze alle Glieder, die mit der-selben Potenz von 2 behaftet sind, gleich Null, so wird dieseOperation die nöthigen Gleichungen zur Bestimmung der Coef-fizienten -4., L, 6 , rc. liefern. Ich halte mich bei den Einzel-heiten dieser Rechnung nicht auf, da bisher schon eine großeAnzahl von Beispielen davon vorgekommen; indessen will ich denGang des Verfahrens verzeichnen, welches zur Herleitung desWertstes von 2 dient aus der Gleichung
tt 2 -s-^ 2 ^-ss) rc. — sx-s-bx? -j-cx^-j-clx'-s-rc.,
die aus zwei unendlichen Reihen gebildet ist.
Wenn man, nachdem angenommen istx —^.2 -j- -j- 67 ? -s- O 2 * -f- rc.,
die Potenzen dieser letztem Reihe entwickelte, sey es nun durchdie Formel der Seite 30, oder durch successive Multiplikationen,so würde die unmittelbare Substitution dieser Potenzen nur zuunsymmetrischen Resultaten führen, der Art, wie das am Schlüssedes vorigen Paragraphen, nach welchem es unmöglich wäre, denWerth von x über die schon gefundenen Glieder hinaus weiterauszudehnen. Folgendes ist ein Verfahren, welches zwar dasUnbequeme hat, die Ausführung noch vieler Rechnung nöthigzu machen, das aber wenigstens das Gesetz deutlich macht, wel-ches jene Rechnungen untereinander verbindet, und zugleich dasMittel, sie durch symmetrische Formeln so weit zu treiben alsman will.
Man setze für's Erste
X — ^,2-f-L,22 -s-6,25 -j- 11 , 2 '' -j-rc.,
X-— -i-v,2- ss-rc.,
x? — A,22-j-U,2" -s-L,25 -j-11,26 -j- rc.,
X" —^7"-s-L„2"^-i-0ir2"'l-2-j-ii,,7n-!-Z-s-rc.,wo die Buchstaben L„, Ost, rc. die Coeffizienten der rllenPotenz des Polynoms
12-j-U ^ 2 2 -j-Ost 2 ^-s-II ^ 2^-sirc. 2(-?1, ss-iU, 2 -s-O, , 2b-frc.)
bezeichnen, und alsdann in die vorgegebene Gleichung die Ent-