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und da — 2-^-1

t- _- -— 8l» 2-,

/ 2^—1

V 'k.,

so folgt daraus

42 — «in 2-4 8III 22-44 81» 32-4 8M 42 -s- rc.

Macht man 2 -^ 1 ^, so werden s!» 82 , sin42, und im Allge-meinen alle Sinus der geraden Vielfachen gleich Null; es blei-ben nur die ungeraden; aber man muß bemerken, daß sie ab-wechselnd positiv und negativ sind, daß also, da sin 11 positivist, 8111 Z 1 negativ, 8iu5-r positiv, s!» 71 negativ, rc. ist. MitRücksicht hierauf findet man, daß der Bogen von45" — 1 — 4 ch- 4 — 4- -si rc.,

ein Resultat, welches mit dem des H. 43. übereinstimmt.

tz. 57.

Die Betrachtung der Sinus der vielfachen Bogen führt nochzu einer Entwickelung des Kreisbogens, welche eine von dervorigen sehr verschiedene Form hat, und welche man, so wieüberhaupt den größten Lheil der analytischen Untersuchung derKreisfunktionen, Euler verdankr.

Da nämlich sin(x- 42 ) —sinxcc>S 2 -j-cosxsin 2 , so findetman, wenn man 2 ^x macht, sin 2 x —2 sinx cos X. Setztman 4 x statt X, so kommt sinx — 2 sin 4 xcos 4 x. Machtman aufs Neue dieselbe Substitution, so kommt sln^x —2 sin^xcc >8 rx; setzt man diesen Werth von sin 4 x in den vonsinx, so erhält man sinx— 4 sin 4 xco» 4 x cos 4 x; aber in-dem man gerade wie vorhin verfährt, erhält man sin 4 x —2 sin 4 >x cos 1 -x ; also sinx — 8 sin 4 X cos 4 X cos 4 X cos 4 X.Man kann sin 4 x vermittelst der Gleichung sin 4 x —2 sin^xcos^x wegschaffen; man erhält alsdann

sinx^-16 sin ^-4 X cos 4 xcos 4 x cos 4 x cos 4g-x.

Man sieht, daß, wenn auf diese Weise fortgefahrcn wird, manjedes Mal einen neuen Cosinus einführt, und daß man im All-gemeinen erhalten wird

1 1sinx — 2" sin — X cos4Xcos4xcos4cos^4X.. . . cos -- x.

1

Aber je größer n wird, desto kleiner wird der Bogen - ,^x, und

desto weniger also wird er sich von seinen Sinus unterscheiden,