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cosnx —4(cosx-j-^—1 sinx)"-s-l(cosx—1 siiix)"—

und zwar für jeden beliebigen Werth von n: man kann hierausschließen, daß

n" -j- v" — 2 cos NX,

und allgemein

I» IN — 2 cos (n—m) X;

ferner ist leicht zu sehen, daß nv —1: man hat folglich

/ 2n (n—1) >

2'^^cosx"—i 2 cosnx -j- 2n cos (n—2) x --—^— cos (n—4) x

1.2

2n(n—1)(u—2)

273

cos(n—6)

x

oder, wenn man beide Seiten durch 2 dividirt,

11-<

1

2" cosx" — ^cos nx -j- ^cos(n—2 )x-j- cos (n— 4) x-j-

n(n—1)(n —2) ,

-iT^TZ-E (n—6) x -s- w.^).

Setzt man diese Formel wie die des Newton'schen Binoms fort,so gelangt man zu Cosinus negativer Bogen; aber sie sind genaudieselben, mit denen ihrer entsprechenden positiven Bogen: mankann also cos(m—n)x statt cos (n—ir>)x schreiben.

Der Werth, welchen wir so eben für cos x-> gefunden ha-ben, ist nicht blos aus den Fall beschränkt, wenn n eine ganzeZahl ist; er gilt eben so für die Fälle, wenn n gebrochen odernegativ ist. Uebrigens ist er im erstem Falle einer Vereinfachungfähig, die ich jetzt kennen lehren will,

In der Entwickelung von (n^j-v)" haben, wenn n eineganze Zahl ist, die Glieder, welche gleich weit von den beidenäußersten abstehen, denselben Coesfizientcn; dasselbe wird der Fallseyn in dem Ausdrucke

cos nx -j- ^ cos (n—2) x

n(n—1)1.2

cos (n—4) x -j-

»("—Y(n—2)

1.2.3

cos (n—6) x -j- !t.

und außerdem gehören die Cosinus, welche von den beiden äußer-sten Gliedern dieser Formel gleich weit abstchen, zu gleichen Bo-gen. Denn da ein Glied, welches um eine Distanz in vomersten absteht, mit cos(n — 2-n)x behaftet ist, so ist das letzteselbst mit cos (n — 2n)x oder mit cos — nx behaftet; und gehtman von diesem zurück bis zu demjenigen, welches um >n Gliedervon ihm absteht, so findet man nothwcndig cos (—n->-2m)x, odercos—(n—2-n)x: aber nach dem oben Gesagten, sind cor(n—2iu)xund cos —(n— 2m)x einander gleich. Es folgt hieraus, daß