cos(l4— (4m-s-1)b) — sin (4mff-1)k>, sin (14 —(4m-j-l)k>)

^ cos (4m-j-1) 1,

cos (34— (4m-j-3) b) — — sin (4m->-3) k>, sin (34— (4m-s-3) b)

— — cos (4m-j-3) i>

Ist die Zahl n gerade, so hat sie entweder die Form 4-noder 4m-j-2, und diese liefern folgende Relationen:

cos (44— 4mk>) — cos 4ind , sin (44—4mk>) — sin 4mk»

cos (24— (4in-j-2) b) — — cos (4m-j-2)b, sin (24—(4mst-2)b)

Substituirt man diese Ausdrücke und ordnet die Resultatenach den verschiedenen Formen der Zahl n, und setzt wiederumx und nx statt des Bogens 1, und seines Vielfachen, so erhältman die angeführten Umformungen, welche sich ergeben, wie mansieht, durch die Verwandlung von cos x in sin x oder umgekehrt,auf der zweiten Seite jeder Formel, und durch die Verwandlungvon cos NX in sin NX auf der ersten Seite, aber bloS in demFalle wo n ungerade ist.

Die Tabellen der Seite 115, welche durch die Induktiondie beiden ersten absteigenden Reihen gegeben haben, liefern auchdie aufsteigenden Reihen. Es reicht zu diesem Zwecke hin, einjedes der Resultate, welche sie enthalten, so zu schreiben, daßman mit dem letzten Gliede anfängt. Die erste Tabelle führtzu der ersten und fünften aufsteigenden Reihe, und die zweite zuder dritten und siebenten aufsteigenden Reihe. Was die Zeichenbetrifft, so entspricht die obere, in den Reihen wo n ungeradeist, dem Falle, in welchem diese Zahl die Form 4mff-1 hat,die untere dem Falle, wo sie die Form 4m-s-3 hat; in denFormeln, in welchen n gerade ist, bezieht sich dieser Wechselauf die Formen 4m und 4mst-2.

Die in h. 47. gefundenen Entwickelungen von cos nx undsin rix erhalten eine sehr einfache Form, wenn man darin diePotenzen der Tangente einführt; und dieses wird bewerkstelligt,wenn man cosx" als gemeinschaftlichen Faktor schreibt: man er-hält alsdann:

sin (4m-j-2)k>

§. 51.

cos nx—cosx" l 1 —

(

» (n—1) (n—2) (n—3)

n (ii—1) siux^

1.2 cos x^ 1 . 2 . 3 . 4

sinx*

cosx'

)

ii sin

II sin

Ii(u —1) (n—2) sinx?

1.2.3

cosx

sin nx—cos x"

1 cosx