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erfordern die des §. 47., welche der Newton'schen Formel desBinoms ähnlich sind, blos die einfache Substitution des dem ngegebenen Werthes, und ihre Glieder annulliren sich von selbst,sobald man über diejenigen hinaus ist, welche zu der gesuchtenEntwickelung gehören, während in allen Fällen die Formeln dervorigen Seite sich bis ins Unendliche fortsetzen, und ein falschesResultat liefern, cs sei denn, daß man die Glieder, in welchender Exponent von cosx negativ ist, wegläßt, welches der analp.tische Ausdruck nicht ausdrücklich sagt.

Man erhält davon ein sehr einfaches Beispiel, wenn mansetzt in dem Ausdrucke von cosox, welches die unendlicheReihe liefert, ,

c 08 X-

-cosx'

4cosx 16eo8x^ 32co8X^

-rc.

eine Gleichung, welche die Glieder der zweiten Seite, die nachdem ersten folgen, falsch macht, und es verhält sich eben so inallen andern Fällen; so daß man also diesen Formeln immer dieEinschränkung beifügen muß, daß sie nur für ganze Zah-len anwendbar sind, und daß man bei den Glie-dern stehen bleiben muß, wo c«8x mit einem nega-tiven Exponenten behaftet ist.

Diese Unoollkommenheit verdient bemerkt zu werden, weilsie sehr deutlich das geringe Gewicht beweißt, welches man aufdie Folgerung legen darf, die aus der Untersuchung einzelnerWerthe gezogen wird, deren Anzahl, da sie immer beschränkt ist,oft nur auf eine unvollkommene Weise das Gesetz darstcllt, wel-ches zwischen sämmtlichen Werthen der gesuchten Funktion herrscht;und man ersieht hieraus, wie ungenau der Gang derjenigenSchriftsteller ist, welche auf diese Weise die Entwickelung derPotenzen des Binoms festsetzen wollen, obgleich es sehr wahr-scheinlich ist, daß Newton anfangs auf diese Weise daraus ge-kommen ist. In der That, so lange man nur einzelne Werthebetrachtet, können diese in die Rechnung Reduktionen oder Ver-einfachungen einführen, von denen man sich nicht überzeugt, unddie, da sie nicht Allgemein statt finden, die Natur des Aus-drucks gänzlich ändern. Gerade das ist hier der Fall; und Euler,welcher zuerst auf diese Art von Paradox aufmerksam machte,hat auch die Erklärung davon geliefert, indem er für die allge-meinen Entwickelungen von cos nx und «i» nx zwei unendlicheReihen gefunden hat, welche auf eine solche Weise mit einanderverknüpft sind, daß in den Fällen, wo n eine ganze und posi-tive Zahl ist, blos die oben angeführten Ausdrücke übrig bleiben.Fuß und Lagrange haben, indem sie auf diesen wichtigen Ge-genstand zurück kommen, die Untersuchungen Eulcr's bedeutend