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bestätigt und vereinfacht, durch Betrachtungen, welche natürlichihre Stelle in diesem Werke finden werden, wenn ich über dieAnwendung der Differentialrechnung auf die Entwickelung derFunktionen in Reihen sprechen werde.

In der That, wenn man zurück geht zu den Gleichungen(cosx sinx)"-!- (cosx — srn x)"

605 NX ---- --------,

welche unabhängig von jedem einzelnen Werthe von x und ngefunden sind, so sicht man, daß alle Untersuchungen, welcheman sich über die Entwickelung von oosnx und sinnx vorle-gcn kann, auf derjenigen der Funktion (cosxiff.8inx)" beruhen,welche die Formen bekommt:

wenn man darin sinx oder cosx eliminirt, und sie kann als-dann auf vier Arten in eine Reihe entwickelt werden, nämlichin eine absteigende oder aufsteigende nach den Potenzen von cosx,und in eine absteigende oder aufsteigende nach den Potenzen von

LIN X.

Diese Umstände sind es, welche zu der Mannichfaltigkeitder Formeln Veranlassung gegeben haben, die man über diesenGegenstand bei den verschiedenen Schriftstellern, welche sich da-mit befaßt haben, von Victa an, findet; und das erste Elemcn-tarmerk, in welchem man die größte Zahl derselben zusammenzu stellen besorgt war, ist, so viel ich weiß, das, welches Mau-duit im Jahre 1/65 unter dem Titel: krinoipes ä'/lstronoiniosplierigue herausgegebcn hat: man findet sie auch fast alle inden iUecons 8vr io Oaloul lies louvtioiis von Lagrange. Dader Leser begierig seyn könnte, diese verschiedenen Formeln näherzu haben, so habe ich sie in folgender Tabelle zusammen gestellt,in welcher

x —cosx, g —8iux.

Absteigende Reihen.

I. Wenn r> (willkührlich) entweder gerade oder ungerade ist.

LIN NX

(cos x -j- ^—i sinx)" — (oosx — ^—i sinx)"

(cosxff^f^—1 . —cosx?)",

(s^"l — sinx? —Isinx)",

§. 50.

^((2x)"-n(2x)"--ch

cos rix

n(n—3)- . .

2 -(2x)-^-