84

8i»5x^-8iiix(l6cv8X —12cosx -s-1)

8i„6x —8Ü,x(32co8x —32c»8X -s-6cos x)

8», 7x —8»>xs64co8X —SOcosx -j-24co8x—1)

rc.

Euler, welcher zuerst diese beiden Tabellen vermittelst derweiter oben auseinander gesetzten Methode gebildet hat, drücktdas Gesetz derselben durch folgende Formeln aus:

11-1-II „ 11-3-n-2 n(ll-3) -n-4

co8»x—2 cosx-2 cosx -s-— 2 cosx —

1 1.2

»(»—4)(»—5) r> (»—5) (ri—6) (rr— 7)

1.2.3 1.2. 3. 4

2 cosx — rc.

sin nx^-sinx ^2 cosx

n—2 (n—3)(ir—4)

-2 cosx -t--

1 ' 1.2

II

»-ii—5

co^x

(n—4)(n—5) (n—6)1.2.3

2 cosx

'st-

(n—5)(n—0)(n-7)(n—8) -n-o

——--2 cosx

1.2.3.4

Es scheint, als ob diese Formeln auf eine Art Versuchsweisegefunden worden sind, indem man die einfachsten Funktionendes Zeigers » probirte, welche sich, indem man darin nachein-ander ri —1, »—2, n —Z, rc. setzte, in die numerischen Coef-sizienten der entsprechenden Potenzen des cosx verwandeln konn-ten; und die der ersten Glieder, welche nichts als Potenzen derZahl 2 sind, haben übrigens schon die Nothwendigkcit deutlichgemacht diese Potenzen in die allgemeinen Formeln cinzuführen.Es ist indessen leicht, diese Formeln a posteriori zu beweisen,wenn man in die Gleichungen (1.) und (2.) die Reihen substi-tuirt, welche sie liefern für cos(n—1) x, und cos rrx, sin (»—1)x,und sin »x. Es werden daraus Reihen für cos (ir-ssl)x und8i»(»-s-1)x genau von derselben Form entstehen, woraus hcr-vorgeht, daß, wenn das Gesetz wahr ist für die Zahlen »—1und », es ebenfalls wahr ist für die Zahl »-j-1, und daß esfolglich hinreicht, wenn es für zwei aufeinander folgende Resul-tate in den Tabellen I. und II. festgesetzt ist, um es zur beliebigweiten Fortsetzung dieser Tabellen anwcnden zu können.

Die letztem Entwickelungen von cos nx und si»nx müsset!wohl unterschieden werden von den erstem (tz. 47.): der Gebrauchder einen erheischt eine unnöthige Aufmerksamkeit bei der Anwen-dung der andern. Um zu einem genauen Resultat zu führen,