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(cos x ch stellst sin x) (cos (n—1)xcch ^Ü7stsin(n—1)x)r^co8nx^

—1 sin rix;

und da die zweite Seite einer jeden dieser Gleichungen genauder zweite Faktor der ersten Seite der folgenden Gleichung ist,so findet man, wenn man statt dieses Faktors die ihm gleicheGröße setzt,

(cos x ch sin x)- — cos 2x sti —i sin 2x

(cos x stl 1 sin xH — cos 3x ch. i sin 3x

(cos x st^ ^—i sin x)^ cos nx sti sin nx:

man erhält also, wie oben, die Gleichungen

(cos x -st- stellst sin x)" — cos nx st- —1 sin nx(cos x—1 sin x)" — cos nx —^—1 sin nx;indessen werden sie nur bewiesen seyn für den Fall, daß die Zahln eine ganze ist.

§. 49.

Die §. 47. gefundenen Entwickelungen von sin nx undcos NX lösen vollständig die Aufgabe, bei welcher man nur zumZwecke hat, den Werth des Sinus oder des Cosinus eines viel-fachen Bogens zu erhalten , vermittelst der Potenzen des Sinusund Cosinus des einfachen Bogens, und was noch mehr ist, siehören nicht auf, richtig zu seyn, welches auch die Zahl n seynmöge: nur schließen sie nicht, wenn diese Zahl negativ oder einBruch ist, eine Unbequemlichkeit, welche in der Natur der Sacheliegt; aber dieselben Entwickelungen enthalten zusammen die Po-tenzen des Sinus und die des Cosinus, was als eine unzweck-mäßige Verwickelung erscheint, weil, da die eine dieser Größendurch die andere gegeben ist, man mit Hülfe der Eliminationzu Formeln gelangen kann, welche nur vom Sinus oder vomCosinus abhangen. Das Mittel, welches sich gleich darbietet,um sie zu erhalten, besteht darin, daß man für sin x setzt

^ 1 —cosx in dem Ausdrucke des cos nx und ^ 1— sin x fürcor x in dem des sin NX. Die erste dieser Substitutionen führtimmer zu einem rationalen Ausdrucke, weil cos nx blos geradePotenzen des sinx enthält; und die zweite bringt dasselbe mitsin nx hervor, wenn n eine ungerade Zahl ist; aber in demFalle, wo n eine gerade Zahl wäre, erhielte man darin, in allenGliedern, einen irrationalen Faktor, den man sogleich deutlichmachen kann, wenn man die Entwickelung des sin nx schreibt,wie folgt: