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tz- 48 .

In den Gleichungen

1 : (cosx-f- ^lllf «in x)"

6 —(cosx- Isinx)",

welche das Fundament zu den vorigen Resultaten bilden, kannman unmittelbar die Etponentialgrößen eliminircn, wenn mandarin für diese Funktionen die Werthe setzt, welche die beidenersten Gleichungen des §. 47 liefern, nachdem man in denselbennx statt x gesetzt hat; und es kommt alsdann

(cos X -f- sin x)" ^ cos NX -f- —1 sin NX,

(cos X — ^"—1 s!» x)^—cos NX — ^—1 sin NX,

Gleichungen, welche man unmittelbar aus den folgenden herleitet:

sin (x ^ 2) sin X cos 2 T^cos X sin 2,cos (x Zu 2) — cosx cos 2 -j- sin x sin 2,

1 ^^siux -j- cosx ,welche die ganze Theorie der Sinus umfassen.

Zerlegt man die zweite Seite der letztem Gleichung in ihreFaktoren, so findet man

1 — (cos x-s- sin x) (cos x— 1 sinx);

aber wenn man das Produkt

(eos x-j- I sin x) (cos 2 -f- sin 2)entwickelt, so findet man

cos x cos 2 — sin x sin 2 -f- (cos x sin 2 -f- sin x cos 2)

ein Resultat, welches, mit Rücksicht auf die beiden erstem Glei-chungen, gibt

(cosxss-s^—i sinx)(co 82 -j-^ 72 i s!ii2)—cos(x-s-2)-ss^—1 si»(x-s-2).

Man erhalt eben so

(cosx—sinx)(co«2—siii2)—cos(x-j-2)—sin (xss-x)(cosx-j-f^^l sinx)(cos2—sinx)—cos(x—x)-f- s^—I sin (x—2 )(cosx—siux)(co82-i-^—1 sinx)—cos(x—2)—^—1 sin(x—2);man kann diese vier Formeln in folgende zwei zusammenfassen:

(cosx^f^—s sinx) (cos2->-f^Hs sin2)—cossx-j-xUs^—1 siu(x-f-2)(cosx^T^Hi si»x)(cos2ljllf^Hi8i»2)—cos(x—2)^7—1 s!u(x—2).

Wenn man in der erstem von diesen nacheinander 2^-x, 2 x,3 x, ......(n—i)x setzt, so kommt

(cos x Zu 1 «in x)- — cos 2x Zu 1 sin 2x

(cos x uiiu i sinx) (cos 2x siu2x) — cos3x 1 sin3x

(cos xulu ^1 sinx) (cos 3x Zu f^—i si»3x) — cos4x ch- —1 siu4x

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