So sind wir also zu dem Ausdrucke des Cosinus eines vielfachenBogens auf eine sehr einfache Weise gekommen; und man mußwohl darauf Acht haben, daß er, obgleich mit imaginären Größenbehaftet, doch nichts desto weniger reell ist; denn diese imagstnaren Größen verschwinden alle in der Entwickelung der angc-zeigten Potenzen. Man hat nämlich:

_ ._u H - .-II—L

(cosx-j-^—i sin x)" —cosx -ss ^ ss"—s cosx siux—

n(n —l) - "—2 - 2

---- cos X sin X — re.

_ _II n ^-II—I

(cos X ——1 sin x)" — oosx — ^ ss'—> cosx sin x —

n(n—1) -n-2 -2

— ^— cosx sin X -s- rc.;

addirt man die erste Entwickelung zur zweiten, und dividirt als-dann durch 2, so findet man

—" n(n—i)—a-2-2

cos nx—cosx-—— cosx sin x -ss

n(n—1) (n—2)(n—3)2 . Z . 4

cv8X

-rc.

Es ist nicht nöthig, zu bemerken, daß diese Reihe alle Malbegrenzt seyn wird, wenn n eine ganze und positive Zahl be-zeichnet; sie folgt in dieser Beziehung den nämlichen Gesetzenwie die Formel des Binoms, woraus sie hergeleitet ist.

Setzt man für und o—ihren Werth in die

Gleichung

gin I _g-«X //— 1

8!N NX

so findet man

SIN NX

2 ^-l

(cosxss-'ss"—1 sinx)"—(oosx—^^isnix)"

und wenn man entwickelt, so kommt, wenn man die Gliederweggelassen, welche sich aufhcben, und welche nun reelle Gliedersind, und nachdem man durch i dividirt hat,

. n(n 1)(n 2)-N—3- 3

8MNX—ncosx^^smx-^—--oosx 8NIX -ss

n(n — 1)ln — 2)(n — 3)(n — 4) II— —5

^ — cosx sin x — rc.

2 . 3 . 4 . ü