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100 Dezimalziffern berechnet habe. Das Verfahren Machin'sbesteht darin, einen hinlänglich kleinen Bruch zu nehmen fürdie Tangente eines ersten Bogens, und diesen Bogen fo oft zuwiederholen, als nöthig ist, um den seiner Vielfachen zu er-halten, welcher dem Bogen 45° am nächsten kommt, alsdanndie Tangente der Differenz dieser beiden Bogen zu berechnen,eine Tangente, welche ebenfalls nur ein kleiner Bruch ist, undderen Bogen man also in einer sehr konvergenten Reihe erhält.Man sieht, daß dieses Mittel zu mehrern Resultaten führen kann,und ich werde mich daher auch nur bei dem aufhalten, welchesdie größte Einfachheit mit der größten Convergcnz vereinigt.(Man kann die andern in dem 3ten Bande der Scriptoros loxa-ritlmnci, herausgcgeben von Maseres, und in dem 2tcn Bandedes Werks: Leveloppeinent cle In Partie elementcUre lies lVIs-iliematigues, par Vertrauä lle 6eneve, finden.)

Nimmt man 2 —und bildet nach einander

^8 2a ——i

t§4a-

1 — tga2 tg2a

t—t§2a

120

Hs'

so sieht man, daß der Bogen 4a nur um Weniges größer istals 45°, weil die Tangente des erstem die des zweiten nur um

^ übertrifft. Macht man nun 4a—24, und45° —L, so

findet man für den Bogen 24 — 8, den ich mit k> bezeichne,

rg24 —txL ^ i1-f-tg24.t^8 239

1 1>

also areoz 45°----4a— k>; aber da tAa—- und

tg (24—8).

.tgk>:

so kommt

LAS'

3.5» ' 5.5»

-rc.

b —woraus folgt

239 3(239)» ' 5(239)» 7(239)"

45° oder 0,^5-

3.5» 5.5»

_*

V239 3(23

7.5"

-l- —7-

39)» ' 5(239)»

9.5«

7(239)

7 ^ H.

Die Berechnung der erstem Reihe ist sehr leicht, wenn man daauf Acht hat, daß sie gleichbedeutend ist mit