Dieses Verhältnis;, welches zuerst in den l>lo'moire8 der^caäemie cke« Seieuvss, Jahrgang 1719, erschien hatte einenDruckfehler in der IlZte» Dezimalstelle, den ich hier nach derAnzeige von Vega verbessert habe.

§. 44. '

Es wäre möglich, noch konvergentere Reihen zu bilden, alsdie ist, welche den Bogen 30° ausdrückt, wenn man kleinereWogen anwendete, deren Tangente durch die Rechnung genaugegeben wäre, z. B. die des Bogens 15°; aber man verfielealsdann auf mehr und mehr verwickelte Irrationalzahlen: mankam also zurück zum Bogen 45°; aber anstatt ihn auf einmalzu berechnen, dachte man sich ihn in mehrere Theile zerlegt,deren Tangenten Rationalzahlen wären.

Unter mehrern Bestimmungen dieser Art bemerkt man zuerstdie von Euler, welcher gefunden hat, daß der Bogen 45° gleichist der Summe zweier Bogen, deren respective Tangenten sind4 und Diese Behauptung kann bewahrheitet werden, wennman — 4 -, rgL —s setzt, in der bekannten Formel

welche alsdann gibt tg(4,-s-L) —1, also ^-st-45°; undda man hat

. 1 i .

^ —-n.-—-u ^

2 3 . 2 ^ 5 . 2 - 7 . 2 '^

3 3 . 3 ^ 5 . 3 - 7 . 3 ' ' '

so schließt man daraus

5 . 4 '

7.9-

eine Formel, welche sehr geeignet ist, um in Zahlen ausgedrücktzu werden.

Ehe Euler die vorigen Reihen bekannt machte, hatte derenglische Geometer Machin eine ähnliche Idee, und war seit1703 zu einem weit konvergenteren Werthe des Bogens 45°gekommen, welcher aber lange in Vergessenheit geblieben ist, ob-gleich von dem genannten Geometer bekannt wurde, daß er dasVerhältniß der Peripherie zum Diametec, welches Ludolph vanCeulcn nur bis zu 35 Dezimalziffern berechnet hatte, bis zu