68

Formel negativ, in der zweiten positiv, nnd indem man beidergegenwärtigen Voraussetzung eben so schließt, wie in den vori-gen, so fände man abermals zwei Resultate mit verschiedenenZeichen; da nun aber dieser Umstand nicht statt finden kann, somuß man daraus schließen, daß D, weder großer noch kleinerals 1 seyn kann, und folglich muß L, —1 scyn.

Weil nun —1, so findet man, nach der Gleichung-f- 2^2 —0, ^2 — — 4, und hieraus

cosx^l-^-s-n^-

1 . 2 . 3 . 4 . 5.6

-re.

8IUX —X-

1 . 2.3 ' 1 . 2 . 3 . 4.5 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6.7

-rc.

Dieses sind die Ausdrücke des Sinus und Cosinus, entwickelt nachden Potenzen des Wogens; ich werde weiter unten zeigen, wieman daraus den Werth des Bogens selbst herleitcn kann.

§. 40 .

Die Betrachtungen, welche uns zur Bestimmung von U,gedient haben, beschranken sich nicht blos auf die Ausdrücke, mitwelchen wir uns im vorigen §. beschäftigt haben; man kanndaraus ein allgemeines Prinzip herleiten, welches durch seineAnwendungen auf die Theorie der Curven und aus die Mechaniksehr beachtenswerth ist.

Folgendes ist die Aussage dieses Prinzips:

Es seyen folgende drei Ausdrücke

^4 -st Dx -st Lx? ^ Dx? -st-s-L'x -st 6x- -st O'x- -strc.

-st Ist'x -st 6"x- -st 6>"'x- -st rc.

von der Beschaffenheit, daß die Werthe des zwei-ten immer zwischen den Werthen des ersten unddritten liegen: wenn nun diese beiden letzter» Aus-drücke dasselbe erste Glied haben, so wird es noth-wen. dig demdes zw eiten Ausdrucks gleich sepn; d. h.wenn -4", so kann man daraus schließen, daß

Um den Satz zu beweisen, nehme man für x einen solchenWerth an, der geeignet ist, die Summe aller nach den erstenfolgenden Glieder in jeder der vorhergehenden Reihen zu einergegebenen Kleinheit zu bringen, und in diesem Zustande stelleman sie vor durch