66

1.2.38

1.2.3.4.58

22^^x 2^^.^ 2^^x'

1.2.3.4.5.6.7.8i

und wenn man für 2^ seinen Werth —setzt, so kommt, nach

den Reduktionen

8,^

4.5. 6.7

1 . 2 . 3 . 4.5

1.2.3

§. 39 .

Hier nun sehn wir uns, gerade wie bei den Exponentional-Funktionen, durch die Bestimmung des ersten Coeffizienten ge-hemmt; denn wenn 8, bekannt ist, so erhalt man den Werth von2^2 und umgekehrt. Ferner, wenn man die für cosx gefundeneReihe prüft, so sieht man, daß sie den Radius übcrtrifft, wasbeim Kreise nicht statt finden kann; man wird also zu der Ver-muthung geführt, daß 2^ eine negative Größe seyn müsse, undzwar um so mehr, weil der aus der Gleichung 8, ^-s-2^ — 0hergeleitete Werth von 8^ so lange imaginär seyn wird, als2^.2 positiv ist. Diese Schwierigkeiten werden durch die Bestim-mung von 81 aufgeklärt werden, und wir werden in der FolgeGelegenheit haben, zu zeigen, daß sie darin ihren Grund haben,weil die Gleichungen, von welchen wir zur Herleitung der Ent-wickelungen von cosx und siir x Gebrauch gemacht haben, Elgen-thümlichkeiten ausdrückcn, welche dem Kreise und der Hyperbelgemeinschaftlich sind.

Archimedes hat zuerst gezeigt, daß die Peripherie eines Krei-ses kleiner ist als der Umring des umgeschriebenen Polygons,und größer als der des eingeschriebenen Polygons von einergleichen Anzahl von Seiten; es folgt hieraus, daß ein Kreisbo-gen allzeit kleiner ist als als seine trigonometrische Tan-gente, und größer als sein Sinus; aber man weiß, daß

Um «lux in der ersten der obigen Relationen auszu-

81NX 81HX

cosx

LIN X

man hat also

8INX <^X