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(m-s-n) (in-j-n —1).srnff-1) ,

oder, wenn man für seinen Werth setzt, nnd die gemcin-

schastlichen Faktoren im Zahler und Nenner gegen einander aufhebt,

2 ^ ^ ' _

1.2.3_uiX1.2.Z....n'

ein Resultat, welches genau derselbe Werth ist, den wir weiter obenfür den Koeffizienten von m»x" auf der zweiten Seite,

gesunden haben.

Es ist also nun strenge bewiesen, daß

cosx—1

2^,, x-

1.2

--- — -- —

1.2.3.4 ^ 1.2.3.4.5.6 ^

tz. 38.

Man kann auf eine ähnliche Weise den Ausdruck des SinuSfinden; denn zieht man die Gleichungen

cos (xff-u) — cos x cosu — si» x «in ucos (x—u) — cosx cos uff- si» xsiu u

von einander ab, so erhält man

cos (x-s-u)'—cossx—u) — — 2 sin X sin u.

Setzt man statt cns(xff-u) und cos (x—u) die im vorigen §. hcr-geleiteten Werthe, so sieht man, daß alle Glieder, welche mitgeraden Potenzen von u behaftet sind, sich wechselseitig vernich-ten. Es folgt hieraus, daß sie in den Ausdruck für den Sinusnicht cingchen können; und man erkennt dieses übrigens auchaus andern Gründen, weil der Sinus das Zeichen ändert ohneseinen Werth zu ändern, wenn man den nämlichen Bogen ne-gativ nimmt, d. h. auf der andern Seite des Diameters, eineEigentümlichkeit, welche nur den ungeraden Potenzen angehö-ren kann.

Man kann also setzen

s!»x — lkjX ff- DzX'' ff-LzX* ff- L^xUrc.sinn — DjUff-Lzr^-f-Lz n°-s- ul ff- rc.;

mit Hülfe dieser Werthe, und der Reduktionen, die sich vonselbst darbietcn, wird die Gleichung

cos (xff-u) — cos (x—u) — — 2 sin x sin u

sich verwandeln in