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Kreis-Funktionen.

tz. 3 7.

Die Trigonometrie Hot uns eine Art Funktionen kennen ge-lehrt, welche nicht weniger bedeutungsvoll sind, als diejenigen,womit wir uns so eben beschäftigt haben; dies sind die Sinusund Cosinus der Kreisbogen. Ich werde jetzt zeigen, daß mansie nicht nur in Reihen entwickeln, sondern sogar ihre bedeu-tendsten Eigenthümlichkeitcn aufsindm kann, indem man von denFormeln ausgeht, die säst in allen Elemcntarbüchecn zur Be-rechnung der Sinus und Cosinus der Summe und der Diffe-renz zweier Bogen enthalten sind.

Ich beginne mit der Aufsuchung des cosx, und ich nehmean, daß x in x-fti- und in x —>r übergeht; die angeführtenFormeln geben in diesen beiden Fällen:

cos (x -ft n) — cos x cos rr — sin x «tu 11 *)

welche die rcspcktivcn Grade der Multiplikation der Verhältnisse- - ausdrücken.

1 1 g

Nimmt man z. B. die gewöhnlichen Logarithmen der Zahlen 2 und3, so findet man

i, 3010300 4771213 ,

io ^ looooooo ^ -ii ^ 10000000'

woraus sich ergibt

Mit dem Verhältnisse (io)i°»»(nr°ö werden also die zusammengcsetz-2 3

tcn Verhältnisse ^ und ^ verglichen. Sic sind hiermit nur annähe-rungsweise gemessen, denn wie wenig auch die Zahl ( 10 ) ^>>"»'00015von der Einheit verschieden ist, so eristirt doch immer ein Intervallzwischen jeder ihrer verschiedenen Potenzen; aber dieses Intervallwird ohne Aufhören kleiner, je größer der Grad der aus der Basisansgezogencn Wurzel, d. h. die Zahl m, wird; und mithin stimmt

die Grenze der allgemeinen Gleichung -> —(l-i-^" vollkommen mitdem durch die Zahl kt charaktcrisirten Logarithmcnsystcmc überein.Der umgekehrte Werth , oder dl, wird von CvtcS der Modu-lar-Exponent genannt.

*) In Allem nun Folgenden nehme ich den Radius gleich der Einheit

lp X 301VZ00 ^ / _1V 4 7 7 1 2 I 5