blos auf die mit der ersten Potenz von x behafteten Gliederbeschränkt, ^ —m

Es ist leicht zu ersehen, daß diese Demonstration durchausunabhängig von der Natur der Zahl n ist, und daß sie keinenfehlerhaften Kreisschluß in sich erhält, wenn man sich erinnert,daß wir in der Aufsuchung der Entwickelung von 1oA(1-six)nur auf ganze Potenzen des Binoms gestoßen sind.

§. 36.

Die Betrachtung der Grenzen führt ebenfalls sehr gut zuder Entwickelung der Erponential- und logarithmischen Funk-tionen: dieses will ich jetzt zeigen, und mit letztem beginnen.

Die elementarste Methode zur Berechnung der Logarithmenbesteht in der Ausziehung einer Wurzel aus der Basis von einemsehr hohen Grade, und die, da sie sehr nahe der Einheit kommt,den Exponenten einer Quoticntenprogression bildet, deren Gliederin hinlänglich kleinen Differenzen wachsen, um daraus, wenig-stens auf eine hinreichend annähernde Weise, die Zahl zu be-stimmen , deren Logarithmus man sucht. Diese Zahl ist alsdanndurch eine Bruchpotcnz der Basis ausgevrückt, und der Expo-nent dieser Potenz ist der gesuchte Logarithmus. Um mit Sicher-heit die Formel des Binoms zur Ausziehung der Wurzel auSder Basis gebrauchen zu können, muß man annehmen, daßdiese Basis wenig verschieden von der Einheit ist, welches immererlaubt ist, weil, wenn man die Logarithmen in einem bestimm-ten Systeme kennt, dieselben in jedem andern leicht gefundenwerden können. (Mein. ä'AUgöbre.)

Es sey also 1-j-/? diese Basis, so ist

(-

2.3

^ -l- rc.,

eine Reihe, die immer konvergent ist, wenn mj>l und(§. 9.) Schreibt man sie folgender Maßen:

^ - 1 - '

so sieht man, daß

wo die Reihe zwischen den Parenthesen bezeichnet, und derenGrenze für einen unendlichen Werth von m (§. 13.) ist.