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Schreibt man n-fi- statt m, so bekommt das vorige Resultatdie Form

und wenn 2 — 1, so wird es

I°S(«-fich-j^^ ^

Reihen, welche um so konvergenter sind, je größer n ist. Diezweite liefert mit vieler Leichtigkeit die Logarithmen der aufein-ander folgenden Zahlen, und man kann sie mit Nutzen zurBestimmung des Modulus gebrauchen. Setzt man darin fur'sErste n — 1, so findet man sür log 2 denselben Werth wie§. 29; aber da das Doppelte des Logarithmus von 2 den von

4 gibt, so kann man u-— also

-4 setzen, und alsdann kommt ^

2n-s-1

eine sehr konvergente Reihe. Hat man auf diese Weise dmNeperschcn Logarithmus von 5 berechnet, und addirt dazu denvon 2, so erhält man den Neperschcn Logarithmus von 10.

Die Reihe

-chj -s--c.)

ist sehr geeignet zur Berechnung des Logarithmus einer Zahl,welche die Grenzen der Tabellen überschreitet.

Gesetzt nämlich, diese Tabellen enthielten nicht die Zahlenüber 10000, und man verlangte den Logarithmus von 125283,so muß man diese Zahl in zwei Theile zerlegen, wovon der einesich in den Tabellen findet, und dieses kann geschehen, indemman sie gleichsetzt 125200-s-83, weil der gewöhnliche Logarith-mus von 1252 unmittelbar den von 125200 liefert: man setzealso n —125200, und 2 — 83. Die Reihe wird alsdann fort-schreiten nach den ungeraden Potenzen von ^44^, eines Bru-ches, der kleiner ist als

tz. 32.

Der Ausdruck von log^, welcher von den ungeraden Po-tenzen vonabhangt, ist die Quelle unzähliger Formeln,

welche geeignet sind zur Berechnung eines Logarithmus in immer

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