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in welcher ^,, ^4., rc. die von x unabhängigen Coefsi-zientcn sind, und die unterhalb stehenden Ziffern 0, 1, 2, rc.den Exponenten derjenigen Potenz von x andeuten, die denBuchstaben multiplizirt, wobei sie stehen; ^ wird also der Coef-sizient von x^ seyn. Diese Bezeichnung, welche anfangs etwaskomplizirt zu seyn scheint, ist nichts dcstoweniger sehr bequem,und sehr geeignet, das Gesetz, welches zwischen den Werthender Coefsizienten obwaltet, deutlich zu machen.

Man wird vielleicht die Frage aufwerfen, welcher Umstanddie Wahl der Reihe bedingt habe, und warum sie nach steigen-den Potenzen x fortschreite: es ist leicht, diese Fragen zu beant-worten. Die Funktion s* wird nämlich der Einheit gleich, wennman darin x---0 setzt, und wenn man der Reihe Form gegebenhätte:

so sieht man, daß, unter derselben Voraussetzung, alle Gliederder Reihe unendlich groß werden; letztere Form also konnte dievorgegebene Funktion nicht verstellen. Im Allgemeinen, wenndie Form der Reihe mit der gesuchten Entwickelung nicht über-einstimmte, so würde die Rechnung auf widersprechende Bezie-hungen zwischen den Coefsizienten führen. Es folgt hieraus, daß,um auf die Resultate der Methode der unbestimmten Co ef-fizienten, die ich hier anwende, bauen zu können, man sichvergewissern muß, daß man nicht auf widersprechende Beziehun-gen stoßt, wie weit man auch die Rechnung treibt; letzterer Um-stand ist es, den man nicht würde erklären können, in dem Fallewo die Reihe unendlich ist, es sey denn, daß man das Gesetzangeben könnte, welches die Glieder der Reihe befolgen.

Nachdem dieses festgesetzt ist, so verwandelt sich die Funk-tion s^, wenn x in x-j-u übergeht, in da aber die Koeffi-zienten rc. unabhängig sind von jedem speziellen

Werthe von x, so muß man auf gleiche Weise haben:

und -s-rc;

und da s*x so muß das Produkt der beiden ersten

Reihen gleich seyn der letzten. Um die verschiedenen Partialpro-duktc zu ordnen, reicht es hin, in der obern Reihe jedes Mal einGlied weniger zu nehmen, wenn man den Multiplikator in deruntern Reihe wechselt, und alle Glieder, welche aus derselben