§. 18.

Wir haben zur Bestimmung der Coeffizienten L, L, O, v rc.nur diejenigen Glieder der Gleichung (4.) gebraucht, wclcye mitder ersten Potenz von u behaftet sind; indessen dürfen wirschließen, daß die übrigen in jedem Gliede identisch sind; dennwäre dieses nicht der Fall, so folgten daraus neue Gleichungen,denen unmöglich Genüge geschehen konnte, da die Größen ei,L, E, v, rc. schon bestimmt sind, und es wäre also falsch,wenn man sagte, die Entwickelung von ( 1 -ftx)'" könne durcheine Reihe von der Form i ft-eix ft-Vx-Lx? ft-rc., die zu allenWerthen von x paßt, vorgestellt werden.

Wenn schon dieses Raisonnement vollkommen die Richtigkeitder erhaltenen Entwickelung zu beweisen scheint, so will ich, umnichts zu wünschen zu lassen, dennoch zeigen, daß die übrigenGlieder der Gleichung (4.) sich gegenseitig vertilgen.

Zu diesem Behufs nehme ich den Ausdruckft- (x ft- u) ft. u)- ft- 6pm^ (x ft- u)- -ft

»(xft-u)* ft- rc.

der Gleichung wiederum auf, dessen Entwickelung die erste Seiteder Gleichung (4.) bildet, und ich bemerke, daß man diese Ent-wickelung mit Hülfe des Vorigen ausführen kann, da die Coef-sizienten ei, L, 6, v, rc. bestimmt sind. Sucht man nämlichdiejenige Größe, mit welcher irgend eine Potenz u» derselbenmultiplizier scpn muß, so ist leicht zu ersehen, daß man zu rwnicht vor dem Gliede, welches mit (xft-u)" affizirt ist, gelangenkönne, daß man aber von diesem aus obige Potenz in allenGliedern findet, so daß also, wenn man die Potenzen von(xft-u)», (xft-u)n-7-i, rc. entwickelt, und mit u, statt mit x an-fängt, welches einerlei ist, u" im ersten Gliede bei der erstenEntwickelung, im zweiten Gliede bei der zweiten, u. s. w. Vor-kommen wird.

Gesetzt also, daß man in der vorgegebenen Reihe folgendeGlieder habe:

(x ft- u)" ft- Op^-"-i(xft-u)"^-i ft-i;^m-n-2 (x ft-u)"-i-r

ft- Sp'n-n-a (xft-u)"-i-a .

so folgt daraus für den Coeffizienten von rw,

m—n—1 .

lr

H(nft-I)

1.2

(nft-3)suft-2)(n-s-1). . ,

-ft - ^ Spm-»-3x-ft_ ;

aber nach dem Gesetze, welches wir für die Coeffizienten derEntwickelung von <p-j-x)-" gefunden haben, muß man haben