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8- 16.

Man weiß schon, daß die zweiten Glieder jener erstemPotenzen sind: x, 2,,x, lch>-x, rc.; cs scheint natürlich, darausnach Analogie zu schließen, daß das zweite Glied von (p-j-x)-"sey: iuxm-cx: es bleibt uns also blos diese Behauptung zubeweisen übrig, um im Stande zu seyn, alle Cvcffizienten dergesuchten Entwickelung anzugeben.

Unter der großen Anzahl von Mitteln, dahin zu gelangen,wähle ich das folgende, welches Euler in einem der sinnreichstenBeweise des binomischen Satzes angcwendet hat, und welches ichschon an andern Orten vorgebracht habe, (Eomplom. äesLIomeusck'HAölire.)

Welches auch immerhin der Coeffizient von x im zweitenGliede der Entwickelung von (1-s-x)»> seyn möge, er ist noth-wendig eine Funktion blos vom Exponenten m, und ich bezeichneihn daher mit 5(m), wobei der Buchstabe 5 eine Abkürzung deSWortes Funktion ist. Nach dieser Uebereinkunft erhält man(1-j-x)>"---1-j-x 5(m)-j-rc.

und eben so

( 1 -s-x)" — 1-j-x k(r)-s-rc.

Multiplizirt man diese beiden Gleichungen mit einander, so erhältman

(1 -s-x)"-l-r 1 -j- x (k(m) -I- k(r)) -s- rc.;

aber nach der angeführten Bemerkung hat man auch

(1-s-x)"^ — i -p- xk(m-l-i-) -s- rc.,

wo k sm-j-i-) aus m^-r auf dieselbe Weise besteht, wie undL(i) bezüglich aus m und r; und indem man die obigen beidenEntwickelungen vergleicht, so folgt

k(m-j-i) —k(m)-j-ksi),

eine Gleichung, welche das charakteristische Merkmal der durchk bezeichnten Funktion ausdrückt.

Verwandelt man r in r-s-«, so wird die vorige Gleichungk(il-I-r-s-s) —k (m) -j- F(r-j-s) ;dieselbe vorige Gleichung gibt aber auchk(r-^5) ^F(r)-i-k(s),

mithin ist k(iii-j-i'-j- 8 )^:k(lii)-j- k(r) -j- 5( 5 ).

Setzt man s-j-r statt s, so kommt

(5ir>-str->-8-!-t) — 5(m) -j- k(i) -j- k (8) -j- k (t) und so fort.Nachdem dieses festgesetzt ist, so erhält man1. wenn i — 1 gesetzt wird

k(,ii-j-1)---k(iii)-i-5(1), oder k(mst-l) —k(iri) -j-1;