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Um die Grenze desselben zu finden für den Fall, daß ximmer kleiner und kleiner wird, müssen die Glieder des Zählersund Nenners nach der Reihenfolge der Exponenten von x sogeordnet werden, daß man mit demjenigen Gliede beginnt, inwelchem x den kleinsten Exponenten hat; und alsdann gebe manihm die Form

x« (/I -f-.) .

x--' (.V t7x^-«' -j-.)'

Man unterscheide nun drei Fälle, nämlich:

In dem ersten wird das Verhältnis!, auf den kürzesten Ausdruckgebracht, folgendes seyn:

x«-«' (R -i- Ux -^" -s-6x^"« -s-. .

-j- 6 x^.

und sein Zähler allein verschwindet, wenn X—0 wird; er nähertsich also dem Werthe Null um so mehr, je mehr x abnimmt.

Nicht so verhält cs sich, wenn « —denn dann verän-dert sich der Ausdruck in

.V -s-Lx§-« -j-6x^« -I-.

Z- L'x§'-«' -ss 6'x^"«' -i-.'

und wenn die Anzahl der Glieder des Zählers und Nennersendlich ist, oder wenn es möglich ist, durch passende Werthevon x die Summe der Reihen

Dx^« -s- L x^« -ss-. ....

D'x/r'-«'-j-.'

immer kleiner und kleiner zu machen (§. 9.), so wird obiges

Verhältnis; sich ohne Aufhören dem bestimmten Bruche nähern,

und dieser ist seine Grenze. Es ist zu bemerken, daß man un-mittelbar zu dieser Grenze gelangt, wenn man x —0 macht.

Im dritten Falle, in welchem «-<-/ ist, schreibe man dasvorgegebene Verhältnis; auf folgende Weise

^-s-Lx§-« -s - -s-..

x«'-« -s- L'x^ -s- .)'

und da jetzt durch die Annahme x —0 der Zienner verschwin-det, während der Zähler sich auf rl reduzirt, so wird es unend-lich, und hat also keine Grenze.