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um so näher zu kommen strebt, je kleiner die Wcrthe von xwerden, mag man sie nun positiv oder negativ annehmen.

In der Folge werden die geometrischen Betrachtungen denZweck dieser Bemerkung in noch helleres Licht setzen; aber es istvon anderer Seite klar, daß die Einwürfe, welche man in die-ser Beziehung Vorbringen könnte, keinen Grund haben, denn daeine Definition von Wörtern immer willkührlich ist, so dürfenletztere beim Gebrauche allemal nur in der ihnen beigclegtenBedeutung angewcndet werden: nun entsteht aber die Anwen-dung der Grenzen aus Sätzen, deren Wahrheit blos beruht aufder Möglichkeit zu beweisen, daß eine veränderliche Größe sichihrer Grenze so sehr nähern kann als man will. Folgende sinddie bedeutendsten:

1. Zwei Größen, welche die Grenzen der näm-lichen Funktion sind, sind einander gleich.

Denn gesetzt, dieses wäre nicht der Fall, so müßten dieseGrößen eine Differenz haben, und folglich könnte die vorgege-bene Funktion sich zu gleicher Zeit der einen und der anderndieser gegebenen Größen nur bis zu einer gegebenen Größe nä-hern, welches der Definition der Grenzen widerspricht.

2. Die Grenze des Verhältnisses zweier Funktionen ist demVerhältnisse ihrer Grenzen gleich.

Es seyen p und g die entsprechenden Grenzen der Funk-tionen r und so hat man allgemeinl> —x-ff«, (Z —g-j-/?,

wo u und Größen bezeichnen, welche zusammen abnehmen,und zu gleicher Zeit verschwinden; es wird also scyn:k ^ x-i-« p-ff« ^ x ^

ein Bruch, dessen Nenner nicht kleiner werden kann als <ss,während der Zähler ohne Aufhören um so kleiner wird, je kleiner« und werden, oder je' mehr sich die Funktionen 1' und y

n . i»

ihren Grenzen nähern: es ist also (§. 10) ^ die Grenze von

tz. 12.

Folgender sehr allgemeiner Ausdruck^.x" -s-Ox^ -j-....

-j- D'x^' -j- -j-....

umfaßt eine unendliche Anzahl von Fällen, in welchen das Ver-hältnis: zweier Funktionen endlich oder angebbar bleiben kann,obgleich eine jede für sich Null oder unendlich seyn mag.