liegt, die demselben gegeben werden muß, um alles dasjenigezu erfassen, was sich darauf beziehen kann.

Wenn man im vorigen Beispiele die Bemerkung fest halt,daß, wie weit man auch die Zunahme von x treiben möge,

man dennoch nie den Bruch als Null ansehen könne, so

würde man hieraus mit Recht schließen, daß die Funktion

obgleich sie sich ohne Ende der Grenze s nähern könne, dennochnie dieselbe erreichen, und noch viel weniger sie übertreffen werde;aber es wäre verkehrt, wenn man diesen Umstand in die allge-meine Definition des Wortes Grenze als Bedingung aufneh-men wollte: man würde dadurch die Verhältnisse verschwinden-der Größen ausschließen — Verhältnisse, deren Existenz unum-stößlich ist, und von denen eine große Anzahl in der Analysisvorkommt.

tz. 11.

Vergleicht man die Funktionen ax und sx-f-x?, so findetman, daß ihr Verhältniß, auf den einfachsten Ausdruck gebracht,

offenbar ist, und daß dieses sich um so mehr der Einheit

nähert, je kleiner x wird. Es wird genau k, wenn x^O;aber wie können die Größen sx und sx-s-x?, welche alsdannvollkommen Null werden, ein bestimmtes Verhältniß zu einan-der haben? Dieses scheint nicht leicht begreiflich; und man ver-schafft davon nur dadurch einen klaren Begriff, wenn man dieGröße 1 als eine Grenze bezeichnet, welcher sich das Verhältnißder Funktionen »x und sx-^-x^ so sehr nähern kann, als manwill, indem die Differenz

s-j-x 3-fix

kleiner als jede gegebene noch so kleine Größe werden kann.

Von einer andern Seite kann das Verhältniß der

Größen sx und sx-j-x? nicht allein die Einheit erreichen, wennman darin x—0 macht, sondern sie übertreffen, wenn man x

negativ annimmt, weil es alsdann wird, eine Größe, welche

die Einheit übersteigt, wenn x<>. Dieser Umstand scheint mirdie Idee einer Grenze keineswegs zu widersprechen; denn mankann den Werth 1, welcher x —0 entspricht, als eine Größeanjehen, welcher das Verhältniß der Funktionen sx und sx-^-x»