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Hätte man z. B. die Reihe

2 (10)- X -4 4 (10)» X- -si 6 (10)e x° -s- 8 (10)° X» ic,,deren Gesetz darin besteht, daß zwei aufeinander folgende Glie-der allgemein bezeichnet werden können mit

2n (10)-"x"-j- 2 (n-s-1) (10)---^-x»^',so würde man finden, daß das Verhältnis; der Cocfsizicnten die-ser Glieder wäre

n-s-1

N

( 10 )-;

setzt man nun nach einander

II —1, n —2, n —3, w

so wird die Größe —uaü) einander

o Z 4 ^ .

ihr größter Werth ist also 2, und folglich ist 200 das größteVerhältnis;, welches zwischen zwei auseinander folgenden Glie-dern existirt. Setzt man r —200, x—und bezeichnetfortwährend mit ^ das erste Glied, so wird die Summe aller

übrigen kleiner scyn als , und folglich kleiner als das erste

Glied sobald man nur g—2, also x—setzt.

Wie weit auch immerhin der Erfolg des vorigen Verfah-rens, um Reihen konvergent zu machen, sich erstrecken mag, sogibt es nichts desto weniger Reihen, deren Divergenz sich nichtändern läßt; dies sind solche, in welchen das Verhältniß derCoefsizienten fortwährend wächst. Die Reihe

1-s-1.2x-s-1.2.3x--s-1.2.3.4x--s-rc.bietet ein Beispiel dieses Falles dar.

Der Ausdruck für irgend zwei auf einander folgende Gliederin derselben ist

1.2.3.... O-s-1) x" -j-1.2.3.04-2) x"-l",und ihr Verhältniß, (n-s-2)x, wächst ohne Aufhörcn mit derZahl n, welche letztere keine Grenze zuläßt: wie klein also auchimmer der Werth seyn möge, den man dem x ertheilt, so wirdimmerhin, da dieser Werth derselbe bleibt in der ganzen Reihe,die Größe (n-s-2)x endlich die Einheit übersteigen, und ohneEnde wachsen.

Dieses Beispiel reicht hin, um deutlich zu machen, daßman sich nur mit vieler Vorsicht der Reihen bedienen darf, wennman vermittelst derselben annähernde Werthe zu erhalten beab-sichtiget.