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tz. 9.

Wenn man über die Größe x nach Willkühr verfügen darf,so ist es leicht eine Reihe von der Form^ -j- Lx -s- 6x^ -j- l)x^ -s- rc.,

in welcher das Verhältnis; der auf einander folgenden Coefsi-zienten ^ und L, L und t! rc. nicht bis in's Unendliche wach-sen kann, wenn schon diese Coefsizienten immer größer werden,so konvergent zu machen als man will. Dies crgiebt sich, wennman die vorgegebene Reihe vergleicht mit einer Quotientcnpro-gression, wie wir in den vorigen Paragraphen schon gethan ha-ben; und man überzeugt sich durch dieses Mittel, daß immerein Werth von x existirt, der das erste Glied größer als dieSumme aller übrigen zu machen im Stande ist.

Gesetzt nämlich, es seyen Ux"-s-?x»^ diejenigen Glieder,in welchen das Verhältnis; der aufeinander folgenden Coefsizien-ten den größten Werth hat; bezeichnet man dieses Verhältnis;mit r, und bildet die Quotientenprogression

-s- ^.rx -s- -j- ^.rV -s- rc.,

so werden alle Coefsizienten ^r, rQ?, rQ*, rc. der Potenzenvon x die Coefsizienten L, 6, Q, rc. übcrtreffen, weil r größer

ist als rc-; und legt man das erste Glied ^ bei

Seite, so wird man finden, daß die Summe der Glieder^.rx -j-^r-x- -j- -Q'x? -f- rc.

die der Glieder

kx-j-6x--I-I)x?-f-rc.

der vorgegebenen Reihe übcrtreffen wird. Nun ist^rx-s-^r^x^-s-^r^x^ -s-rc. —

ein Ausdruck, dessen Werth man so klein machen kann, alsman will, indem man für x einen passenden Werth setzt; denn1

nimmt man X —— , so erhält man

rg

^.rx

1 — rx g—1/

eine Größe, die ohne Ende abnimmt, je größere Wcrthe mang nacheinander ertheilt.

Die Summe aller Glieder der vorgegebenen Reihe, vom

zweiten an gerechnet, kann also, da sie kleiner ist als^-^^, so

klein werden, als man will, und in ein jedes beliebige Verhält-nis; zum ersten, ^1, gebracht werden.