6

Funktion zugehöre. Um die Wahrheit dieser Behauptung

einzusehen, ist es hinreichend, zu bemerken, daß die regelmäßigeEntwickelung einer Funktion, in ihrer ganzen Ausdehnung ge-nommen, die Gleichung, welche diese Funktion charakterisirt,

wahr macht. Setzt man in dem gewählten Beispiele

so folgt daraus die Gleichung

s — (a—x)^ —0,

und wenn man statt der Funktion > ihre Entwickelung

. , X , X- , ,

substituirt, so sieht man, daß, wie weit man auch die Rechnungtreiben möge, die Glieder sich fortwährend vernichten. Manbegreift leicht, daß dasselbe bei jedem andern Beispiele der Fallseyn wird, deren übrigens in der Folge bei der Differential-und Integral-Rechnung eine große Anzahl Vorkommen wird.

§. 5.

Um also mit Sicherheit eine analytische Entwickelung an-wenden zu können, hat man sich nur von der Regelmäßigkeitder Reihe, welche sie ausdrückt, zu vergewissern, d. h. das Gesetzfestzustellen, nach welchem alle ihre Glieder fortschrciten, undmit Sorgfalt die Convergenz der Zahlenreihen zu untersuchen, umdaraus annähernde Werthe zu bekommen von derjenigen Größe,von welcher jene Reihen abgeleitet sind; indessen darf man sichnur dann auf die Richtigkeit dieser Bestimmungen gänzlich ver-lassen, wenn man im Stande ist, die Grenzen der Differenzzu bezeichnen, welche sich zwischen jenen und dem wahren Wer-the crgiebt. Damit die Annäherung passend und sicher sey, istes nöthig, daß diese Differenz um so rascher abnehme, je größerdie Anzahl der Glieder ist, welche man nimmt, und daß siekleiner werden könne, als irgend eine jede gegebene noch so kleineGröße. Es ist einleuchtend, daß diese Bedingungen nur dannerfüllt werden können, wenn die Glieder der vorgegebenen Reiberasch abnehmen, weil jedes Glied das Resultat nur um immerkleinere und kleinere Differenzen ändern darf. Die Untersuchung,welche ich jetzt, nach d'Alembcrt's Vorgänge, über die Conver-gcnz der Reihen beginnen will, die aus der Entwickelung derPotenzen eines Binoms entstehen, wird die vorstehenden Be-merkungen hinreichend ins Licht setzen.

Bringt man ihren analytischen Ausdruck unter die Form