4

ist, sobald die andere cs ist, und umgekehrt. Man unterlassenicht zu bemerken, daß ich keine Rücksicht auf den Halbmessergenommen, (wenn schon die Größe des sinus auch von diesemElemente abhängig ist) da ich nur einen einzigen Kreis vorAugen hatte.

Man begreift unter der Bezeichnung algebraische Funk-tionen alle diejenigen, welche aus algebraischen Operationenhervvrgehen, oder in welchen die Verknüpfung zwischen den un-bestimmten Größen, wovon die Funktionen abhangen, durch einealgebraische Gleichung ausgedrückt werden kann.

§. 3 .

Die algebraischen Funktionen erhalten immer eine begrenzteAnzahl von Gliedern, wenn man sie in der ihnen cigeuthüm-lichen Form ausdrückt. Diese Eingeschränktheit ist wesentlich;denn wenn man durch ein Aggregat von Monomen einen eigent-lichen Bruch, der einen binomischen oder polynomischen Nennerhat, ausdrückcn will, so kommc man auf eine unendliche Reihe.

Der Bruch - ^ z. B. liefert, wenn er durch die Division,oder auf sonst eine Weise entwickelt wird, die Reihe:

V VA v»

a 3^

und der Quotient wird nie schließen. Eben so verhält cs sichmit den Wurzeln der Polynome, welche keine vollkommene Po-tenzen (des Wurzelexponenten) sind, wenn man sie rational aus,drücken will, oder durch eine Reihe von Monomen.

Es ist bekannt, daß die Ncwton'sche Formel zur Entwicke-lung der Potenzczr eines Binoms sich nicht schließt, wenn derExponent eine negative oder Bruchzahl ist.

Aber es gibt Funktionen, die man in keinem Falle durcheine begrenzte Anzahl von Gliedern ausdrückcn kann, die einealgebraische Besonnenheit haben: solche sind z. B. die Logarith-men, welche^ nvir annäherungsweise bestimmt werden können,und von einer knM^lichen Anzahl von Wurzelauszichungen ab-hängig sind; dieAnus und cosiims, welche man nicht vermit-telst ihrer BoHvb/kntwickeln kann, ohne eine unendliche Anzahlvon algebraisch Operationen zu durchlaufen: derartigen Funk-tionen gibt ikkan den Namen transzendente. Diejenigen,welche ich eben nahmhast gemacht habe, sind nicht die einzigendieser Art; die Fortschritte, welche die Analysis gemacht hat,haben deren noch viele andere cingcsührt, und können ihrer un-zählig viele darbicten. Dies ist der Ursprung der Reihen. Ob-