Arithmetica

18

nes: maior terminus a minore termino duplicato minore termino differt. Ut ſi ſint .i. 3. 9. tres ab vno:binario differunt: in quem vnitas ideſt minor terminus duplicatus exundat. ⁊ 9. a tribus ſenario differunt: quem ternarius duplicatus educit. Et in alijs cūctis eiuſmodi ratio reperietur. Sin v̓o quadruplicesſint: triplicato minore termino maior terminus a minore diſtabit. Et ſi quinquupli: quadruplicato. ⁊ ſi ſexcupli: quīquuplicato: ⁊ vna minus multiplicatiōe quāeſt ipſa minorum ad maiores comparatio terminorūminorem numerus maior exuperat.Differentie duple.I1 21 4 1 8 1 16 32 64 128 111 2 4 8 16 32 64 128 256Termini dupliDifferētie triple2 6 18 54 162 4 89 145511 3 9 27 81 243 729 218 7Termini tripliDifferentie quadruple3 12 48 192 768 3072 122881 4 16 64 256 1024 409 6 16384Termini quadrupli.Ec autem proportionalitas ⁊ in alijs omnibus vel ſuperparticularibꝰ vel ſuperpartiēAtibus inuenitur huiuſmodi proprietate inItomnibus conſeruata: vt in continua proporIltione: quod ſit ſub extremitatibꝰ ſi tres fuerint termini: hoc a medietate multiplicata conſurgatSi enim ſint. 2. 4. 8. quod ſit ex bis. 8. idem ſit ex quater. 4. Uel ſi ſit in quatuor terminis diſiūcta proportio quod ſit ſub vtriſqꝫ extremitatibus id duarū medietatum multiplicatione concreſcat: Ut ſi ſint. 2. 48. 16. quod ſit ex bis. 16. ideſt quater. 8. reddatur. Exēplar autem nobis maximum certiſſimumqꝫ ſit illud:vbi ex equalitate diximus omnes īequalitatis ſpeciesfundi. Illic enim in omnibus vel multiplicibus velſuperpartientibuſ vel ſuper particularibus vel in ceteris cōiunctis geometrica proportionalitas cuſtoditurhas omnes proprietates quas ſupradiximꝰ continēsQuarta vero eſt proprietas huiuſce medietatis: qd̓vel in maioribus vel minoribꝰ terminis ⁊ quales ſēper proportiones ſunt. Namqꝫ ſi ponantur. 2. 4. 8.16. 32. 64. inter hos omnes dupla proportio eſt. Apparet etiam hec proportionalitas in binis proportionibus ab vnitate alternatim parte altera. longioribquadratiſqꝫ diſpoſitis a prima multiplicitatis habitudine ideſt a duplici per cunctas ſuper particularishabitudines proportioneſqꝫ diſcurrens quod ſubiecta deſcriptione ſignatum eſt.Tetragonusiparte al. lon. duplaTetragonus 4duplaparte al. lon: 6 ſeſqualterāſeſqualteraTetragonusparte al. lon. i.ſeſquitertiaITetragonus16ſeſquitertiaparte al. lon.ſeſquiquarta2oTetragonusſeſquiquartaparte al. lon. 30ſeſquiquinta

Tetragonus36ſeſquiquinta4 Iparte al. lon.ſeſquiſextaTetragonusſeſquiſexta49¶ Que medietates quibus rerum publicarum ſtatibus comparentur.Capitulum. xxxxv.Tqꝫ ideo arithmetica quidē ei reipublicecomparatur que pauciſ regitur: iccirco qd̓in minoribus eius terminis maior proportio ſit. Muſicam v̓o medietatem optimaI tum dicunt eſſe rem publicam: ideo quodin maioribus terminis maior proportionalitas inuenitur. Geometrica medietas popularis quodammodo ⁊ ex equalitate ciuitatis eſt. Namqꝫ vel in maioribus vel in minoribus equali omniū ꝓportionalitatecomponitur: ⁊ eſt inter omnes paritas quedam medietatis equum ius in proportionibus conſeruantis.¶ Quod ſuperficies vna tantum in proportionalitatibus medietate iungātur: ſolidi v̓o numeri duabꝰ medietatibus in medio collocantur.Capituluꝫ. xxxxvi.Oſt hec igitur tempus eſt: vt exepediamꝰnunc quidam nimis vtile in platonica quaLdam diſputatione: que in timei cōſmopeiahaud facili cuiquam vel penetrabili ratione verſatur. Omnes eniꝫ plane figure quenulla altitudine creſcunt vna tantum medietate geometrica continuantur: alia que iungat non poteſt inueniri. vnde duo tantum in his interualla ſunt conſtituta: a primo ſcilicet ad medium: ⁊ a medio ad tertium. Si vero fuerint cubi. duas tantum habebuntmedietates vbi tertia inueniri non poterit: ſecunduꝫgeometricam .ſ. proportionē. vnde forme ſolide triainterualla dicuntur habere. Eſt enim vnum interuallum a primo ad ſecundum ⁊ a ſecundo ad tertium: eta tertio ad quartū: que eſt .ſ. poſtrema diſtantia. Recte igitur ⁊ plane figure duobus interuallis: ⁊ ſolidetribus contineri dicuntur. Sint enim duo tetragoni4. ſcilicet. ⁊ .9. horum igitur vnus tantumi medius ineadem proportione conſtitui poteſt. Namqꝫ ſenariusad. 4. ſeſqualter eſt: ⁊ .9. ad ſenarium eodem modoſeſqualter. Hoc autem iccirco euenit quod ſingula latera ſingulorum tetragonorum efficiunt ſenariaꝫ medietatem. Namqꝫ quaternarij tetragoni latus binarius eſt. nouenarij ternarius. hi ergo multiplicati ſenarium perfecerunt. Bis. enī tres ſenarius/ eſt. Et quotienſcunqꝫ datis duobus tetragonis eorum medietatem volumus inuenire: latera eorum multiplicanda ſunt: ⁊ qui ex his procreabuntur medietas eſt.Si autem cubi ſint. vt. 8. ⁊. 27. due tantum inter hos?eadem proportione medietates conſtitui queunt.12. ſcilicet ⁊. 18. namqꝫ. 12. ad. 8. ⁊. 18. ad. 17. ſeſqualteratantum proportione iunguntur. In his quoqꝫ eademlaterum ratio eſt. Namqꝫ ex vno cubo ꝗ propinꝗoreſt: vna medietas duo latera colligit: ex alternatiꝫ vero poſito vnum. In alia quoqꝫ medietate ideꝫ eſt. ponantur enim duo cubi ⁊ in medio eorum due medietates quas ſuperius diximus. 8. duodecī. 18. 27. octenarii igitur latus eſt binarius: bis eniꝫ bini bis octonarium fecerunt. Ternarius vero. 27. cubi latus eſt.Ter enim tres ter. 27. reſtituunt. Medietas igitur q̄iuxta octonarium eſt. ideſt. i2. mutuatur duo latera expropinquo ſibi octonario ⁊ aliud vnum latus ex altri

⁊