Arithmetica

pli multitudinē ꝑnotabit. Hiſqꝫ eſt ordinabilis ſuꝑſe progreſſio vt primus primum tribꝰ ſuperet. vt. 4vnitatem. Secundus ſecundū ſenario vincat: vt octobinarium. Tertius tertiū nouenario tranſeat: vt duodenarius ternarium: ⁊ ſequentes ſummule trium ſeſemꝑ adiecta quātitate tranſiliant. Et ſi quis ſubteriores aſpiciat āgulos idē per oēs multiplicitatis ſpecies eiſqꝫ ad decuplū diſpoſitiſſima ordinatione perueniet. Si quis vero in hac deſcriptione ſuperparticularis ſpecies requirat tali modo reperiet. Si enimſecūdū angulū notet cuius eſt initium quaternarius:eiſqꝫ ſuperiacet binarius: atqꝫ hunc ſequentem quiſaccomodet ordinem: ſeſqualtera proportio declarabitur. Nam tertius ſecūdi verſus ſeſqualter eſt. vt tresad duo: vel ſex ad quartuor: vel. 9. ad. 6. vel. 12. ad. 8.Itemqꝫ in ceteris qui ſunt in eadem ſerie numeri: ſitalis cōiugatio miſceat̉: nulla varietatis diſimilitudo ſurripiet. Eadem tamen ſummaꝝ ſupergreſſio ē īhoc quoqꝫ que in duplicibus fuit. Primus enim primum ideſt ternarius binarium vno ſuperat: ſecūdusvero ſecundum duo ſi tertiꝰ tertiū tribus ⁊ deincepsSi v̓o quartus ordo tertio cōparet̉: vt. 4. ad. 3. ⁊ eodem ceteros ordine conſecteris: ſeſquitertia cōparatio colligit̉: vt. 4. ad. 3. vl̓. 8. ad. 6. ⁊. 12. ad. 9. videſnevt in omnibus his ſeſquitertia comparatio conſeruet̉Preterea eos qui ſub ipſis ſunt: ſi idem faciens ſeq̄ntes verſus alterutris cōparaueris oēs ſine vllo īpedimēto ſpecies ſuper particularis agnoſces. Hoc aut inhac ē diſpōne diuinū qd̓ oēs angulares numeri tetragoni ſunt. Tetragonus autem dicitur vt breuiſſimedicā quod poſt latius explicabitur: quem duo equaleſnumeri multiplicant. vt in hac quoqꝫ deſcriptione eſtvnus enim ſemel. vnus eſt: ⁊ eſt poteſtate tetragonꝰItē bis duo. 4. ſūt Ter. 3. 9. quos in ſemetipſas multiplicationes primi ordinis perfecere. Circuꝫ ipſos vero qui ſunt ideſt circum angulares. longilateri numeri ſunt. Longilateros autem voco quos vno ſe ſupergredientes numeri multiplicant. Circum. 4. enim. 2.ſunt. ⁊. 6. ſed duo naſcūtur ex vno et duobꝰ: cuꝫ vnūbis multiplicaueris. ſed vnitas a binario vnitate precedit̉. Sex a vero duobus ⁊ tribus bis enim tres ſenarium reddunt. Nouenarium vero ſex ⁊. 12. claudūtqui. 12. ex tribus naſcuntur ⁊. 4. Ter enim. 4. fiunt.Senarius vero ex duobus ⁊ tribus Bis enim. 3. faciunt. 6. qui omnes vno maioribus lateribus procreati ſunt. Nā cū. 6. ex bīario ternarioqꝫ naſcūtur: tresbinarium numerum vno ſuperant cunctiqꝫ alij eiuſdem modi ſunt: vt primo ⁊ ſecundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis procreentur. ita vt quodnaſcitur ex duobus longilateris altrinſecus poſitis: ⁊bis medio tetragono tetragonus ſit. Et rurſus quodex duobus altrinſecus tetragonis. ⁊ vno medio longilatero bis facto naſcitur: ipſe quoqꝫ tetragonus ſit. ⁊vt angulorum totius deſcriptionis ad angulares tetragonos poſitorum vnius anguli ſit prima vnitas: alterius vero qui contra eſt tertia. Bini vero altrinſecus anguli ſecundas habeant vnitates. ⁊ duo angularium tetragonorum anguli equum faciunt quod ſubipſis continetur illi quod fit ab vno illorum qui eſt altrinſecus angulorum. Multa eniꝫ ſunt alia que ī hacdeſcriptione vtilia poſſunt admirabiliaqꝫ perpendi q̄interim propter caſtigatam introducendi breuitateꝫignota eſſe permittimus. Nunc vero ad ſequentia ꝓpoſitum conuertamus.

¶ De tertia inequalitatis ſpecie que dicitur ſuperpartiens: deqꝫ ſpeciebus eius earumqꝫ generationibus.Capitulum. xxviii.Gitur poſt duas prīas habitudines multiplices ⁊ ſuperparticulares: ⁊ eas queſub ipſis ſunt ſubmultiplices: ⁊ ſub ſuperparticulares tertia inequalitatis ſpeciēsUlinuēitur: que a nobis ſuperius ſuperꝑartiens dicta eſt. Hec eſt autem que ſit cūnumerus ad alium comparatus: habet eum totum infra ſe: ⁊ eius inſuper aliquas pater: vel duas: vel. 3.vel. 4. vel quot ipſa attulerit comparatio. Que habitudo incipit a duabus partibus tertijs. Nam ſi duasmedietates habuerit: qui illuꝫ intra ſe totum coercꝫduplus pro ſuper partiente componitur. Habebit autem vel duas tertias vel duas quintas vel duas ſeptimas vel duas nonas. ⁊ ita progredientibus ſi duasſolas partes minoris numeri ſuperhabuerit: per eaſdem partes imparibus numeris minoreꝫ maior ſumma trāſcendit. Naꝫ ſi eū habeat totū ⁊ duas eius qͣrtas: ſuperparticularis neceſſario reperitur. Nam duequarte medietas eſt: ⁊ ſit ſeſqualtera comparatio. Sivero duas ſextas: rurſus eſt ſuperparticularis. Dueenim ſexte pars tertia eſt. Quod ſi in comparationeponatur ſeſquitertie habitudinis efficiet formam.Poſt hos naſcuntur comites qui ſub ſuperpartiētesvocantur. hi autem ſunt qui habentur ab alio numero ⁊ eoruꝫ vel due: vel. 3. vel. 4. vel quotlibet alie partes. Si ergo numerus alium intra ſe numerum habens eius duas partes habuerit: ſuperbi partiens nominatur ſi vero tres ſupertripartiens quod ſi. 4. ſuꝑquadri partiens: atqꝫ ita progredientibus in infinitum fingere nomina licet. Ordo autem eorum naturalis eſt: quotiens diſponuntur a tribus omnes paresatqꝫ impares numeri naturaliter conſtitui. ⁊ ſub hisaptātur alij qui ſūt a quinario nūero incipientes oēsimpares. His igitur ita diſpoſitis: ſi primus primo: ſecundus: ſecundo: tertius tertio: ⁊ ceteri ceteris comparētur: ſuperpartiens habitudo procreatur. Sit .n.diſpoſitio hoc modo.4L 1 E 7 87 9 11 13 15 17 19Iigitur quinarij numeri ad ternariuꝫcomparatio conſideretur: erit ſuperpartiens ille qui vocatur ſuperbipartiens. Habet enī quinarius totos in ſetres ⁊ eorum duas partes: ideſt. 2. SiM vero ad ſecundum ordinem ſpeculatioreferatur ſuper tripartiens proportio cognoſcetur. atqꝫ in ſequentibus per omnes diſpoſitos numeros omnes in infinitum ſpecies huius numeri conuenientesordinataſqꝫ reſpicies. At vero quemodmodum ſinguli procreentur ſi in infinituꝫ quis curet agnoſcere: hicmodus eſt. Habitudo eniꝫ ſuperbipartientis: ſi vtriſqꝫ terminis duplicetur: ſemper ſuperbi partientis ꝓportio procreatur. Si eniꝫ quis duplicet. 5. faciet. io.ſi tres faciet. 6. qui. io contra ſenarium comparati ſuperbipartientem faciunt habitudinem: ⁊ hos ipſosrurſus ſi duplicaueris: idem ordo proportionis accreſcit. Idemqꝫ ſi in infinitum facies: ſtatum priorishabitudinis non mutabit. Si vero ſupertripartientes

tientes