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endlich ist, einen endlichen Werth hat, mit log» nicht überein-stimmen kann. Es ist indessen möglich, eine Entwickelung zufinden, welche obigen beiden Bedingungen Genüge leistet; siekann zwar wirklich in keinem Falle auf eine bequeme Weise denWerth von logn ausdrücken, aber da sie durch ihre Form be.merkenswcrth ist, und zu interessanten Analogien zwischen denlogarithmischen- und Kreis-Funktionen führt, so will ich sie nichtmit Stillschweigen übergehen.

Man hat

zieht man die zweite Reihe von der ersten ab, so sinder man, da

oder log u----Hl ((n —— ^(ii?—n—-) -j- > — w^) .— -c.).

Obgleich die Art und Weise, wie wir zur Entwickelung vonlog» (tz. 25.) gelangt sind, sehr strenge ist, und Nichts zu wün-schen zu lassen scheint, so wird man vielleicht dennoch gerne sehen,wie die Umformung, welche uns bis jetzt zur Entwickelung derFunktionen geführt hat, auf die logarithmische Funktion in An-wendung gebracht werden kann.

Nach dem im vorigen §. Gesagten müssen wir für die Ent-wickelung des Logarithmus eine Form annehmen, welche sichauf Null reduzirt, wenn die zugehörige Zahl der Einheit gleichwird: nun leistet aber jede ganze und rationale Funktion von2—1 dieser Bedingung Genüge: man kann also setzen:

Iog 2 —( 2 —1) 1)' -sirc.

Um die Reihe zu vereinfachen, machen wir 2 — 1 —x, also-----1-j-x, und folglich log(l-^-x) —-j-rc.Nimmt man, wie gewöhnlich, an, daß x sich in x-j-u verwan-delt, so kommt

log(l-i-x-j-u) — (x-j-u)-s-^,(x-j-u)--l-^,(x-j-u)- -si rc.;

zieht man die zweite Reihe von der ersten ab, so sinder man, da

1og(l-j-^----log(lst-Il) —logn,log(l-j-ii)-log(l-j-^) ---1ogu---HI ((n- -1

§. 34 .