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so ist der vorhergehende Ausdruck

i (y) = i z + x ? 2 • D i]> z + f ’ D • [(? z )’ D f. z ] +

| 3 . [(9 z) 3 D f z] + ... (I;

Mit Hülfe dieses Satzes lassen sich eine grosse Anzahl ande-rer verwandter Aufgaben auflösen. Ist z. B.

y = x 9 (a -f- x) gegeben, und daraus i/i (A+x) zu suchen, woa und A von einander unabhängige Grössen sind, so ist

i> (A + x) = t/> A +y (9 a)“‘ .,D f A-(-f II [(9 a) ~ 3 . D </> AJ +f- 3 D 3 [(9 a) ~ 3 D iji A] + wo D a = D A = 1 gesetzt wird.

Ist eben so x = (y — a) 9 y gegeben , und f (y) zu suchen,so ist

iji Cy) = if> a -|- x (9 a) — ' D Tj> a -f- i 3 11 [(9 a) — 3 D t/> a]

-J-f 3 D 3 [(9 a) " 3 D f a] -f- . . wo II a = 1 ist.

Selbst noch mehr zusammengesetzte Ausdrücke lassen sichauf die gefundene Reihe 1 reduciren. Ist z. B.

u = F (z -j- x 9 u)

wo F und 9 Functionen bezeichnen, und sucht man eine dritteFunction von u, die ich durch f u ausdrücke, so sey

y = z -|- x 9 u, also u = F y oder 9 u = 9 F y und daher

y — z = x 9 Fy oder o = z — y -f- x 9 F y

Vergleicht man den letzten Ausdruck],mit dem oben entwi-ckelten

o=z-y + x9y

so ist sofort

i> (u) =■$ Fz + x (9 F z) D (i/i F z) + f 1 D [(9 F z) 3 D (f F z)] -f-f 3 D 3 [(9 F z) 3 D (f F z)] +

Durch andere Betrachtungen findet man aber für dieselbeGrösse noch den Ausdruck

^(u) = ^F .{z+x. ? Fz+i 1 D(9Fz) 1 +f s I)(9Fz)H..}

und beyde Ausdrücke von if/ (u)'einander gleichgesetzt führen zuanderen interessanten Entwicklungen, zu denen hier nicht derOrt ist. Man wird sie und vieles andere wichtige finden in Arbo-gasts Calcul des derivations, Strassburg xöoo.