Ist daher r + r _ sin’ f und LÜ-h = Sin’ ^ y, so

4 a 4» W

ist die letzte Gleichung

l l l = (x — y) — (Sin x — Sin y)a"'

Aus diesem allgemeinen Ausdruck fiir die Ellipse lasst sichder oben gefundene lür die Parabel leicht ableiten. Setzt man

n.ihnilich a unendlich gross, also Cos a — 2 Cos ß = 2_

2 a 2 a

der Einheit gleich , so ist a — Sin a = ^ Sin 3 a

Aber a= ArcCos 2LZt_!l, Sina = Sin Are Cos~ v ^ also2 a 2 a

Are Cos —iLh— Sin Are Cos

2 a 2 a

1 1

2 ■>

'y k\ 2A _ , fr' + r — k

— ^(i—Sin’Are Cos

2 a /

und eben soAre Cos2_!l

y—V.

Sin ArcCos

2 a 2 a

, (ptz±rj aUo

6 /i $ = (r 1 -f- r -J- k) — (r + r — k) wie zuvor.

§• ll -

Die Gleichungen des §. 7 . sind die vorzüglichsten endlichenAusdrücke, welche man zwischen den Grössen m u v und r hat.Dieselben Gleichungen lassen sich aber auch in oft sehr conver-girende Reihen entwickeln, und da ähnliche Entwicklungen inder Folge öfters Vorkommen werden, so wird es gut seyn, hierdie allgemeinen Methoden zusammenzustellen, deren mau sich zudiesem Zwecke bedient, und deren Beweise ich als bekannt vor-aussetze, oder iin entgegengesetzten Falle den Lesern zur Selbst-Übung überlasse.

I. Ist u eine Function von x, in eine Reihe zu entwickeln,die nach den Potenzen von x fortgehl, so wird man für dieseEntwicklung annehmen können

u = U -f- q i x -j- q, x’ -f- q 3 x 3 -f- . .wo U, q,, q,. von x unabhängige Grössen sind.