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Von den Curvcn im Raum betrachtet.

§ 193 .

Wenn man die Curven im Raum betrachtet, so entstehnsie immer aus dem Durchschnitt zweier Flächen, so wie diegerade Linie aus dem Durchschnitt zweier Ebenen (§ 178).Man kann z. B. einen Kreis dadurch bezeichnen, daß mandie Kugel angibt, von welcher er einen Theil ausmacht, unddie Ebene, von der sie geschnitten wird. Nimmt man an,

der

einer Curve des zweiten Grades um ihre Ars entstehn, und im Allgemeinenkonoidische genannt werden. Es sei tVL, 79, die Ebene der x, x,ä L die Are der x, der Anfangspunkt der Coordinate», L2 di- auf^X.senkrecht stehende Are der x und zugleich die Are der Curve 2 k, IVl irgendein Punkt der konvidischen Fläche, IVl dl —x, dlk —Lk —x, —«,Cr.— /?, also LS—x — « und Ist 6 — ^ — /?. Man hat mithinLIl- —i(x— a)- st- (7 — /?)-. Ist nun 2 k zuerst ei» Bogen einerEllipse, 2 6 die Richtung ihrer großen Are und O der Mittelpunkt, so

1,2

hat man, wenn L O mit / bezeichnet wird, <ZLl- — (»- — O tz-)

— ^ sa- — (x —Da nun <2bl- 1-- List-, so ist (x —al-

b-st- (> — /?)- — b- — — (x — /)°- Hieraus folgt

a- (x — a)- st- s- — /?)- st- b- (x — ^ 0- b-,

Dies ist die Gleichung der elliptisch- kvno id ischcn Fläche. Ist 26die Richtung der kleinen Are, so muß man die Buchstaben a und b miteinander vertauschen. Macht man s — b, so erhält man(x — 0-)- st- O — /S)- st- (x — — a-,

die schon H >64 vorgekommene Gleichung der Kugel für den Halbmesser «.Ist 2ss ein Vogen einer Hyperbel, 26 die Richtung ihrer Zwcrchare,

b-

O' ihr Mittelpunkt und 0^6—/, so ist tzIVl- -- List- — — (0-tz- —

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ - «'"hin

b- (X — ),)- — a- cx — — a- cx — /?)- — b-,

die Gleichung der h» p erb o l i sch < ko n o id ischen Fläche. Ist endlich2 k ein Vogen einer Parabel und 2 6 — ^, so hat man «ZIVI- — Ldl-

— k — x), mithin

O — «)" st- (/ — /?)- st- i>x ---

die Gleichung der parabolisch, konoidischen Fläche. Hebers.