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woraus folgt

co§ (L -k- 6) -4- co§ ^ ^co^ (L — L) - 4 - co^ ^ '

da aber

co§ 4, - 4 - co/ <4 — 2 co^ 2 (x -b- l) co§ ^ (4, — y) (§ 27),

so wird man haben

eine Formel, welche durch das Zeichen — des Zählers nichtimaginär wird; denn da der Bogen ^-k-L - 4-6 größer alsein Quadrant ist, so ist sein Cosinus negativ. **)

«) Euler gebraucht, um seinen Resultaten eine übcrcinstimmigereGestalt zu geben, durchgängig die Tangenten der zu bestimmmcndcn Bogen.Man kann aber in den beiden bisher betrachteten Fällen etwas einfacherzum Sinus gelangen.

1) Man hat 1 — st — 2§-'-rst st 4 (§27), und durch die Formelx — oo§ <1 — — 2 4 (k ^ st) T (k — st)

ergibt sich

co§ (k — c) — oc>» -> — — 2 §r'n -) (st — ochs) »,'n j (b — c — z),oder, wen» man das Zeichen des Vogens Z (d — e — -) und seines Si-nus ändert,

co§ (h — c) — co§ a 2 (a d — c) L (z 4- e — b).Setzt man diesen Werth in den für i — co§st oder 2 ^ st? und zieht

auf beiden Seiten die Quadratwurzel aus, so entsteht

2) Setzt man 1 — co§ a — 2 ^ a?,

und, zufolge des Ausdrucks für -?->§ 4- oo§ <1,

(L 4" st') ch c?o^st 2 ^(ll 4" st ch st) rcr-e ^ (st 4 " 0 — st),so findet man

»») Mit Hülfe des Polardreiccks und des leicht zu beweisende» Satzes,daß die Summe der Seiten eines sphärischen Dreiecks zwischen den Gränzeno und g- liegt, läßt sich zeigen, daß die Summe der Winkel eines sphäri-schen Dreiecks in den Gränzen 2? und 6§, mithin die halbe Summe in denEränzen i? und 3 - eingeschlossen ist. Aber innerhalb dieser Eränzen sinddie Cosinus negativ. Es ist also Z (st ch st ^ st) allemahl negativ.

— co§ L (L -4- 0 -4- co§ st (L -4- 0 —^) )

co^ ^ (L — L -4- co^ ^ (L — <D—^)'

— co^ ^ (1! 4- c 4- st) H(L 4- 6 — st) ,

Vers.

U e b c r s.