Mathematische Hoffnung (Erwartung). 23

s-s"-s".s —d. h. die neue Proportion

A: A' m ^v.L : ^v'. s'

erhalten werden. Setzen wir hier für s'---rv----1 und 1auch 1, so bekommen wir

A : 1 — rv . 8 : 8

und hieraus

A — . 8 31);

d. h. wenn man (wegen s'— 1, rv^— 1, l) den bei einerSumme — 1 mit der Gewißheit, sie zu erhalten, zu erwarten-den Gewinn gleich der Einheit gesetzt hat; so ist die Größeg des zu erwartenden Gewinnes gleich dem Pro-ducte aus der zu gewinnenden Summe s in dieWahrscheinlichkeit v, diese gewinnende Summe szu erhalten.

Nun erhellet leicht, warum man in der Gl. 31) die Größeg- oder das ihr gleiche Produkt ns die mathematische Hoff-nung oder die Erwartung (sors, luorum) in der Wahr-scheinlichkeitsrechnung nennen kann.

Beispiel. Wenn in dem im §. 4. vorgekommenen Bei-spiele 144 die zu gewinnende Summe ist; so wird die Größe A-des zu erwartenden Gewinnes, d. h. die mathematische Hoffnungfür den Wurf eines Pasches überhaupt nach 31)

^-X 144 oder 24,

6

und für die Bedingung, daß beide Würfel 5> gebensollen

X 144 oder 16,

und endlich für den Wurf eines bestimmten Pasches

X 144 oder 4

betragen; folglich verhalten sich für diese 3 Falle die mathemati-schen Hoffnungen wie

24 ! 16 ! 4 — 6 : 4 : 1 ,

d. h. bei gleicher gewinnender Summe wie die Wahrscheinlich-keiten

. 1 1—6.41

6 ' 9 ' 36 ^ 36 ' 36 ' 36

dieser 3 Falle selbst. Man kann daher sagen : der zu erwartendeGewinn wird bei dem Wurfe von 5 viermal und bei dem Wurfeeines Pasches überhaupt sechsmal größer als der zu erwartende