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i, Abtheilung. §. 45. 44.so hat man dann auch

(2 yCIT. Sin.x) m = .X.Cos. (+2tnn3‘)- 1 Y. Sin.(+2tnn;r)+ /=T[.X .Sin.(+2mn3")-{- .Y.Sin^+amnTr)],welche Entwicklung ebenfalls ganz allgemein fürjedes m gilt.

§• 43 -

Ist dagegen m eine ganze positive Zahl, sogeht diese allgemeine Formel des (§. 4.2.) über in

in ni

( a Sin.x) m = (- 1 ) 2 . S. [(-1)«. m ft .Cos.(m- 2 a)x]=(-1) 2 ,Xwenn m eine gerade Zahl ist; dagegen in

m-i m-i

(2 Sin.x) m = (-iJ 2 . S.[(-0 4 m«Sin.(m-2a)x] = (-iJ^T.Ywenn m eine ungerade Zahl ist.

§. 44.

Eine andere allgemein gültige Entwicklungvon (sSin.x)" 1 würde man auch noch aus (§ 27.)erhalten, wenn man daselbst \ 7 V — x statt x setzte,weil dann Cos. x in Cos.(£;r— x), d. h. in Sin.xübergeht.

Die Reihen X und Y, oderS.[m ft .Cos.(m—2«)x] und S.[m ft .Sin.(m—a«)x]gehen dann über in

S.[m Ä Cos.(m-2ft)(4 , 7r-x)] und S.[m< ? .Sin.(m-2<t)(^'?r-x)].Bezeichnet man diese Reihen durch2 X und 2 Y,so hat man dann

(2 Sin.x) m = i m X ( 2 X -f • aY),oder auch m

(2Sin.x) m = 2 X. Cos.(+2mn»-)— a Y.Sin.f+2mn^r)+ v^^[i X ' S i n -(i 2mn!T )l 2 Y.Cos.(+2mn7r)J