Methode der, kleinsten Quadrate.

sei. Diese Grenze wird erhalten, sobald man bestimmt, bis wieweit in allen einzelnen zu einer Beobachtung gehörenden TheilenGenauigkeit zu erreichen ist, und hierauf die Summe der so ge-fundenen Größen durch das gefundene ganze Resultat dividirt.

F. 73. Uebrigcns vermag man jene Grenze durch Wiederho-lung der Beobachtungen dann immer scharfer zu bestimmen, wennalle Beobachtungen ganz oder wenigstens nahe von gleich großerGenauigkeit sind, weshalb auch offenbar fehlerhafte von den übri-gen bessern gewöhnlich ausgeschlossen werden. Ist nun auf dieseWeise das nahe richtige Resultat gefunden worden, so könnenendlich die zu sehr von diesem Resultate abweichenden Ergebnisseausgeschieden werden.

§. 74. Die aus mchrern einzelnen Beobachtungen für sichdurch Berechnung derselben gefundenen Resultate müssen den imVorigen angeführten Gründen zufolge mit geringem oder größcrNFehlern behaftet sein, werden folglich nicht genau mit einanderübereinstimmen. Gewöhnlich nimmt man dann, um das rich-tigste Resultat aus allen zu erhalten, das arithmetische Mitrelaus ihnen, vorausgesetzt, daß die zu sehr abweichenden bereitsvorher ausgeschlossen worden sind. Hat man nämlich aus nverschiedenen Beobachtungen für eine gewisse Größe x die u ver-schiedenen Werthe x,, x.,, x^,.. . x„ gefunden, so erhält manden sogenannten arithmetischen Mittelwert!) X von x oder dasder Wahrheit näher kommende X als jede der Größen x^, x^x.j,... x„ durch die Gleichung

x —

X, st- X, st- Xz st-

welche Große X auch als der wahrscheinlichste Werth der Großenx„ X2,....x„, so wie endlich X—Xj, X —Xz, X—x-z,....X —x» als die Fehler der einzelnen Beobachtungen angesehenwerden können. Dann ist, wenn man durch das Gewichtjener Bestimmung von X als des mittlem oder wahrscheinlich-sten Werthes von x bezeichnet,

—

2^stX -x)-

5(X-x)- ^ (X-x,)- 5 (X-x-)2 st- (X-x,)2 st- .... st- (X-x. )2

ist. Man sieht übrigens aus dem für gegebenen Ausdrucksogleich, daß das Gewicht desto größer sein wird, je größerdie Anzahl u der Beobachtungen und je kleiner die Größen X—x,,X — x X v V i-.

X-x„....X-

h. je genauer die Beobachtun-

gen selbst sind.

§. 75. So lange jedoch alle Beobachtungen mit nicht abso-lut vollkommenen Sinnen und Instrumenten angestellt werden,